专题7 极值点偏移问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (湘教版2019)

专题7极值点偏移问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(湘教版2019)主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容为选择性必修第二册“专题7极值点偏移问题”（湘教版2019），重点探讨函数图像的极值点偏移现象及其数学原理。教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在前期已经学习了函数的基本性质、导数的概念及运用导数研究函数的单调性与极值。在此基础上，本节课将引导学生发现并理解极值点在函数图像中的变化规律，深化对函数极值概念的理解，并学会运用相关知识解决实际数学问题。核心素养目标分析本节课的核心素养目标旨在通过极值点偏移问题的研究，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等能力。学生将通过对函数图像的观察与分析，抽象出极值点偏移的数学特征，培养数学抽象思维；在探讨极值点偏移原因及求解过程中，运用逻辑推理能力，构建严谨的数学论证；结合实际情境，建立数学模型，提高数学建模素养；在解决问题的过程中，加强数学运算能力，精确求解，培养解决实际问题的数学素养。这一目标与“专题7极值点偏移问题”的内容紧密相关，符合新教材对学生核心素养培养的要求。学习者分析1.学生已掌握了函数的基本性质、导数的概念及运用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，能够理解并运用这些知识分析函数图像。

2.学生对数学学习的兴趣主要集中在解决实际问题、探索数学规律等方面。他们具备一定的逻辑推理能力和数学运算能力，但学习风格各异，部分学生擅长理论推导，另一部分学生则更倾向于直观感知和形象思维。

3.在学习本节课内容时，学生可能遇到的困难和挑战包括：理解极值点偏移的概念和原理，特别是在分析复杂函数图像时；将理论应用到具体问题中，求解极值点偏移的具体数值；以及在论证过程中，如何运用逻辑推理进行严密的数学证明。此外，对于部分学生来说，将实际问题抽象为数学模型并运用所学知识解决也是一大挑战。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过生动的语言和具体实例，讲解极值点偏移的理论知识，帮助学生建立清晰的数学概念。

2.讨论法：组织学生分组讨论，分析不同函数图像的极值点偏移现象，激发学生的思考和探究兴趣。

3.实验法：利用数学软件（如几何画板）进行函数图像的模拟实验，让学生直观感受极值点的变化，增强理解。

教学手段：

1.多媒体设备：通过PPT展示函数图像、动画演示极值点偏移过程，提高教学的直观性和趣味性。

2.教学软件：运用数学软件辅助教学，实时展示函数图像变化，便于学生观察和分析。

3.网络资源：利用网络平台，提供相关教学视频和拓展阅读材料，供学生课后复习和拓展学习。教学实施过程1.课前自主探索

-教师活动：

-发布预习任务：通过学校在线学习平台，发布关于极值点偏移预习的PPT和视频资料，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“极值点偏移的原因和条件”，设计具有启发性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：通过学习平台的数据反馈，监控学生的预习情况，确保预习效果。

-学生活动：

-自主阅读预习资料：学生按照预习要求，阅读资料，了解极值点偏移的基本概念。

-思考预习问题：针对问题，进行独立思考，记录理解和疑问。

-提交预习成果：将预习笔记、疑问等提交至平台或通过电子邮件发送给老师。

-教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立探索，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台和多媒体资源，实现资源的共享和互动。

-作用与目的：

-帮助学生初步理解极值点偏移的概念，为课堂深入学习打下基础。

-培养学生的自主学习和初步探究能力。

2.课中强化技能

-教师活动：

-导入新课：通过实际生活中的例子，如气温变化图，引出极值点偏移问题，激发兴趣。

-讲解知识点：详细讲解极值点偏移的理论知识，结合具体函数图像进行分析。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分析不同函数的极值点偏移情况。

-解答疑问：针对学生的疑问，进行个别解答或集体讨论。

-学生活动：

-听讲并思考：积极参与课堂，对讲解的知识点进行思考。

-参与课堂活动：在小组讨论中，分析函数图像，探讨极值点偏移的条件。

-提问与讨论：对不理解的问题进行提问，参与课堂讨论。

-教学方法/手段/资源：

-讲授法：系统讲解极值点偏移的理论知识。

-实践活动法：通过小组讨论，实践应用理论知识。

-合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

-作用与目的：

-帮助学生深入理解极值点偏移的原理和条件，掌握分析技巧。

-通过实践活动，培养学生的应用能力和团队合作精神。

3.课后拓展应用

-教师活动：

-布置作业：根据课堂内容，布置相关的习题，巩固学生对极值点偏移的理解。

-提供拓展资源：向学生推荐相关的学术文章和在线教育资源，供学生深入学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进。

-学生活动：

-完成作业：认真完成作业，巩固课堂所学。

-拓展学习：利用拓展资源，深化对极值点偏移的理解。

-反思总结：对学习过程进行反思，总结学习方法，提出改进措施。

-教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业，进行拓展学习。

-反思总结法：指导学生进行学习反思，形成学习闭环。

-作用与目的：

-巩固学生对极值点偏移的理解和运用能力。

-通过拓展学习，提升学生的学术视野和深度思考能力。

-通过反思总结，帮助学生形成良好的学习习惯，促进个人学习方法的完善。教学资源拓展1.拓展资源：

-相关数学理论书籍：《高等数学导论》、《数学分析》等，这些书籍中包含了关于函数极值理论的深入讲解，有助于学生更全面地理解极值点偏移问题。

-学术论文：在学术期刊中搜索关于极值点偏移问题的研究论文，这些论文往往包含了最新的研究成果和实际应用案例。

-教学视频：在教育资源平台上查找与极值点偏移相关的教学视频，如“可汗学院”等，这些视频能够以更直观的方式帮助学生理解复杂的数学概念。

-数学软件教程：提供几何画板、Mathematica、MATLAB等数学软件的使用教程，让学生能够通过实践操作来加深对极值点偏移问题的理解。

2.拓展建议：

-阅读拓展书籍：鼓励学生阅读相关数学理论书籍，了解极值点偏移在数学分析中的地位和作用，掌握更深入的数学理论。

-研究学术论文：指导学生如何检索和阅读学术论文，从科学研究的视角理解极值点偏移问题，培养学生科研素养。

-观看教学视频：建议学生利用课外时间观看教学视频，作为课堂学习的补充，特别是对于理解上有困难的学生，视频讲解能够提供另一种学习途径。

-实践操作数学软件：鼓励学生使用数学软件进行自主探索，如通过几何画板绘制函数图像，观察极值点的变化，从而加深对极值点偏移现象的理解。

-小组合作研究：组织学生成立学习小组，选择一个与极值点偏移相关的课题进行深入研究，通过团队合作解决问题，提升学生的合作能力和研究能力。内容逻辑关系①知识点梳理：

-极值点偏移的定义与特征

-极值点偏移的原因及条件

-极值点偏移问题的求解方法

②逻辑框架构建：

-从函数图像的观察引入极值点偏移的概念

-分析极值点偏移的数学原理，建立理论框架

-通过具体例题演示极值点偏移问题的求解步骤

③板书设计：

-板书标题：“极值点偏移问题”

-板书内容：

1.定义与特征

-极值点的定义

-极值点偏移现象

2.原因与条件

-函数单调性的变化

-导数的符号变化

3.求解方法

-导数的应用

-极值点偏移的判定

-具体求解步骤

板书设计应确保条理清晰，通过简洁明了的板书，帮助学生快速理解和记忆极值点偏移的相关知识点，以及如何应用这些知识点解决实际问题。教学评价与反馈1.课堂表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问和讨论情况，评价学生对极值点偏移概念的理解和运用能力。积极参与和提问的学生将获得表扬，而参与度较低的学生将得到鼓励和指导。

2.小组讨论成果展示：组织学生进行小组讨论，让他们分析特定函数的极值点偏移情况，并展示讨论成果。评价标准包括讨论的深入程度、分析方法的合理性以及成果展示的清晰度。

3.随堂测试：进行简短的随堂测试，以检验学生对极值点偏移概念的理解和应用能力。测试题型可以包括选择题、填空题和解答题，重点考查学生对极值点偏移原因和条件的理解。

4.课后作业：布置与极值点偏移相关的课后作业，要求学生完成并提交。评价标准包括作业的准确性和完整性，以及解题思路的清晰度。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂表现、小组讨论、随堂测试和课后作业中的表现，给予及时的反馈和评价。对于表现优秀的学生给予表扬和奖励，对于存在困难的学生给予个别指导和帮助。同时，教师将根据学生的反馈，调整教学方法和进度，以提高教学效果。典型例题讲解例题1：

求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(-∞,+∞)上的极值点偏移情况。

解答：

f'(x)=3x^2-6x

令f'(x)=0，解得x=0,2

f''(x)=6x-6

f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0

故x=0为极大值点，x=2为极小值点，且极值点发生偏移。

例题2：

讨论函数g(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间(-∞,+∞)上的极值点偏移情况。

解答：

g'(x)=4x^3-12x^2+12x-4

令g'(x)=0，解得x=1,1/2,1

g''(x)=12x^2-24x+12

g''(1)=0，g''(1/2)=6>0，g''(1)=0

故x=1/2为极大值点，x=1为极小值点，且极值点发生偏移。

例题3：

求函数h(x)=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1在区间(-∞,+∞)上的极值点偏移情况。

解答：

h'(x)=5x^4-20x^3+30x^2-20x+5

令h'(x)=0，解得x=1,1/2,1

h''(x)=20x^3-60x^2+60x-20

h''(1)=0，h''(1/2)=5>0，h''(1)=0

故x=1/2为极大值点，x=1为极小值点，且极值点发生偏移。

例题4：

讨论函数p(x)=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1在区间(-∞,+∞)上的极值点偏移情况。

解答：

p'(x)=6x^5-30x^4+60x^3-60x^2+30x-6

令p'(x)=0，解得x=1,1/2,1

p''(x)=30x^4-120x^3+180x^2-120x+30

p''(1)=0，p''(1/2)=15>0，p''(1)=0

故x=1/2为极大值点，x=1为极小值点，且极值点发生偏移。

例题5：

求函数q(x)=x^7-7x^6+21x^5-35x^4+35x^3-21x^2