数学-福建省名校联盟 高三上学期9月质量检测数学试题（解析版）

高三9月数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数的概念与性质、一元函数的导数及其应用、平面向量、三角函数与解三角形.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据并集运算求解即可.【详解】因为，所以.故选：D.2.若向量，且，则（）A.−8 B.8 C.−2 D.2【答案】B【解析】【分析】运用向量的坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可.【详解】由题意得.因为，所以，即.故选：B.3.已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可.【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为．当时，值域为，但不是正偶数．故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．故选：A4.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数奇偶性和二倍角余弦公式直接求解即可.【详解】.故选：D.5.已知是奇函数，且在上单调递减，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性判定选项即可.【详解】因为是奇函数，所以，则，，所以A，B均错误．因为在上单调递减，所以，则，得，C错误，D正确．故选：D6.已知函数部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由周期求，由求，由求，得函数解析式，可求的值.【详解】由，得周期，．由图可知，则，得，又，所以．由图可知，得．综上，，得．故选：B7.“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（）A.47.6m B.35.7m C.23.8m D.11.9m【答案】C【解析】【分析】设，利用两个直角三角形分别求出与，在中，由余弦定理列方程，求解即得.【详解】设，在中，因,则，在中，因,则，在中，由余弦定理得，，即，解得故选：C.8.已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可.【详解】令，则.若，则在上恒成立，则在上单调递减，则，不符合题意.若，则当时，，单调递减，则，不符合题意.若，则在上恒成立，则在上单调递增，即，符合题意.故的取值范围为.故选：D【点睛】思路点睛：通过构造函数，直接求导含参讨论函数的单调性，结合端点值，排除的情况即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.在上单调递减B.在上单调递增C.有3个零点D.直线与的图象仅有1个公共点【答案】ACD【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数探讨单调性判断AB；求出函数的零点判断C；求出函数的极值，结合三次函数图象判断D.【详解】依题意，函数的定义域为R，求导得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，A正确，B错误；由，得或，函数有3个零点，C正确；函数的极大值为，极小值为，直线与的图象仅有1个公共点，D正确.故选：ACD10.记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（）A.8 B. C.9 D.【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式得，进而得出，再根据余弦定理求得或，即可求解．【详解】由正弦定理得，得，则，由，得，所以，由余弦定理，得或17，所以或，所以周长为8或，故选：AB．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于轴对称B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.是的极大值点【答案】BD【解析】【分析】计算可判断A；计算可判断B；由判断C，求出函数的导函数，即可判断D.【详解】对于A：函数的定义域为，但是，所以不是偶函数，则函数图象不关于轴对称，故A错误；对于B：因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C：因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于D：因为，所以，则，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，所以在处取得极大值，故D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合两角差的正切公式，准确计算，即可求解.【详解】由题意知：，，可得．故答案为：.13.已知，，且，则______，的最小值为______．【答案】①.1②.8【解析】【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由题意得，则，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：1，814.对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则______.【答案】2【解析】【分析】利用赋值法先判定的周期性，化，再利用赋值法计算即可.【详解】令，得，则或（与矛盾舍去）.令，得，则，则，则，则.又因为，所以，则，从而.故答案为：2【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定的周期性，再利用赋值法计算函数值即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值；（2）求的单调区间与最大值．【答案】（1），（2）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，求出，并根据得到；（2）求出定义域，求导，解不等式，得到函数单调性，求出最大值.【小问1详解】，所以，切线方程为，又，所以，则．【小问2详解】的定义域为0,+∞．，当时，f′x>0，当时，f′所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以的最大值为．16.在中，角的对边分别为．已知．（1）求角的大小；（2）若，，求；（3）若，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形内角的范围即可求得；（2）由余弦定理计算即得；（3）方法一：利用正弦定理化边为角，再消去角，利用和角公式化简，解三角方程即得；方法二：由角的余弦定理推得，再用角的余弦定理求出，结合角的范围，即可求得的值.【小问1详解】由及正弦定理得，．因为，所以，则，即．因为B∈0,π，所以【小问2详解】根据余弦定理得，即，解得或（舍去），故．【小问3详解】方法一：由和正弦定理，得，即．，即，则得．方法二：根据余弦定理得，则．,则角是锐角，故，则．17.已知函数（1）求函数的解析式；（2）若函数在上单调，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用换元法求函数解析式；（2）分析每支函数的单调性，结合函数的单调性得出间断点处函数值的大小关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】令，得，则得即【小问2详解】当时，在R上不单调．当在R上单调递增时，得．当在R上单调递减时，得．综上，的取值范围为．18.已知函数．（1）将化成的形式；（2）求的单调区间；（3）若在上的值域为，求的取值范围．【答案】（1）（2）答案见详解（3）【解析】【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换化简整理即可；（2）以为整体，结合余弦函数的单调性分析求解；（3）根据的周期性和对称性，分类讨论在上是否单调，分析的最值，进而求的取值范围.【小问1详解】由题意可得：，所以.【小问2详解】令，解得，所以的单调递增区间为．令，解得，所以的单调递减区间为．【小问3详解】由题意得的最小正周期，令，解得，图象的对称轴为直线．若在上单调，则，，解得，则．因为，则，可得，所以；若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点，且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同．假设在上的图象的最高点为，则，当，即时，，此时取得最小值，且最小值是．又因为，则，所以；综上所述：的取值范围为．【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的三种意识：1.转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式；2.整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解；3.讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论.19.若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点.①求的取值范围；②证明：.【答案】（1）是上“双中值函数”，理由见解析（2）①0,+∞【解析】【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可；（2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明.【小问1详解】函数是上的“双中值函数”．理由如下：因为，所以.因为，，所以令，得，即，解得.因为，所以是上的“双中值函数”.【小问2详解】①因为，所以.因为是上的“双中值函数”，所以.由题意可得.设，则.当时，，则为减函数，即为减函数；当时，，则为增函数，即为增函数.故.因为，所以，所以，即的取值范围