上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试卷含答案

2024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．1．若集合，则______．2．不等式的解集为______．3．若（为虚数单位），则的共轭复数为______．4．若角的终边经过点，则______．5．某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表．已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率______．6．若的二项展开式中的系数是，则实数______．7．已知圆，则圆心到直线的最大距离为______．8．设当时，函数取得最大值，则______．9．已知为函数图像上的任意一点，则的最大值为______．11．已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为______．12．定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为______．12．若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．“”是“”成立的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要14．若甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．30种15．已知正方体的棱长为1，线段上有两个动点，若，则下列结论中错误的是（）A． B．平面C．异面直线所成的角为定值 D．三棱锥的体积为定值16．我们知道，互相垂足且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为．在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为．若是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，已知正方体的棱长为．（1）求直线和平面所成角的大小；（2）求二面角的大小．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知，曲线在点处的切线斜率为2．（1）求的值；（2）求不等式的解集．19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在课后2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，所及选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：喜欢奥数不喜欢奥数总计已选奥数课（A组）15050200未选奥数课（B组）90110200总计240160400（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？（2）能否有99．5%的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828参考公式：，其中．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）在平面直角坐标系中，已知双曲线．（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆，若分别是上的动点，且，求证：到直线的距离是定值．21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．（1）求；（2）求数列的前项和；（3）记，求证：．2024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期开学考数学试卷2024.9一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．1．【答案】【解析】．2．【答案】【解析】，或．3．【答案】【解析】，则的共轭复数为．4．【答案】【解析】．5．【答案】【解析】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”，由题意，，要求的是在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，不难理解，在事件发生的条件下，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择，因此．6．【答案】1【解析】设为含的项，则，．7．【答案】【解析】直线经过的定点为，当圆心与定点的连线与直线垂直时，距离最大为．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】设，则可知当单调递增，当时，单调递减则的最大值为．10．【答案】【解析】，则向量在向量方向上的投影向量为．11．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，对也成立，所以，则，所以数列为等差数列，记数列为．故对任意的恒成立，可化为：，即，解得．12．【答案】【解析】，设，则可知当单调递增，当时，单调递减，若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，则．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【答案】A【解析】由小范围推大范围可知为充分非必要条件，故选A．14．【答案】C【解析】则甲乙所选的课程中恰有1门相同的选法有，故选C．15．【答案】C【解析】对于A，平面，又平面，故A正确；对于B，平面，又在直线上运动，平面，故B正确；对于D，由于点到直线的距离不变，故的面积为定值，又点到平面的距离为，故三棱锥的体积为定值，故D正确；对于C，当点在处，为的中点时，异面直线所成的角是，当在上底面的中心时，在的位置，异面直线所成的角是，显然两个角不相等，故C不正确，故选C．16．【答案】B【解析】设轴方向的单位向量为轴方向的单位向量为，则，得，由向量的数量积运算，得，从而得，故选B．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．【答案】（1）；（2）【解析】（1）平面直线和平面所成角为，，则直线和平面所成角的大小为．（2），则二面角的平面角为．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知点在曲线上，，．（2）由（1）知恒成立，则在上为严格增函数，且为奇函数，则，，则不等式的解集为．19．【答案】（1）20，12；（2）有关【解析】（1）应在A组抽取，应在B组抽取．（2）零假设为：选报奥数延时课与喜欢奥数无关．根据列联表中的数据，经计算得到，因此依据的独立性检验，可以推断不成立，因此有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关．20．【答案】（1）；（2）见解析；（3）是【解析】（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：．过点与渐近线平行的直线方程为，即．解方程组，得．所以所求三角形的面积1为．（2）设直线的方程是．因直线与已知圆相切，故，即．由，得．设，则．所以故．（3）当直线垂