2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）含答案

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．已知集合，，，0，2，，则A．， B．， C．，， D．，0，2．若，则A． B． C． D．3．已知向量，，若，则A． B． C．1 D．24．已知，，则A． B． C． D．5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为A． B． C． D．6．已知函数为在上单调递增，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，7．当，时，曲线与的交点个数为A．3 B．4 C．6 D．88．已知函数为的定义域为，，且当时，，则下列结论中一定正确的是A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，，则（若随机变量服从正态分布，则A． B． C． D．10．设函数，则A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时，11．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则A． B．点，在上 C．在第一象限的纵坐标的最大值为1 D．当点，在上时，三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．设双曲线的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为．13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则．14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为．四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求；（2）若的面积为，求．16．（15分）已知和为椭圆上两点．（1）求的离心率；（2）若过的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程．17．（15分）如图，四棱锥中，底面，，，．（1）若，证明：平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求．18．（17分）已知函数．（1）若，且，求的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若当且仅当，求的取值范围．19．（17分）设为正整数，数列，，，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，是——可分数列．（1）写出所有的，，使数列，，，是——可分数列；（2）当时，证明：数列，，，是——可分数列；（3）从1，2，，中一次任取两个数和，记数列，，，是——可分数列的概率为，证明：．

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．已知集合，，，0，2，，则A．， B．， C．，， D．，0，【解析】：集合，，，0，2，，，，，，，则，．故选：．2．若，则A． B． C． D．【解析】解法一(常数分离)：由于，则，即，可得．故选：．解法二(解方程)：由题意可得，，解得。故选C。解法三(列方程组)：去分母得，令，则，得所以，解得a=1，b=-1.因此z=1-i。故选C。解法四(检验)：取，则，不合题意；取，则，不合题意；取，则，适合题意。故选C。解法五（取倒数分离法）因为，所以，所以，所以。故选C。3．已知向量，，若，则A． B． C．1 D．2【解析】解法一：，，则，∵，∴，解得．故选：．解法二：，∴4．已知，，则A． B． C． D．【解析】解法一：(整体思想)：因为，由，可得，所以，，则．故选：．解法二：增元化齐次式——化切技设，又两式相除得：，注：由弦、切，可联想化切技。化切时要想方设法出现关于弦的齐次式——等式或分式。5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为A． B． C． D．【解析】：设圆锥的底面半径为：，圆锥的母线长为：，圆柱和圆锥的侧面积相等，可得，解得，圆锥的体积为：．故选：．6．已知函数为在上单调递增，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】：函数为在上单调递增，可知：，可得，．故选：．7．当，时，曲线与的交点个数为A．3 B．4 C．6 D．8【解析】：令，则，又因为可知，可取值分别为；令，则，又因为，可知，可取值分别为；在同一坐标系中，作出函数与在，上的图象如下，由图象可知，当，时，曲线与的交点个数为6个．故选：．8．已知函数为的定义域为，，且当时，，则下列结论中一定正确的是A． B． C． D．【解析】：设，，则，，，故，，，观察可知，，，，，，，，，，，，……，则，即．故选：．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，，则（若随机变量服从正态分布，则A． B． C． D．【解析】：依题意，，，，，对于，，由于，则，错；，对；对于，，由于，则，对；，错．故选：．10．设函数，则A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时，【解析】解法一：对于，，易知当时，，则函数在上单调递减，当，，时，，则函数在，上单调递增，故是函数的极小值点，选项正确；对于，当时，，且，又在上单调递增，则，选项错误；对于，由于，一方面，，另一方面，，则，选项正确；对于，由于，则，即，选项正确．故选：．解法二：利用函数图像奇穿偶回技巧，可以直接得到函数草图,直接判断B错误：对于，当时，，且，又在上单调递增，则，选项错误；对于，，∴，又是子集，∴C对或者：令，如图，此时，∴C对11．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则A． B．点，在上 C．在第一象限的纵坐标的最大值为1 D．当点，在上时，【解析】：对，因为在曲线上，所以到的距离为，而，所以有，，那么曲线的方程为，对，因为代入知满足方程；错，方法一：因为，求导得，那么有（2），，于是在的左侧必存在一小区间，可以取无限小的数）上满足，因此最大值一定大于1；解法二：由曲线的方程可得，取，则，故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错.对，曲线的方程为，可化为，即，因为．故选：．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。12．设双曲线的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为．【解析】：方法一：由题意知，，，所以，解得；又时，，即，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：．解法二：仿方法一得，由，，F2(-c,0)，得，且(2c)2+(b2a)2=132，又c2=a2+b解法三：∵AB⊥x轴，AB=10，AB过F2，∴由双曲线的对称性得AF2=B又F1(-c,0)，AF1=13，∴(2c)2+52=132，解得，从而A(6,5)，代入双曲线的方程得，即，解得∴双曲线的离心率方法四：∵AB⊥x轴，∴AB是通径，又AB=10，∴AF2=BF又AF1=13，AB⊥x轴，∴由勾股定理得F1F2=12，由双曲线的定义得2a=AF1-AF2=8，∴，∴解法五：因为，所以，由解法三可知，所以，解得，所以双曲线的离心率.13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则．【解析】：方法一：曲线，可得，在点处切线的斜率为：，切线方程为：，即．曲线在点处的切线也是曲线的切线，设的切点的横坐标为，可得切线的斜率为：，可得，代入，可得切点坐标为：，，切点在曲线上，所以，解得．故答案为：．解法二：仿方法一得切线方程为y=2x+1，设切点的横坐标为x0，仿方法一得x0=-12，代入切线方程得y0=0，将之代入y=ln(x+1)+解法三：（切线重合）曲线，可得，在点处切线的斜率为：，切线方程为：，即．设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合，所以a-ln2=0，解得a=ln2．故答案为：ln214．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为．【解析】：方法一：甲出1一定输，所以甲最多得3分，若得3分，就只有一种组合、、、；若得2分有三类，分别列举如下：①出3和出5的赢，其余输：，，，；②出3和出7的赢，其余输：，，，；，，，；，，，；③出5和出7的赢，其余输：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；共12种组合满足要求，而所有组合为种，所以甲得分不小于2的概率为．故答案为：．解法二：甲、乙出卡片共有种可能，四轮结束后甲的总得分小于2，则甲得0分或者1分。如果甲得0分，则甲出1，3，5，7分别对应着乙出2，4，6，8，只有一种情况；如果甲得1分，则甲出1，3，5，7时，乙有以下11种情况与之对应：(固定甲：1，3，5，7，对应摆乙的2，4，6，8，保证只有一个满足甲的数>乙的数。)所以四轮结束后甲的得分小于2的概率为，四轮结束后甲的得分不小于2的概率为。解法三：甲、乙出卡片共有A44=24种可能，四轮结束后甲的总得分为0，1，2，3，注意到甲得0分与得3分是相对应的，都是一种极端情形：甲全小(13577对2468)与甲除1外全大(13577对8246)；甲得1分与得2分是相对应的，如甲出卡片顺序为1357，乙出卡片顺序为2648，甲得1分(5赢)，调整乙出卡片的顺序为8264(5负)，因此，甲得0、1分与甲得2，3分各占一半，故四轮结束后甲的得分不小于2的概率为四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求；（2）若的面积为，求．【解析】：（1）因为，所以，结合为三角形的内角，可得．因为，所以，结合，得；（2）解法一：由（1）可知，设的外接圆半径为，由正弦定理得，，由，得，即，解得，所以（舍负），可得．解法二：（平面几何法）如图，过A作，垂足为D,设BD=m(m>0),则，，16．（15分）已知和为椭圆上两点．（1）求的离心率；（2）若过的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程．【解析】：（1）依题意，，解得，则离心率；（2）方法一：由（1）可知，椭圆的方程为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知此时，点到直线的距离为3，则，与已知矛盾；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，设，，，，联立，消去整理可得，，则，由弦长公式可得，，点到直线的距离为，则，解得或，则直线的方程为或．解法二：，则直线的方程为，即，，由（1）知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：，则，解得或，当时，联立，解得或，即或，当时，此时，直线的方程为，即，当时，此时，直线的方程为，即，当时，联立得，，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或.解法三：因为，，且的面积为9，故点到直线的距离为，故可知点在直线上，将其与椭圆方程联立，可以解得，或者，对应的直线，或者.解法四：（三角设点+面积坐标公式）设.。(这里用了面积坐标公式).。.or.。或(无解舍去)。oror。方程:或.

解法五：（化椭圆为圆+设角）椭圆的方程为令,则点变为变为令,则化简后得,故或，所以或orB。方程:或解法六：画图+口算因为,所以椭圆上点到直线的距离为,从而满足题意的点最多只有两个,下顶点满足.作则..易得与关于坐标原点对称,。or均符合题意。或。17．（15分）如图，四棱锥中，底面，，，．（1）若，证明：平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求．【解析】：（1）证明：因为面，面，所以，又因为，，，面，所以面，又面，所以，在中，，所以，因为，，，四点共面，所以，又因为面，面，所以面．（2）以，为，轴，过点作平面垂直的线为轴，建立如图所示空间直角坐标系令，则，0，，，0，，，0，，，，，，设平面的法向量，，，所以，设，则，，所以，，，设平面的法向量为，，，所以，设，则，，所以，0，，因为二面角的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，所以，，解得，所以．18．（17分）已知函数．（1）若，且，求的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若当且仅当，求的取值范围．【解析】：（1）解法一：由，解得，所以函数的定义域为，当时，，所以，对恒成立，又，当且仅当时取“”，所以只需，即，所以的最小值为．解法二：，所以，因为，又，所以当时，取得最大值1，故，下同解法一。（2）证明（方法一）：，，所以关于点中心对称．解法三：的定义域为，,因此图像关于点对称，所以曲线是中心对称图形。（3）因为当且仅当，因为是连续的，所以（1），又（1），解得，因为，（1），端点恒成立：①时，恒成立的必要条件为，在处，成立，所以（1），又（1）恒成立，所以（1），因为，又（1）恒成立，所以（1），因为，又（1）恒成立，所以（1），因为，所以（1），解得，所以为时，恒成立的必要条件，②下面证明的充分性：思路因为，令，则上式，思路因为，令，则，令，则，因为，又因为，所以，则在上单调递减，，则，又因为，所以，所以在上单调递增，则（1），所以在上单调递增，则（1），所以在上单调递增，即时，（1）恒成立，所以为时，恒成立的充分条件，综上所述，为时，恒成立的充要条件，所以的取值范围为，．19．（17分）设为正整数，数列，，，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，是——可分数列．（1）写出所有的