苏科版2024-2025学年八年级数学上册1.17构造三角形全等方法-作公共边、公共角、垂直(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题12.17构造三角形全等方法——作公共边、公共角、垂直（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍作公共边、公共角、作垂线构造三角形全等的辅助线方法第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】连接两点构造公共边【例1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图：在四边形中，．求证：．【变式1】（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，中，，，是的中点，．

（1）求证：（提示：连接；（2）若，求四边形的面积．【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：中，，，点为内一点，连接，，，过点作，交的延长线于点．（1）如图，求证：；（2）如图，点为的中点，分别连接，，求的度数．【题型2】延长相交构造等角【例2】（21-22八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知，点E为上一点，，分别平分，．（1）求证：；（2）求证：【变式1】（20-21八年级上·山东德州·期中）如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且∠AMD=90°，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB【变式2】如图，在中，，、是的角平分线，与相交于点F，交的延长线于G，交于H．

（1）求证：；（2）求证：；（3）若则【题型3】作垂线段构造等角或公共边【例3】（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践：【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：．【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点．【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系．【变式1】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：平分；（3）若四边形的面积为18，，求的长．【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，点、、在一条直线上，，，求证：.小虎同学的证明过程如下：证明：，，

第一步又，，≌，

第二步．

第三步（1）小虎同学的证明过程中，第一步出现错误；（2）请写出正确的证明过程.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2011·辽宁丹东·中考真题）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．（1）求证：BE＝CG；（2）判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．【例2】（2011·湖北省直辖县级单位·中考真题）两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I=CI．拓展延伸【例1】在中，，，点D在的延长线上，M是的中点，E是射线CA上一动点，且，连接，作，交延长线于点F．（1）如图1，当点E在上时，填空：________（填“”、“”或“”）．（2）如图2，当点E在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．【例2】（22-23八年级下·江西景德镇·期中）如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．

（1）如果，，①当点D在线段（不含端点）上时，如图1，则线段与的位置关系是_____②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立？并说明理由．如果，是锐角，点D在线段（不含端点）上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由．专题12.17构造三角形全等方法——作公共边、公共角、垂直（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍作公共边、公共角、作垂线构造三角形全等的辅助线方法第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】连接两点构造公共边【例1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图：在四边形中，．求证：．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及平行线性质、三角形全等的判定与性质等知识，连接，如图所示，由平行线性质得到，再由三角形全等的判定与性质即可得证，添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，根据要证明的结论准确作出辅助线是解决问题的关键．证明：连接，如图所示：

∵．∴，在与中，，∴，∴．【变式1】（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，中，，，是的中点，．

（1）求证：（提示：连接；（2）若，求四边形的面积．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）连接，证明，根据全等三角形的性质即可得出；（2）根据，得到四边形的面积，于是得到结论．（1）证明：连接，

中，，，，，，，，，，在和中，，，；（2）解：，四边形的面积，，，四边形的面积．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定．考查了学生综合运用数学知识的能力，连接，构造全等三角形是解决问题的关键．【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：中，，，点为内一点，连接，，，过点作，交的延长线于点．（1）如图，求证：；（2）如图，点为的中点，分别连接，，求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质得出即可；（）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质解答即可；本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题．解：（1）∵，，∴，∵，∴，∴，在与中，∴，∴；（2）如图，连接，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，在与中，∴，∴，，∴即，∴．【题型2】延长相交构造等角【例2】（21-22八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知，点E为上一点，，分别平分，．（1）求证：；（2）求证：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）先根据平行线和角平分线的定义证明∠BAE+∠ABE=90°，再由三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可证明AE⊥BE；（2）如图所示，延长AE交BC延长线于F，先证明△ABE≌△FBE得到AB=FB，AE=FE，再证明△ADE≌△FCE得到AD=CF，即可证明AB=BC+AD．解：（1）∵，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABC，∴∠BAD=2∠BAE，∠ABC=2∠ABE，∴2∠BAE+2∠ABE=180°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=90°，即AE⊥BE；（2）解：如图所示，延长AE交BC延长线于F，∵AE⊥BE，∴∠BEA=∠BEF=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，又∵BE=BE，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AB=FB，AE=FE，∵，∴∠EAD=∠EFC，∠EDA=∠ECF，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD=CF，∴AB=FB=BC+CF=BC+AD．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式1】（20-21八年级上·山东德州·期中）如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且∠AMD=90°，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB【分析】延长AM、DC交于点E，利用ASA即可证出△ADM≌△EDM，从而得出∠DAM=∠E，然后根据平行线的判定及性质可证∠E=∠BAM，从而得出∠DAM=∠BAM，即可证出结论．解：延长AM、DC交于点E∵∠AMD=90°∴∠EMD=180°－∠AMD=90°=∠AMD∵DM平分∠ADC，∴∠ADM=∠EDM∴在△ADM和△EDM中∴△ADM≌△EDM∴∠DAM=∠E∵∠B=∠C=90°∴∠B＋∠C=180°∴DC∥AB∴∠E=∠BAM∴∠DAM=∠BAM∴AM平分∠DAB．【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质和平行线的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质和平行线的判定及性质是解题关键．【变式2】如图，在中，，、是的角平分线，与相交于点F，交的延长线于G，交于H．

（1）求证：；（2）求证：；（3）若则【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)3【分析】（1）运用三角形的内角和进行列式，即可作答；（2）先根据直角三角形的两个锐角互余及角平分线的定义证，进而得，再证，据此可依据“”判定和全等，由全等三角形的性质得出结论：；（3）延长交与T，先证和全等得，再证和全等得，据此即可得出结论．（1）解：∵，，∴，∵，∴，即；（2）证明：∵，∴，∵、是的角平分线，∴，，∴，∴，∵，则，∴，∴，在和中，，∴，∴．（3）解：延长交与T，如图：

是的角平分线，∴，∴，则，在和中，，∴，∴，由（2）可知：，∴，，∴，∵是的角平分线，∴，在和中，∴，∴，∴．∵∴即∵∴【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的对应边相等、对应角相等是解答此题的关键．【题型3】作垂线段构造等角或公共边【例3】（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践：【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：．【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点．【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）利用证得，即可求证结论；（2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论；（3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解；解：（1）证明：，，，，，在和中，，，；（2）证明：过作于，如图：由（1）得：，，，，在和中，，，，，，，，，，是的中点；（3），理由如下：过点作于，如图：由（2）得：，，，，，，，，，．【变式1】（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：平分；（3）若四边形的面积为18，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．（1）利用进行证明即可；（2）先过点作于，判定，即可得出，进而得证；（3）先判定，得出，再根据，面积公式列出式子，进而得到的长．解：（1）证明：在与中，，．（2）作于，如图1，，，，，，在与中，，，，平分；（3）解：，，在和中，，，，四边形，，，解得：．【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，点、、在一条直线上，，，求证：.小虎同学的证明过程如下：证明：，，

第一步又，，≌，

第二步．

第三步（1）小虎同学的证明过程中，第一步出现错误；（2）请写出正确的证明过程.【答案】(1)二；(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．（1）根据三角形全等的判定定理求解即可；（2）过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，利用证明≌，从而得出．解：（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二；（2）证明：如图：过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，，，，，，，，在和中，，≌，，，，在和中，，≌，．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2011·辽宁丹东·中考真题）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．(1)求证：BE＝CG；(2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)BE+CF＞EF，见解析【分析】（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG；（2）先连接AG，再利用全等的性质可得DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出BE+CF>EF，（1）解：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AB∥CG，∴∠B＝∠DCG，在△BDE和△CDG中，∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴BE＝CG；（2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，∵△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG，∴EF＝GF，又∵△CFG中，CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．【例2】（2011·湖北省直辖县级单位·中考真题）两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I=CI．【答案】答案见解析【分析】（1）观察图形，根据全等三角形的判定定理，即可得与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH；（2）利用SAS即可判定△AF1C≌△D1H1C，则可得对应线段相等，即可求得D1F1=AH1；（3）首先连接CG1，利用AAS即可证得△D1G1F1≌△AG1H1．然后可证得△CG1F1≌△CG1H1．又由平行线的性质即可求得答案．解：（1）图②中与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH．（2）D1F1=AH1．证明：∵∴△AF1C≌△D1H1C∴F1C=H1C，又CD1=CA，∴CD1-F1C=CA-H1C.即D1F1=AH1（3）连接CG1.在△D1G1F1和△AG1H1中，∵，∴△D1G1F1≌△AG1H1.∴G1F1=G1H1又∵H1C=F1C，G1C=G1C，∴△CG1F1≌△CG1H1.∴∠1=∠2.∵∠B=60°，∠BCF=30°，∴∠BFC=90°.

又∵∠DCE=90°，∴∠BFC=∠DCE，

∴BA∥CE，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴G1I=CI．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定定理．掌握全等三角形的旋转模型是解题的关键．拓展延伸【例1】在中，，，点D在的延长线上，M是的中点，E是射线CA上一动点，且，连接，作，交延长线于点F．（1）如图1，当点E在上时，填空：________（填“”、“”或“”）．（2）如图2，当点E在的延长