初中数学《二次函数图像与系数的六种关系》含解析

二次函数图像与系数的六种关系题型01a与图像的关系1(23-24九年级上·河北保定·期末)二次函数y=ax的值可能为2a()A.2B.0C.-1-2Ay=ax2故选项ABCD不符合题意，故选：Aa>0，12(2024九年级·全国·专题练习)y=ax2y=ax2y=ax2的，112233aaa的大小关系为．123a>a>a#a<a<a332112a的值决定的，a握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．aaa为正数，123又由开口大小可得，a>a>a，321故答案为：a>a>a1323(23-24九年级上·福建厦门·阶段练习)已知y=k+2x24增大而增大．x<0时，随的xy求kk=-3x<0时，y随xy=k+2x24x<0k+k-4=2时，随yx，k+2<0解得：k=-3或k=2(舍去)；二次函数的解析式为y=-x2，如图所示：213131(23-24九年级上·山东青岛·阶段练习)图中与抛物线y=x2y=2x2y=-x2y=-2x2，，象对应的是()A.①②④③BB.②①④③C.①②③④②①③④a和aa的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．∵a>0，∵②的开口最宽，13∴y=x2是②，y=2x2是①，∵a<0，∵④的开口最宽，13∴y=-x2是④，y=-2x2是③，故选：B2(23-24九年级上·吉林松原·阶段练习)二次函数y=k+2x的取值范围是2k．3k>-2k+2>0k的取值范围．k+2>0，解得k>-2．故答案为：k>-2．y=ax的系数为负数时，2aa抛物线开口向下；a3(24-25九年级上·全国·假期作业)已知函数y=(m+3)x22是关于的二次函数．x(1)求m的值；(2)当m(3)当m(4)试说明函数的增减性．(1)m=-4或m=1(2)当m=-4(3)当m=1(4)见解析m+3m-2=2m+3≠0(1)由二次函数的定义可得故可求m的值．(2)m+3<0(1)m的值；(3)m+3>0(1)m(4)根据(1)中求得的mm+3m-2=2(1)，m+3≠0m=-4,m=1m≠-312解得，∴当m=-4或m=1(2)∵图像开口向下，∴m+3<0，∴m<-3，∴m=-4，4∴当m=-4(3)∵函数有最小值，∴m+3>0，则m>-3，∴m=1，∴当m=1(4)当m=-4y=-x2y轴，当x<0时，y随xx>0时，y随x的增大而减小；当m=1y=4x轴，2y当x<0时，y随xx>0时，y随x的增大而增大．a>0a<0题型02b与图像的关系1(21-22九年级上·安徽合肥·开学考试)已知二次函数y=-x+2m-1x-3x>1时，随的xym的取值范围是()32321212A.m<B.m≤C.m≤m<-B2m-22m-1象的对称轴为x=≤122y=-x+2m-3x-3中，，，，a=-1<0b=2m-1c=-32m-12×-12m-1∴x=-=，2∵当x>1时，y随x的增大而减小，2m-1∴≤1，232解得，m≤故选：B，2(2023·九年级上·西藏日喀则·)已知抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线x=2．则m的值是(A.-4B.1C.4-1)5Ay=ax+bx+cy=ax+bx+cb线x=-2ab2am2×1m2γ=x²+mx的对称轴为直线：x=-=-=-，m∴-=22解得：m=-4故选：A3(23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习)抛物线y=-x+2ax+3的对称轴位于yx轴交于点AB(点B在点A的右边)AB=4．(1)此抛物线的顶点坐标为(2)当-1≤x≤m时，-5≤y≤4m的值为1,4(1)令y=0x-2ax-3=0．设x-x=4x-x=x+x-4xx=16a．．4Ax,0Bx,0x+x=2axx=-3，．根据AB=4，12121222121112(2)根据二次函数的性质可得当x=1时，y取得最大值4．求出当x=-1时，y=0>-5-5≤y≤4出m>1x=m时，y=-5(1)令y=0-x+2ax+3=0x-2ax-3=0．设Ax,0Bx,0x+x=2axx=-3．121212∵AB=4，∴x-x=4，21∴x-x=x+x-4xx=16，221112∴4a+12=16，∴a=±1．∵抛物线的对称轴位于ya=1，∴y=-x+2x+3=-x-1+4，∴抛物线的顶点坐标为1,4．(2)∵y=-x+2x+3=-x-1+4，∴当x=1时，y取得最大值4．∵当x=-1时，y=0>-5-5≤y≤4，∴m>1，∴当x=m时，y=-5，∴-m+2m+3=-5，∴m=4或m=2(舍去)．6故答案为：1,44．x1(22-23九年级上·福建厦门·期中)已知抛物线y=-x+6-2mx-3的对称轴在xy>2时，y的值随着xm的取值范围是()A.m≥1B.m<3C.-3<m≤11≤m<3Dx=3-my=-x+6-2mx-3y的对称轴在轴的右m<3x>2时，y的值随着xm≥1∵抛物线y=-x+6-2mx-3的对称轴在轴的右侧，yb2a6-2m∴x=-==3-m>0，2解得：m<3，又∵a=1<0当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，则3-m≤2，解得：m≥1，综上所述，1≤m<3，故选：D．2(23-24九年级上·重庆合川·期末)关于x的二次函数y=x+a-1x-1在轴的右侧，随的xyya-12-y1y的分式方程19+=2有非负数解的所有整数a的值之和．y-2先确定出aaaa-12-y16-a2+=2可得y=，y-2a-12-y1∵关于y的分式方程+=2有非负数解，y-26-a26-a2∴y=≥0且y=≠2，∴a≤6且a≠2，∵y=x+a-1x-1，1-a2∴x=，71-a2∴当x>，y随x的增大而增大．∵在x>0时，y随x的增大而增大，1-a∴≤0a≥1．2综上1≤a≤6且a≠2，∴满足条件的整数a的值为13456．∴所有满足条件的整数a的值之和是1+3+4+5+6=19．故答案为：19．3(23-24九年级上·浙江宁波·期末)y=x+ax+2的图象经过点E1,5．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)若点Fm,n在该二次函数图象上．①当m=-2n的值．②若n≤2m的取值范围．(1)a=2-1,1(2)①n=2-2≤m≤0(1)把点E(1,5)代入y=x+ax+2a；(2)①把m=-2代入解析式即可求n的值；②由n≤2m即可．(1)把点E(1,5)代入y=x+ax+2中，∴a=2，∴y=x+2x+2=(x+1)+1，∴顶点坐标为(-1,1)；(2)①把m=-2代入n=m+2m+2=(m+1)+1n=2，②∵n≤2x=-1，∴-2≤m≤0．1(23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习)关于二次函数y=x-6x+5下列说法中错误的是8()A.用配方法可化成y=x-3-4B.将它的图象向下平移5当x<3时，y随x的增大而减小C.5Cx=0可求得与yy=x-6x+5=x-3-9+5=x-3-4A∴其对称轴为直线x=33-4，∴-4x<3时，y随xCD意；令x=0可得y=5，∴与y轴的交点坐标为05，∴将它的图象向下平移5B故选：C2(2023·九年级上·上海杨浦·)将抛物线y=x-2x+3向下平移m=2mx轴．它的顶点恰好落在x0∵y=x-2x+3=(x-1)+2，∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为y=(x-1)+2-m，∴此时顶点坐标为(12-m)．∵此时它的顶点恰好落在x轴上，∴2-m=0，解得：m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下3(23-24九年级上·四川泸州·期中)写出抛物线y=-2x-4x+5指出抛物线y=-2x-4x+5可由抛物线y=-2x2怎样平移得到．y=-2x-4x+5x=-1-1,7y=-2x-4x+5可由y=-2x向上平移个单位长度得到．271y=ax29+bx+c的性质及掌握抛物线平移规律．先将抛物线y=-2x-4x+5经配方转换为y=-2x+1+7y=-2x2到y=-2x-4x+5=-2x+1+7的平移过程．-4x+5=-2x+1+7，y=-2x则可根据抛物线性质得：抛物线y=-2x-4x+5x=-1∵-1,7，∴y=-2x-4x+5=-2x+1+7可由y=-2x2向上平移71个单位长度得到1(23-24九年级上·安徽合肥·期末)若将抛物线y=ax(a>0)向右平移h(h>0)线y=ax+bx+cy=bx+c的图象可能是()A.B.C.C断b<0,c>0∵将抛物线y=ax(a>0)向右平移h(h>0)y=ax+bx+c，∴y=ax+bx+c对称轴在yy轴的正半轴，∴b<0,c>0，∴y=bx+c故选：C2(22-23九年级上·浙江宁波·期末)将抛物线y=x+3x-6向上平移mm的值可能是()A.1B.3C.57D10y=x+3x-6向上平移-6+m≥0，m即可得出结果．∵将抛物线y=x+3x-6向上平移m∴-6+m≥0，∴m≥6，∴m的值可能是7，故选：D．3(21-22九年级上·广东中山·阶段练习)已知二次函数y=x-2x-3(1)请写出函数图象顶点坐标和对称轴∶．(2)当函数值yx的取值范围∶(3)将该函数图象向右平移14(1)1,-4x=1(2)x<-1或x>3(3)y=x-22的关键．(1)(2)求得x-2x-3=0(3)(1)∵y=x-2x-3=x-1-4．∴对称轴为直线x=11,-4．(2)x-2x-3=0，解得x=-1,x=3，12∵y=x-2x-3=x-1-4开口向上，故当x<-1或x>3时，y>0．(3)∵y=x-2x-3=x-1-4．平移后的解析式为y=x-1-1-4+4即y=x-22题型04ab与图像的关系1(23-24九年级上·浙江金华·期末)已知二次函数y=-mx+2mx+4m>0经过点A-2,y1B1,yC3,yyyy的大小关系为()32123A.y<y<yB.y<y<yC.y<y<yy<y<y31212313223111B距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键．2my=-mx+2mx+4m>0x=--2m=1，∴y越大，∵二次函数y=-mx+2mx+4m>0经过点A-2,yB1,yC3,y，312∴三个点ABC到对称轴的距离为302，∴y<y<y，132故选：B．134532(23-24九年级上·广东广州·期中)若点A-,y1B-1,y2C,y3为二次函数y=-ax-4ax+5a<0yyy的大小关系是．123y>y>y231x=-213A-,y关于直线x=-2的对称点54,y在抛物线y=-ax-4ax+5a<0411∵y=-ax-4ax+5a<0，-4a∴-a>0x=-=-2，2×-a∴抛物线开口向上，13454∴点A-,y关于直线x=-2的对称点,y在抛物线y=-ax-4ax+5a<0上，115453∵-2<-1<<，∴y>y>y，312故答案为：y>y>y2313(23-24九年级上·云南昆明·阶段练习)已知关于x的二次函数y=mx+3m+1x+3．(1)mmx+3m+1x+3=0总有实数根；(2)若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，mPx,y与Qx+n,y在抛物线上(点P,2111Q不重合)y=y4x+12xn+5n+16n+8的值．1211(1)证明见解析；(2)24(1)用根的判别式可以直接证明；1m(2)令y=0mx+1x+3=0x=-3或x=-mm的12PQy=yxx+nn的1211式子表示出x1(1)m≠0，∵Δ=b-4ac=(3m+1)-4m×3=(3m-1)≥0∴此方程总有实数根；m(2)y=0mx+1x+3=01m解得：x=-3x=-，12因为抛物线与xm为正整数，所以m=1，所以抛物线为y=x+4x+3．∵点PQy=y，12∴x+4x+3=(x+n)+2(x+n)+31111∴2xn+n+4n=0即：n(2x+n+4)=0，∵PQ不重合，∴n≠0，∴2x=-n-4∴4x+12xn+5n+16n+8=(2x)+2x∙6n+5n+16n+81111=(n+4)+6n(-n-4)+5n+16n+8=24所以代数式4x1+12xn+5n+16n+8的值为241(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知关于x的二次函数y=ax-4axa>0．若Pm,n和Q5,bn>bm的取值范围为()A.m<-1CB.m>5C.m<-1或m>5-1<m<5称轴为直线x=2键．∵二次函数y=ax-4axa>0．-4a∴x=-=2，2a∵Pm,n和Q5,b是抛物线上的两点，13∴当n=b时，m=-1，∵∴n>b时，m的取值范围为m<-1或m>5；故选：C．2(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知二次函数y=ax-4ax+2(aa≠0)(1)若函数图象过点1,0a的值；(2)当2≤x≤5MNM-N=18a的值．23(1)a=(2)a=±2(1)将点1,0的坐标代入表达式求解即可；(2)分类讨论a(1)1,0得a-4a+2=023解得：a=(2)由y=ax-4ax+2可知对称轴为直线x=2①当a>02≤x≤5时当x=2x=5时取最大值∴M=5a+2N=-4a+2∵M-N=5a+2--4a+2=9a=18解得a=2②当a<02≤x≤5时当x=2x=5时取最小值∴M=-4a+2N=5a+2∴M-N=-4a+2-5a+2=-9a=18解得a=-2满足题意．综上所述：a=±2．3(23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习)y=ax+bx+4(a≠0)经过点，，A(-10)点B(40)y轴交于点CACBC．点M是线段OB上不与点OBM作DM⊥xDBC于点E．14(1)求抛物线的表达式；(2)过点D作DF⊥BCF．设M点的坐标为M(m0)m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF(1)抛物线的表达式为：y=-x+3x+4(2)当m=2时，DF有最大值为22(1)利用待定系数法求函数解析式．2(2)先求出B,C所在直线解析式可得∠OBC=∠OCB=45°DF=DE可表示DF长度的代数式，2再配方求解即可．(1)把点A(-10)B(40)分别代入y=ax+bx+4a≠0a-b+4=016a+4b+4=0a=-1b=3解得：∴抛物线的表达式为：y=-x+3x+4．(2)把x=0代入y=-x+3x+4中，得：y=4∴C0,4设BC所在直线解析式为y=kx+b,把B4,0,C0,4代入y=kx+b中，0=4k+b得：4=bk=-1b=4解得∴y=-x+4设Mm,0,则D(m,-m+3m+4)Em,-m+4∴DE=-m+3m+4+m-4=-m+4m∵OB=OC=4,OC⊥OB15∴∠OBC=∠OCB=45°∵DM⊥x轴∴∠DEF=∠BEM=45°又∵DF⊥BC222222∴DF=DE=-m+4m=-(m-2)+2222∵-<0∴当m=2时，DF有最大值为22．的最值题型05ac与图像的关系1(23-24九年级上·广东梅州·期末)如图所示是二次函数y=ax-x+a-1的值是a()12A.a=-1CB.a=C.a=1a=1或a=-10,00,0代入函数解析式得a2-1=0a的值．0,0，把点0,0代入函数解析式得a-1=0a=±1a>0；所以a=1．；故选：C．2(23-24九年级上·浙江丽水·期末)已知二次函数y=ax²+2x+ca≠0的图象如图所示．16(1)写出c的值；(2)求出函数的表达式．(1)3(2)y=-x²+2x+3关键．(1)将点0,3代入y=ax²+2x+ca≠0即可求出c；(2)把点A3,0代入y=ax²+2x+3a≠0即可求出函数表达式．(1)解：∵二次函数y=ax²+2x+ca≠0的图象经过点0,3；∴将点0,3代入y=ax²+2x+ca≠0得；c=3．(2)y=ax²+2x+3a≠0；∵函数图象经过点A3,0；∴把点A3,0代入y=ax²+2x+3a≠0得；a=-1；∴函数的表达式为：y=-x²+2x+33(23-24九年级上·广东广州·阶段练习)y=ax-2x+c的图象与轴交于点xA-3,0和点By轴交于点C0,3．(1)求二次函数的解析式；(2)求By<0时，x的取值范围；(1)y=-x-2x+3(2)B1,0x<-3或x>1．；17利用数形结合思想解答是解题的关键．(1)(2)根据当y=0时，-x-2x+3=0B1,0(1)解：∵二次函数y=ax-2x+c的图象经过点9a+6+c=0，A-3,0C0,3，∴，c=3a=-1c=3解得：，∴该二次函数的解析式为y=-x-2x+3；(2)(1)y=-x-2x+3，当y=0时，-x-2x+3=0，解得x=1x=-3，12∴B1,0，y<0时，x的取值范围为x<-3或x>11(23-24九年级上·广西崇左·期末)已知二次函数y=m+2x+m-9则m的值为()A.±3B.3C.-3±4.5Cm<-2出m=±3∵二次函数的解析式为：y=m+2x+m-9有最大值，∴m+2<0，∴m<-2，∵二次函数y=m+2x+m-9的图象经过原点，∴m-9=0，∴m=-3或m=3，∵m<-2，∴m=-3．故选：C2(20-21九年级上·全国·单元测试)y=ax-x+c的图象经过两点．A-1,0B0,-2181求此抛物线的解析式；2求此抛物线的顶点坐标和对称轴；3x取何值时，y>0？21212941y=x-x-2x=,-3抛物线的对称轴是直线当x取x<-1或x>2时，y>0．(1)把A点和B点坐标代入y=ax-x+c得到关于、、即可得acac到抛物线解析式；(2)(3)先通过解方程x-x-2=0得到抛物线y=x-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．1∵二次函数y=ax-x+c的图象经过A-1,0B0,-2，a+1+c=0c=-2a=1∴c=-2∴此二次函数的解析式是y=x-x-2；129422∵y=x-x-2=x--，121294∴抛物线的对称轴是直线x=,-；3当y=0时，x-x-2=0x=-1x=2y=x-x-2与x轴的另一个交点的坐标为122,0．所以当x取x<-1或x>2时，y>0．数法求二次函数解析式是解题的关键3(23-24九年级上·江苏扬州·期末)y=ax+bx+3的图象经过点A10，B-2319(1)求a+b的值；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l()(3)y≤3时，x的取值范围是(1)a+b=-3．(2)见解析(3)x≤-2或x≥0(1)利用待定系数法求解即可；(2)根据二次函数图象的对称性可得出抛物线的对称轴；(3)a+b+3=0(1)A10B-23代入二次函数y=ax+bx+3得：，4a-2b+3=3a=-1b=-2解得：，∴a+b=-1+-2=-3；(2)l为所求对称轴，，由(1)得二次函数的解析式为y=-x-2x+3=-x+1+4，20∴可以得出顶点坐标为-14x=-1；(3)y=3-x-2x+3=3，解得：x=0或x=-2，结合图象得：x≤-2或x≥0时，y≤3，故答案为：x≤-2或x≥0题型06abc与图像的关系1(23-24九年级上·山东济南·期末)二次函数y=ax+bx+ca≠0abc<02a-b=0-2<x<3时，y<0x≥1时，y随x是()A.1B.2C.34Ay轴的交abcy<0时，x∵二次函数的图像开口向上，∴a>0，∵二次函数图像的对称轴在y轴的右侧，b2a∴->0，∴b<0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0②∵a>0b<0，∴2a-b>0③∵x=1x轴的位于对称轴左边的交点的坐标为-2,0，21∴该图像与x轴的位于对称轴右边的交点的坐标为4,0，∴当-2<x<4时，y<0，∴当-2<x<3时，y<0④∵x=1，∴当x≥1时，y随x∴正确的个数是1个．故选：A2(23-24九年级上·湖北随州·期末)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示抛物线的顶点坐4a+b=1am+bm标是1,1a>0b-4ac>0Am,n+c≥a+b+c．其中正确的结论是．x∵抛物线的开口向上，∴a>0∵抛物线与x轴没有交点，∴b-4ac<0∵顶点坐标为1,13,3，∴a+b+c=1,9a+3b+c=3，8a+2b=2，∴4a+b=1∵当x=1时y=a+b+c=1值最小，∴am+bm+c≥a+b+c3(23-24九年级上·河南洛阳·期末)已知二次函数y=ax+2ax-m．22(1)当a=1y=ax+2ax-m的图象与xm的取值范围；(2)若二次函数y=ax+2ax-m的部分图象如图所示，①求二次函数y=ax+2ax-m图象的对称轴；②求关于x的一元二次方程ax+2ax-m=0的解．(1)m>-1(2)①直线x=-1x=1x=-312(1)将a=1代入二次函数y=ax+2ax-ma=1y=ax+2ax-m的图象与x2-