3.2.1 单调性与最大(小)值透课堂-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)

2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值【知识导学】考点一：增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．考点二：二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．重难点：函数的最大(小)值考点一函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标规律与方法：1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【考题透析】透析题组一：函数单调性的判定与证明1．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增2．（2020·金华市云富高级中学高一月考）（1）求证：y=-x²+1在区间[0，+∞)上为减函数.（2）画出函数y=-x²+2|x|+3的图像，并指出函数的单调区间.3．（2021·广东高一期末）函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数.透析题组二：根据函数的单调性求参数范围4．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一期中）若函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．（2021·全国高一单元测试）已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．6．（2021·全国高一专题练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．透析题组三：复合函数的单调性7．（2020·四川省绵阳江油中学高一期中）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．8．（2020·黑龙江鹤岗一中高一期中）函数的单调递增区间是（）A． B．，C． D．9．（2021·全国高一）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．透析题组四：根据函数的单调性解不等式10．（2021·云南省玉溪第一中学）已知函数是定义上的减函数，，是其图象上的两点，那么的解集的补集是（）A． B．C． D．11．（2021·全国高一专题练习）已知函数则不等式的解集为（）A． B．C． D．12．（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．透析题组五：根据函数的单调性求值域13．（2021·江西高安中学高一月考）函数在区间上的最小值是（）A． B． C．1 D．-114．（2021·浙江高一单元测试）若函数在区间上的最大值为，则实数（）A． B． C． D．或15．（2021·全国）已知函数，则在区间上的最大值为（）A． B．3 C．4 D．5透析题型六：根据函数的值域求参数范围16．（2021·沧源佤族自治县民族中学）已知函数的最小值为2，则a的取值范围是（）A． B． C． D．17．（2020·湖北高一期中）已知函数有最小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．18．（2020·四川成都七中）已知函数在上单调递减，且在上的最小值为，则实数的值为（）A． B． C．或 D．或透析题型七：函数不等式恒成立问题19．（2021·江西高安中学高一月考）若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．20．（2021·全国）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．21．（2020·黑龙江哈尔滨三中高一期中）已知函数的定义域为，则的取值范围是（）A． B． C． D．透析题型八：函数单调性与最值的综合性问题22．（2021·全国高一专题练习）已知函数（1）求函数的解析式；（2）设，若存在使成立，求实数的取值范围．23．（2020·浙江瑞安中学）已知函数.（1）若，试确定的解析式；（2）在（1）的条件下，判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若，记为在上的最大值，求的解析式．24．（2020·慈溪中学高一月考）已知是定义在上的奇函数，且，若任意的，当时，总有.（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式；（3）若对所有的恒成立，其中(是常数)，试用常数表示实数的取值范围.【考点同练】一、单选题25．（2021·全国高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．，， B．C．，， D．，，26．（2021·全国高一课时练习）下列函数中，在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．27．（2021·全国高一课时练习）函数y＝2x＋，则（）A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值C．有最小值，最大值 D．既无最大值，也无最小值28．（2021·全国）函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3，3]的值域是（）A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20，5] D．[4，5]29．（2021·全国高一专题练习）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．30．（2021·全国高一专题练习）设函数为单调函数，且时，均有，则（）A．-3 B．-2 C．-1 D．031．（2021·全国高一专题练习）甲：函数是上的单调递减函数；乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件32．（2021·全国高一专题练习）已知函数的定义域为，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、多选题33．（2021·全国高一课时练习）如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中正确的是（）A．>0 B．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0C．f（a）<f（x1）<f（x2）<f（b） D．>034．（2021·全国高一课时练习）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”的是（）A．f（x）＝－ B．f（x）＝－3x＋1C．f（x）＝x2＋4x＋3 D．f（x）＝x－35．（2021·江苏）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数在上是增函数B．函数的图象关于点中心对称C．函数的图象上存在两点，，使得直线轴D．函数的图象关于直线对称36．（2021·全国高一专题练习）已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（）A． B． C． D．37．（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（）A．y=在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数C．y=在R上为增函数 D．y=f(x)在R上为减函数三、填空题38．（2022·云南昆明·）已知函数，则不等式的解集为____________．39．（2021·广东潮州·）已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．40．（2021·全国高一专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.41．（2021·上海市南洋模范中学）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________.四、解答题42．（2021·江西省靖安中学高一月考）函数（1）画出函数的图像（2）说出函数的单调区间（不用证明）（3）当时，求函数的值域43．（2021·四川成都·（理））已知函数，，.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若关于的不等式在上能成立，求实数的取值范围.44．（2021·全国高一专题练习）若是定义在上的增函数，且对一切，满足．（1）求的值；（2）若，求不等式的解集．45．（2021·上海高一专题练习）已知关于不等式，若存在，该不等式能成立，求实数的取值范围.46．（2021·全国高一专题练习）定义在上的函数满足，且当时，．（1）求；（2）证明在上单调递减；（3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案精讲】1．A【详解】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.故选：A.2．【详解】（1）证明：设任意0x<x2，则y−y=x−x=(x−x)(x+x)>0，∴y>y，∴函数y=−x²+1在区间[0，+∞)上是减函数.（2）作出函数图象如图所示：增区间为：(−∞，−1)，(0，1)，减区间为：(−1，0)，(1，+∞).3．【详解】解：（1）依题意得∴∴∴（2）证明：任取，∴∵，∴，，，由知，，∴.∴.∴在上单调递增.4．B函数的单调递减区间是，依题意得，于是得，解得，所以实数的取值范围是.故选：B5．C解：若是上的增函数，则应满足，解得，即.故选：C6．B，依题意有，即，所以实数的取值范围是．故选：B.7．B解：因为，所以，解得或，即函数的定义域为，令，其对称轴方程为，图象是开口向上的抛物线，在上单调递增，在上单调递减，由是定义域内的增函数，函数的单调递增区间为．故选：B8．B【详解】由，可知函数开口向上，对称轴，且．因为函数在区间，上单调递减，所以原函数的单调递增区间，．故选:B．9．A因为，所以或，所以定义域为，又的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故选：A.10．A解：不等式可变形为，，是函数图象上的两点，，，等价于不等式，又函数是上的减函数，等价于，解得，不等式的解集为．那么的解集的补集是．故选：．11．A【详解】易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A．12．C∵函数是定义在上的减函数，且，∴，解得，故选：C．13．A【详解】∵函数在上为减函数，∴.故选：A.14．B【详解】函数，即，，当时，不成立；当，即时，在递减，可得为最大值，即，解得成立；当，即时，在递增，可得为最大值，即，解得不成立；综上可得．故选：．15．C【详解】在单调递减，.故选：C.16．D【详解】由作出图象，如图，由图象可得要取得最小值2，则；∵在区间上单调递减，则时，取得最小值为2，即，可得，∴a的取值范围为故选：D17．C如图所示可得：或，解得：，故选：C.18．B【详解】由函数在上单调递减可知，当时，函数有最小值，即：，解得：，当时，，函数单调递减，满足题意．故选：B．19．A【详解】由题意，函数对任意有（1）当时，成立；（2）当时，函数为二次函数，若满足对任意有，则综上：故选：A20．B【详解】当时，，由，得，不符合题意；当时，函数的对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，此时函数，要使，恒成立，只需，解得，所以；当时，函数在区间上单调递减，此时函数，要使，恒成立，只需，解得，不符合题意；综上：实数的取值范围是.故选：B21．C【详解】由题意得：在上恒成立.即时，恒成立，符合题意，时，只需，解得：，综上：，故选：C.22．（1）；（2）．【详解】（1）解法一：∵，∴．又，∴．解法二：令，则．由于，所以．代入原式有，所以．（2）∵，∴．∵存在使成立，∴在时有解．令，由，得，设．则函数的图象的对称轴方程为，∴当时，函数取得最小值．∴，即的取值范围为．23．（1）；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【详解】（1）由，则，解得，所以.（2）在上单调递增，任取，且，，由，且，所以，，，，所以，即，所以函数在上单调递增.（3），设，当时，函数在上单调递增，所以，当时，函数在上单调递减；在上单调递增；所以，当时，函数在上单调递减，所以，所以24．（1）在上是增函数，证明如下.任取，且，则，于是有，故，故在上是增函数.（2）由在上是增函数知：，即，解得：.故不等式的解集为.（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即.①当时，的取值范围为；②当时，的取值范围为；③当时，的取值范围为.25．C解：根据题意，函数，若在区间上单调递减，必有，解可得：或，即的取值范围为，，，故选：C．26．A对于，，在区间上，，是增函数，符合题意；对于，，是反比例函数，在区间是减函数，不符合题意；对于，，是二次函数，在区间是减函数，不符合题意；对于，，是一次函数，在上是减函数，不符合题意；故选：.27．A解：设＝t（t≥0），则x＝，所以y＝1－t2＋t＝－2＋（t≥0），对称轴t＝，所以y在上递增，在上递减，所以y在t＝处取得最大值，无最小值.故选：A.28．C解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5在（-3，-2）上单调递增，在（-2，3）上单调递减∴当x＝－2时，函数在[-3,3]上有最大值，且最大值为；当x＝3时，函数在[-3,3]上有最小值，且最小值为，选项ABD错误，选项C正确故选：C.29．A函数的对称轴为，由于在上是减函数，所以.故选:A30．D解：函数为单调函数，且，为常数，不妨设，则，原式化为（a），即，解得或（舍去），故，（1），故选：D．31．A函数是R上的单调递减函数，则，由减函数定义知，此命题是真命题，即命题：“若甲则乙”是真命题；反之，，则函数是上的单调递减函数，条件与减函数定义不符，即命题：“若乙则甲”是假命题，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A32．C【详解】因为，可知在上单调递减，所以不等式成立，即.故选：C.33．ABD因为f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f（a）≤f（x1）<f（x2）≤f（b）.故选：ABD34．ACD因为“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”所以不妨设0<x1<x2,都有,所以f（x）为（0，＋∞）上的增函数.对于A：f（x）＝－在（0，＋∞）上为增函数,故A正确;对于B：f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上为减函数,故B错误;对于C：f（x）＝x2＋4x＋3对称轴为x=-2,开口向上,所以在（0，＋∞）上为增函数,故C正确;对于D：f（x）＝x－,因为在（0，＋∞）上为增函数,在（0，＋∞）上为增函数,所以f（x）＝x－在（0，＋∞）上为增函数,故D正确;故选:ACD35．AC【详解】，其大致图象如下，结合函数图象可得AC正确，BD错误.故选：AC36．BCD因为函数，画出函数图象如图所示：所以函数在上为增函数，由得，即解得，故选：BCD．37．ABC对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，