四川省2025届高三上学期入学摸底考试 数学试题含答案

四川省2025届新高三秋季入学摸底考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知等差数列满足，则（）A． B．1 C．0 D．3．，则（）A． B． C． D．4．函数的极值点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（

）A． B． C． D．6．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（）A．3 B．4 C．14 D．167．已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（

）A． B． C． D．8．已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．与有相同的最小值C．直线为图象的一条对称轴D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图像10．已知函数为的导函数，则（）A．B．在上单调递增C．的极小值为D．方程有3个不等的实根11．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（

）A．三棱锥的体积为定值B．动点的轨迹长度为C．不存在点，使得平面D．四面体DEFG体积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知向量，若，则.13．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为.14．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知中，角所对的边分别为，其中.(1)求的值；(2)若的面积为3，周长为6，求的值.16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点(1)证明：平面;(2)若，求直线与平面所成角的正弦值17．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.(1)求的方程；(2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.18．已知函数.(1)若，求曲线y=fx在x=1处的切线方程；(2)若x>0时，求的取值范围；(3)若，证明：当时，.19．已知首项为1的数列满足.(1)若，在所有中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数为，求的分布列及数学期望；(2)若数列满足：若存在，则存在且，使得.（i）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；（ii）在所有满足条件的数列中，求使得成立的的最小值.1．A【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．【详解】，则所求虚部为.故选：A．2．C【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由可得：，所以，故选：C3．D【分析】利用诱导公式对进行化简，再利用进行求解即可.【详解】由，则，因此可得，故选：D.4．B【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得.【详解】当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2；当时，，因恒成立，故函数在上单调递减，结合函数在上单调递减，可知0不是函数的极值点.综上，函数的极值点只有1个.故选：B.5．B【分析】解法一，求出，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得，故；解法二：数学成绩在80分至95分的有人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故.故选：B.6．B【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分，即可得到所有划分的个数.【详解】依题意，，的2划分为，共3个，的3划分为，共1个，故集合的所有划分的个数为4.故选：B.7．C【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，则，则，设圆台的母线长为，则，解得，则圆台的高，记外接球球心到上底面的距离为，则，解得.故选：C.8．C【分析】通过联立方程组的方法求得的坐标，然后根据向量数量积运算求得.【详解】依题意，抛物线，即，则，设，直线，联立得，则.而直线，即，令，则，即，令，则，故，则，故.故选：C

【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.9．ABD【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B：根据解析式可得与的最小值；对于C：代入求，结合最值与对称性分析判断；对于D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为，对于选项A：的最小正周期，故A正确；对于选项B：与的最小值均为，故B正确；对于选项C：因为，可知直线不为图象的对称轴，故C错误；对于选项D：将的图象向左平移个单位长度后，得到，故D正确.故选：ABD.10．BD【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可.【详解】因为，所以，，A说法错误；令解得或，令解得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，B说法正确；的极大值点为，极大值，极小值点为，极小值，C说法错误；因为当时，，当时，，所以方程有3个不等的实根，分别在，和中，D说法正确；故选：BD11．ACD【分析】对于A，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，据此判断A；对于B，根据题意求出正方体边长及的长，由此可知点的运动轨迹；对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B中的轨迹即可；对于D，利用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A，如图，连接、，依题意，，而平面平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确；对于B，因为正方体的体积为8，故，则，而，故，故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为，故B错误；以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设n=x,y,z为平面的法向量，则故令，故为平面的一个法向量，设，故，若平面，则，则，解得，但，所以不存在点点，使得平面，故C正确；对于D，因为为等腰三角形，故，而点到平面的距离，令，则，则，其中，则四面体体积的最大值为，故D正确.故选：ACD.12．【分析】利用向量数量积的坐标公式计算即得.【详解】由可得，解得，.故答案为：.13．【分析】由平均数的定义算出，再由百分位数的定义即可求解.【详解】依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故答案为：.14．【分析】由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代入，即可得出答案.【详解】不妨设点在第一象限，连接，则，故，，设，因为，所以为的中点，，故.，将代入中，故，则.故答案为：.

15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求出的值；（2）根据三角形的面积公式、余弦定理即可求出的值.【详解】（1）由正弦定理得，因为，故可得，则，因为，故.（2）由题意，故.由余弦定理得，解得.16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可；（2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量,再通过空间角的向量求解即可.【详解】（1）分别为的中点为正方形平面平面平面.（2）由题知平面建立如图所示的空间直角坚标系，，则,,,,设平面的一个法向量为n=则,令则,设直线与平面所或的角为,，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.【详解】（1）设Fc,0，依题意，解得故的方程为.（2）

如图，依题意F1,0，联立消去，可得，依题意，需使，整理得（*）.因为，则直线的斜率为，则其方程为，联立解得即故，将（*）代入得，故.18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数的单调性，得到极值，转化为极大值小于0即可得解；（3）转化为证明，构造关于的函数，利用导数求最小值，再由导数求关于的函数的最小值，由不等式的传递性可得证.【详解】（1）当时，，则，所以，又，所以切线方程为.（2），当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，又，所以，即，所以的取值范围为.（3）由可得，即证当，时，，令，则，由可知，，故在上单调递减，所以，令，则，当时，，，所以，故ℎx在上单调递增，所以，所以，即，所以成立.【点睛】关键点点睛：本题第三问中，要证明不等式成立，适当转化为证明成立，首先关键在于构造视为关于的函数，由此利用导数求出，其次关键在于构造关于的函数，利用导数求其最小值.19．(1)分布列见解析，1(2)（i）证明见解析，（ii）1520【分析】（1）根据递推关系化简可得，或写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i）假设数列中存在最小的整数，使得，根据所给条件可推出存在，使得，矛盾，即可证明；（ii）由题意可确定必为数列中的项，构成新数列，确定其通项公式及，探求与的关系得解.【详解】（1）依题意，，故，即，故，或因为，故；则，故的可能取值为，故，故的分布列为012故.（2）（i）证明：由（1）可知，当时，或；假设此时数列中存在最小的整数，使得，则单调递增，即均为正数，且，所以；则存在，使得，此时与