明算理建算法探究小学除法运算本质

摘

要：除法在小学数学中的地位至关重要，影响着学生运算能力的培养。在实际教学过程中，部分教师仅根据教学表面呈现的内容按部就班地开展教学，通过做大量的题对学生进行运算能力训练，并未深入剖析学生出错的内在原因。文章在除法意义和数的意义教学基础上，以“除数是两位数的除法”主题单元为例，分析学生出错的内在原因，根据学生的学习需求，创新教学模式，分析除法运算的本质，建构有关除法运算的新体系。关键词：除法运算；除法算理；运算能力“除数是两位数除法”是对除法意义地再理解和应用，计算过程与除数是一位数的除法相比更为复杂，是学生学习的难点。实际教学中，由于部分教师看不到教材背后隐藏的学习脉络，容易依据教材照本宣科，这样的学习过程忽视除法运算中的内在联系和学生原有认知结构及学习经验，使学生对该部分内容的学习成了一种机械化的操作。同时将学生的错误原因归结为“粗心”“马虎”，却很少去关心除去心理层面上的粗心、马虎之外，学生真正的错误原因。基于此，本研究以“除数是两位数的除法”为例进行了教学整体设计与实践，在除法意义和数的意义学习的基础上，尊重学生的学习实际情况，给予学生自主探索的时间和空间，鼓励学生通过操作、交流、反思等活动自主迁移以往的学习经验，理解除法运算的本质，明晰除法运算的算理，掌握除法运算的方法，建构有关除法运算的新体系，发展学生的运算能力和推理能力。一、单元教学设计分析及具体概念（一）课标分析《义务教育数学课程标准（２０２２年版）》指出：运算能力作为运算教学的核心素养之一，主要是指“能够根据法则和运算规律正确地进行运算的能力”。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。结合本单元的教学，提升学生的运算能力便体现在认识除法运算是对除法意义的再次应用和深入理解；能够通过四则运算之间的关系获得除法运算的结果；掌握竖式作为一种程序化方法可以更为合理简洁地获得除法运算的结果。（二）教材分析通过纵向梳理北师大版教材中有关除法的教学内容，可以归纳为从生活情境引入，丰富对除法意义的理解；强调对算理的深入理解，体会除法运算的本质；强调算法的优化过程，将算理算法合为一体等方面。三年级除数是一位数的除法，包含口算和竖式计算。通过对教材的梳理发现，三年级所涉及的两个除法单元教学，其运算结果的获得均经历了从实物操作到竖式计算的过程，学生认识到计数单位发生了转化，由一变成了十。有了这样的新认识，在一个循序渐进的过程中，两位数除以一位数的除法可以依据十进位值制进行“拆数”转化为表内除法，而除法运算就是不断细分计数单位的过程。四年级学习除数是两位数的除法，８０÷２０作为除数两位数除法的起始课，就是看８０里面包含几个２０。获得结果的过程是从具体操作到竖式计算，仍旧是对计数单位个数的操作。但与三年级教学内容不同的是，这次是在计数单位相同时，看被除数与除数计数单位个数之间的包含关系。具体来说，当计数单位为十时，８０就是８个１０，２０就是２个１０，８０里面有几个２０就是看８里面有几个２。这也就是为什么８÷２＝４，所以８０÷２０也＝４的道理。用竖式记录这个过程，８０里面有４个２０，所以商就要写在个位上。这样的学习过程中，两位数除以整十数的除法再次转化为表内除法，除法运算仍旧體现的是对计数单位的操作。（三）单元具体概念学生有能力迁移之前的学习经验，自主探索除数是两位数除法的运算算理和算法，因此教学单元的具体概念确定为：１．基于除法的意义和数的意义寻求合理的运算方法。２．四则运算之间的关系，十进位值制可以帮助理解除数是两位数除法的运算道理。在计数单位相同的情况下，除数是两位数的除法可以表示计算单位个数之间的关系。３．在遵从除法运算法则的前提下，可以利用乘法进行除数是两位数除法的试商和调商。这样获得运算结果的过程可以用竖式记录。４．本单元的学习经验将会迁移至后续学习中，发展学生的运算能力和推理能力。二、学生前期学习经验分析学生对除数是两位数除法的前期基础掌握情况如何，是否可以基于自己对除法意义的理解寻找到正确的商？为此，在单元教学之前，教师对北京石油学院附属小学四年级（１２）班３７名学生进行了学情调研。１．调研问题：计算下面各题，写一写你用了哪些方法找到运算结果。（１）２００÷５０（２）１８４÷４６（３）６３９÷２９（４）９１５÷１２２．调研结果：（１）多数学生能够找到正确的运算结果。３７名学生中有２８人四道题目全部正确，四道题目的正确率如表１。测试前原本以为除数是两位数的除法应该是学生学习的难点，但调研结果出乎意料。学生如何运用知识迁移解决新问题？到底是哪些知识和经验在迁移中起了作用？这些知识和经验对后续学习小数除法和分数除法是否有帮助？为此笔者对１０名学生进行了访谈。访谈发现有的学生会计算，但是说不清楚这样算的道理；有的学生是迁移了三位数除以一位数的计算方法，不断平均分计数单位的个数，找到除数是两位数的运算结果。这种知识经验也是后续学习小数除法的关键因素，这为该单元的课堂教学设计提供了学情支持。在对运算错误的学生进行分析中发现：试题（１）问题比较大；试题（２）（３）（４）都是在乘法和减法运算时出现了错误。从试题（１）的错例分析中，可以看到除法竖式的算理仍然需要厘清和明确。（２）学生试商的方式丰富多样。在对运算结果正确试题分析中发现，学生寻找正确结果的方式丰富多样。有依据乘法与除法、减法与除法、加法与除法的关系找到正确运算结果的，也有直接试商的。在试商中又有不同，有的学生把除数估成整十数；有的学生从１开始试商；有的学生从９开始试商；有的从５开始试商。不同的运算方法为学生明确算理提供了支持，多样的试商方式为后续灵活地试商奠定了基础。这些发现都为该单元知识点的重组提供了有力的依据。（３）学生对有余数除法存在好奇。在调研访谈中还发现，有的学生对有余数的除法存疑，有的学生问道：“个位余下的数还能继续除吗？”这个问题反映了儿童的好奇心和想象力，他们想到了整数除法以外的世界，对这个问题的探究，能够帮助儿童发现除法竖式的本质。儿童的真实问题是宝贵的思维火花，这些火花一碰即燃，能够引领学生自主探究和发现。因此，是该单元学习任务设计的宝贵资源。三、迁移—理解—知能—情感（ＴＵＫＥ）学习目标及结果表现（一）迁移—理解—知能—情感（ＴＵＫＥ）学习目标１．迁移（Ｔ）目标：体会到四则运算是对计数单位个数的操作，在后续除法学习过程中能够利用除法意义和数的意义进行合理尝试。２．理解（Ｕ）目标：经历除数是两位数除法算理和算法的探究过程，基于除法意义和数的意义可以解释除法运算的道理；竖式可以记录對计数单位个数的操作过程。３．知能（Ｋ）目标：理解除数是两位数除法的算理，掌握除数是两位数除法的算法，进一步体会除法意义；能够熟练计算除数是两位数的除法，并解决实际问题，发展运算能力。４．情感（Ｅ）目标：感受学习除法运算的价值，在学习活动中体会到自主探究和交流分享的快乐，体会数学与生活的联系。（二）结果表现依据单元具体观念和学习目标，学生的学习结果主要表现在以下三个方面：１．能够用多种方法获得除数是两位数除法运算的结果，并说明可以这样算的道理；２．能够归纳概括三位数除以两位数的试商和调商的方法，并应用这些方法获得运算的结果；３．能够掌握计算除数是两位数的竖式除法的计算方法，并解决实际问题。四、单元结构及学习任务序列根据学生的年龄特点和学习规律，将上述关键问题进行进一步分解，同时梳理分析教材中的学习任务，得到该单元的学习任务序列（如图１）。（一）多种运算方法，明确除法求商的算理经过调研分析可知，学生能够运用多种方法找到除法的正确结果。无论用加法、减法、乘法、除法还是哪一种方法，其表达的意思是一致的，都是在找寻找较大数里面有几个相同的较小数，这正是后续学习小数除法和分数除法需要迁移的知识经验。教学中，教师给予学生充足的时间和空间，让学生在对话中逐渐明晰除法算理，为后续学习提供迁移的力量。因而学习任务中笔者设计了任务１～４。在学习任务３中，试图让学生列举一组商一致的除法算式，探寻商一致背后的道理，使学生将除法算理理解得更深入清晰。（二）自主迁移旧知，分享除法试商方式从学生调研中发现，学生各自有着不同的试商方式，在这样的学习基础上，可以尝试让学生在课堂中分享自己的方式方法，促使学生在交流中相互学习、相互借鉴，以达到灵活运算的学习目的。因而笔者将教材中三课时的试商整合为任务５。（三）提炼试商经验，巩固试商方法运算追求的是简洁、正确、灵活且相对快速，仅仅掌握运算的方法远远达不到以上要求。因而，设计了任务６～７。希望学生能够在辨析错误中，提炼试商的经验，固化试商的方法。（四）反思除法求商本质，满足学生好奇任务８～１０带领学生回顾整数除法的学习历程，希望在回顾反思中能够唤起学生的回忆；在交流中激发学生的思考，帮助学生寻根溯本，找到除法运算