高中物理竞赛真题分类汇编 4 光学 （学生版+解析版50题）

竞赛专题4光学

50题竞赛真题强化训练

一、解答题

1.（2019•全国•高三竞赛）一近视患者不戴眼镜时，只能看清距眼睛a=20cm以内的

物体.他发现，如果在眼前靠近眼睛处放一带小圆孔的卡片，通过小圆孔不戴眼镜看

远处物体时也能清晰些.

（1）若小圆孔的直径为D,试根据几何光学的原理，求出当近视患者直视远处的一个物

点时，在眼睛的视网膜上产生的光斑的直径.（提示：可将眼睛简化成一个焦距，可调

的薄透镜和一个可成像的视网膜，透镜两侧的介质均为空气，视网膜与透镜的距离为

b.）

（2）再考虑小孔的衍射效应，求小圆孔直径最恰当的大小.

2.（2019•全国•高三竞赛）在半导体元件的生产中，为了测定Si片上的SiO?薄膜厚

度，将SiO?薄膜磨成劈尖形状.如图所示，用波长/l=546.1nm的绿光照射，已知

Si。2的折射率为146,Si的折射率了3.42,若观察到劈尖上出现了7个条纹间距，问

Si。。薄膜的厚度是多少？

3.（2019•全国•高三竞赛）将一偏振片沿45。角插入一对正交偏振器之间.自然光经过它

们，强度减为原来的百分之几？

4.（2019•全国•高三竞赛）设一束自然光和平面偏振光的混合光通过一个可旋转的理想

偏振片后，光强随着偏振片的取向可以有5倍的改变.求混合光中各个成分光强的比例.

5.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，在。点有一个物屏，上面有一个发光小物体.

垂直于物屏有光轴，共轴放置一个焦距为一的透镜，光心为C,在距离。点L处共轴

摆放一个平面镜。当0C距离为修时，发现经过透镜透射，平面镜反射，再经过透镜

透射，发光物体在物屏处成了清晰像。向右移动C点到X2处，再次在物屏处成了清晰

像，继续向右移动C点到X3处，又在物屏处成了清晰像。

（1）求出X/,X2,X3；

（2）当透镜位于X/处时，向上移动物点距离则在物屏上的像向什么方向移动了多

少距离。

6.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，一正六边形A4AAAA，每边均为一平面

镜.现从A4中点M发出一条光线，此光线依次经&A3,AA,，…，AA反射，最后

回到A4边，试求光线出射角，的范围

若将正六边形44人3444换成正〃边形A&LA.，且要求光线依然从M（44中

点）发出，先后依次经44，44，…，AA反射并回到A4边，则试求。的范

围.（以上范围均用反三角函数表示）

7.（2019•全国•高三竞赛）（1）s系为相对观察者静止的惯性参照系.s系中存在以速

度V高速运动的镜子，观察者看到镜面与速度方向的夹角为。，一光线经镜面反射，如

图1所示，入射角为a,反射角为夕.求a、夕、。间满足的关系式

⑵有一横截面为半椭圆的反射镜，半椭圆的形状为亲的椭圆沿长轴平分

的一半.现讨论该镜面上的反射情况.镜面以沿长轴（平行于X轴）方向以速度］运

动，一足够大平行光场照射到镜面上，光与竖直方向呈。角（逆时针为正），如图2所

且已知镜子前半面

（速度方向为前）的有效反射光线占前半面入射光线的2:.求。和后半面有效光线占

后半面入射光线比例

②令e=0,平行光场单位长度光子密度为%=常量.定义反射光的光子角密度

dN

刘，e为反射光方向角，求"⑻=勺铀由时的方向角与竖直方向的夹角及

"（«）=!〃⑹皿时的方向角与竖直方向的夹角•（只考虑在地系同时在某一瞬时反射的光

子）

8.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，在与偏振方向垂直的偏振片1、2之间插入一块

厚度为"的波晶片，波晶片的e轴与偏振片1的偏振方向成a角，且波晶片对。光与e

光的折射率分别为”.和〃.，三元件的平面彼此平行，波长为2的单色光正入射到这一

系统上，试问:

偏振片2

(1)图中①②③三区域光的偏振态；

(2)图中①②③三区域光的强度(入射单色光的强度为/)

9.(2019•全国•高三竞赛)用坐标纸绘制N=6,"=1.5a的夫琅禾费衍射强度分布曲

线.横坐标取sin。，至少画到第4级主极强，并计算第4级主极强与单缝主极强之

比.

10.(2019•全国•高三竞赛)半径为飞的平凸透镜平放在半径为尺的圆柱形玻璃体上,

11.(2019•全国•高三竞赛)将焦距/=20cm的凸透镜从正中切去宽度为a的小部分，

如图(a),再将剩下两半黏接在一起，构成一个“黏合透镜”，见图(b).图中

D=2cm,在黏合透镜一侧的中心轴线上距镜20cm处，置一波长2=500nm的单色点

光源S,另一侧，垂直于中心轴线放置屏幕，见图(c).屏幕上出现干涉条纹，条纹

间距Ax=0.2"”“，试问：

f

相*-G........................

(•)(b)(c)*

(1)切去部分的宽度a是多少？

(2)为获得最多的干涉条纹，屏幕应离透镜多远？

12.(2019•全国•高三竞赛)如图所示的洛埃镜镜长/=7.5cm,点光源S到镜面的距离

J=0.15cm,到镜面左端的距离b=4.5cm,光屏M垂直于平面镜且与点光源S相距

A=1.2m.如果光源发出长；1=6x10的单色光，求：

A

（1）在光屏上什么范围内有干涉的条纹?

（2）相邻的明条纹之间距离多大？

（3）在该范围内第一条暗条纹位于何处?

13.（2019•全国•高三竞赛）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋

转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面.若取坐标原点在抛物面的最

低点，纵坐标轴r与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为

z=*，，式中。为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水

银液面作反射式天文望远镜）.观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置

不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的

大小、正倒都无变化.求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离.

14.（2019•全国•高三竞赛）装在门上的门镜（又称“猫眼”）由一个网透镜和一个凸透

镜组成.有一种门镜的凹透镜焦距为1.0cm,凸透镜焦距为3.5cm,两透镜之间的距离

为2.1cm,如图所示.试根据这些数据说明，人在室外看不清室内的景物，而在室内

的人却能清楚地看见室外的人.

15.（2019•全国•高三竞赛）一束会聚光线，在没有放入凹透镜时会聚于A点，若在距

A为a处放人一凹透镜，该会聚光线经透镜折射后会聚于B点；A、B相距为b,如图

所示，试求此透镜的焦距.

16.（2019•全国•高三竞赛）常在高速公路上驾驶的司机有这样的体验：当气温较高

时，高速公路的正前方有一块地方是湿漉漉的，好像是才被水浇过一样，波光闪闪，

而且这一区域还会随着汽车的行驶而向前移动，这实质上是由于空气密度的分布不均

匀而造成的折射现象.

在高速公路上，因温差，公路上方空气的折射率随高度线性变化，即〃=%（l+ay）,

其中a=1.5xlO-6mT,结果司机无法看见距离他d处的公路路面（y=0）.若司机的眼

睛离公路高1.7m,求d之值.又问，温度随高度如何变化？

17.（2019•全国•高三竞赛）一半径为R,折射率为n的透明球，其中心为C.在一径

向方向上取P、Q两点，使CP=£CQ=nR.试证，从P点发出的光，经界面折射

n

后，总是像从Q点发出的.

18.（2019•全国•高三竞赛）带电粒子飞过长方体形状的闪烁计数器，沿粒子运动轨迹

放置闪烁体，闪烁体分子辐射光.在每一点各向辐射等强光，即在各方向强度是均匀

的.求从闪烁器有多大部分光能射出到空气中？如果闪烁体物质的折射率〃=1.6,在

闪烁体中光的吸收不计.附注：圆锥顶立体角等于C=2%（l-cos。），式中。是圆锥轴

与其母线所成角.

19.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，两镜面间夹角c=15。，O4=10cm点发出的垂

直于4的光线射向右后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从4点

开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？

20.（2019•全国•高三竞赛）如图所示为一套干涉装置，鼻为半反镜，4、鼻、，，为

平面镜，以为一反射镜，其外形为旋转抛物面，由于光屏距2较远，可以认为只有近

似垂直于光屏入射的光线才能到达.的光轴与2、2的对称轴重合.已知激光波

长为2的抛物线方程为y=光屏到光线在2上的反射点的距离为。.问：

光屏上干涉条纹的间距是多少？

21.（2019•全国•高三竞赛）一束光入射到一组偏振片上，这个偏振片组由四块偏振片

组成，每块的透振方向相对于前面一片沿顺时针方向转过30。角.试问入射光中有多大

一部分透过了这组偏振片？

22.（2019•全国•高三竞赛）设一束椭圆偏振光与自然光的混合光沿z轴方向传播，通

过一偏振片.当偏振片的透振方向沿x轴时，透射光的强度最大，为L5/。；透振方向沿

）'轴时，透射光的强度最小，为A.问：当透振方向与z轴成9角时，透射光强是多

少？与入射光中的无偏振部分相关吗？

23.（2019•全国•高三竞赛）一架照相机在离地面200km的高空拍摄地面上的物体.如果

要求它能分辨地面上相距1m的两点，照相机的镜头至少要多大？（设镜头的几何像

差已被很好地消除，感光波长为400nm）

24.（2019•全国•高三竞赛）已知地月距离约为3.8x10stoM.用口径为1m的天文望远镜能

分辨月球表面两点的最小距离是多少？

25.（2019•全国•高三竞赛）一个由暗盒组成的针孔照相机，其小孔直径为d,暗盒中

像成在小孔后距离为。的感光胶片上，如图所示，物体位于小孔前乙处，所用波长为

2.

（1）估计成像清晰时小孔半径的大小.

（2）若使用（1）中算出的小孔，试问：物体上两点之间的最小距离是多少时，该两

点的像可分辨？

26.（2019•全国•高三竞赛）某业余无线电玩家住在A镇，他经常与分别住在8镇和C

市的两位友人用无线电相互通讯联络.他希望当他与其中一人通讯时，另一人不能同时

收到讯号.因此他在住家的空地上竖立了两根垂直于地面的发射天线S和邑，可以同时

发出讯号，并使两个发射讯号之间的相位差可在每次发射前调整，采用的无线电波的

波长为人如图所示，给定的；A3方向线朝AC方向线逆时针转角夕〈乃；图中S1、

A、邑三点共线，连线长度记为厂；A3方向线沿逆时针方向到S吊方向线的转角记为

a（顺时针方向转角为负）：A、B间距和A、C间距都远大于广和；I.

（1）取不同的a,找出「可取得的最小值之„；

（2）取脸画出SA邑连线相对A3连线和4c连线的方位图，标出相应a角的旋转方

向；

（3）取之…对给定的发射功率，为使B镇友人收到的讯号达最强，试求输入加、S2

讯号间的相位差.

27.（2019•全国•高三竞赛）某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长为500nm的光，它是由

5000个小眼构成的复眼，小眼一个个密集排放在眼睛的整个表面上.小眼构造得很精

巧，顶部有一个透光的圆形集光装置，叫角膜镜；下面连着圆锥形的透明晶体，使得

外部入射的光线会聚到圆锥顶点连接的感光细胞上（进入一个小眼的光线不会透过锥

壁进入其他小眼），从而造成一个“影像点”（像素）；所有小眼的影像点就拼成了一个

完整的像.若将复眼看作球面圆锥，球面半径为r=15〃“，则蜜蜂小眼角膜镜的最佳直

径d约为多少？（请给出两位有效数字）

28.（2019•全国•高三竞赛）厚玻璃上方镀有双层增透膜，以波长为2

和单色光垂直入射，设三束反射光（只考虑一次反射）“、b、c在空气中的振幅相

等，欲使这三束光相干叠加后的总强度为0,则第一层膜的最小厚度4和第二层膜的

最小厚度4各为多少？

29.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，波长久=632.8川"的平行激光束垂直入射到双棱

镜上，双棱镜的顶角a=3,3（T,宽度W=4.0CT〃，折射率〃=1.5.问：当幕与双棱镜的距

离分别为多大时，在幕上观察到的干涉条纹的总数最少和最多？最多时能看到几条干

涉条纹？

30.（2019•全国•高三竞赛）圆锥透镜如图所示，S,S'为锥面，〃为底面.通过锥顶A

垂直于底面的直线为光轴.平行光垂直入射于底面，现在把一垂直于光轴的平面屏尸从

透镜顶点A向右方移动，不计光的干涉与衍射.

（1）用示意图画出在屏上看到的图像，当屏远离锥顶A时图像怎样变化?

（2）设圆锥底面半径为R,锥面母线与底面的夹角为尸（3~5）,透镜材料的折射率为

〃，令屏离锥顶A的距离为x,求出为描述图像变化需给出的屏的几个特殊位置.

31.（2019•全国•高三竞赛）有一放在空气中的玻璃棒，折射率〃=1.5,中心轴线长

L=45CTM,一端是半径为N=的凸球面

（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于

主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球

面？

（2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度

/时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度。2,求与（此比值等于此玻璃棒的望远

系统的视角放大率）

32.（2019•全国•高三竞赛）图为投影仪的结构示意图，4是水平放置的凸透镜，在其

正上方有一个与水平面成40。角的平面镜右，在右边竖直放着一个屏幕，当物体

（AB）的光线经。和右后，在屏上成一个清晰的像，已知BQ=3（kw,OtO2=30cm,

（1）求凸透镜。的焦距.

（2）画出成像的光路图.

33.（2019•全国•高三竞赛）半径均为。的圆盘发光面S和不透光的圆盘P共轴放置，相

距2d,在P后相距d处旋转光屏Q,在S和尸正中有一凹透镜L,焦距/=

（1）在S照明下，。上形成的尸的本影和半影的半径八4；（透镜的半径足够大）

（2）把凹透镜换成凸透镜，位置不变，焦距/=求此时P的本影和半影的半径4'、

匕.

34.（2019•全国•高三竞赛）两块共轴放置的凸透镜多和瓶，点光源S.位于透左侧,最

终在右的右侧得到一个实像S,如图所示.试用作图法求出透镜右和4焦点的位置.

4b

八八s

工,.

……0；..。；.

*V

35.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，有一半径R=O128机的玻璃半球，在其主光轴上

放一长/=0020"的条形物A&.在主光轴的E点附近可同时观察到44的两个像，它们

分别是经玻璃半球的平面和凹球面反射而成的.当条形物的4端与半球平面相距0.020m

时，两个像恰好连接在一起，试求玻璃半球的折射率〃.

36.（2019•全国•高三竞赛）体温计横截面如图所示，已知细水银柱顶端A离圆柱面顶

点。的距离为2R,R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置.玻璃的折射率〃=1.5,

E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚实、正倒和放大倍数.

37.（2019•全国•高三竞赛）给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化：

束光在。点由空气垂直射入平板，并在A点以角度a射出，如图所示求

A点的折射率明,并确定A点的位置及平板的厚度.（设出=L2,r=\3cm,a=30）

38.（2019・全国•高三竞赛）如图所示，在某非匀质光介质中，折射率〃随y变化,

|取4处〃=/，让光从y=-4,x=处掠入，光线方程为尸Asin9,求〃与y的

2%)

关系.

39.(2019•全国•高三竞赛)图”是基于全内反射原理制备的折射率阶跃型光纤及其耦

合光路示意图.光纤内芯直径50pm,折射率〃尸1.46；它的玻璃外包层的外径为

125pm,折射率“2=1.45.氢速激光器输出一圆柱形平行光束，为了将该激光束有效地耦

合进入光纤传输，可以在光纤前端放置一微球透镜进行聚焦和耦合，微球透镜的直径

£>=3.00mm,折射率“=1.50.已知激光束中心轴通过微球透镜中心，且与光纤对称轴重

合.空气折射率的=1.0。

(1)为了使光线能在光纤内长距离传输，在光纤端面处光线的最大入射角应为多大？

(2)若光束在透镜聚焦过程中满足近轴条件，为了使平行激光束刚好聚焦于光纤端面(与

光纤对称轴垂直)处，微球透镜后表面中心顶点。与光纤端面距离应为多大？

(3)为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径最大不

能超过多少？

40.(2019•全国•高三竞赛)一束椭圆偏振光通过一偏振片，透射光的强度将随着偏振

片的透振方向的转动而变化.若测得最大的透射光强和最小的透射光强分别为/2和

而…问当透射方向与光强最大透射方向间的夹角为夕时，透射光强为多少？

41.（2019•全国•高三竞赛）在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心

30.00cm处有一小发光点S,一个厚度可以忽略的光楔C（顶角a很小的三棱镜）放在

发光点与透镜之间，垂直于主轴，与透镜的距离为2.00cm,如图所示.设光楔的折射

率〃=1.5,楔角0=0.（）28rad.在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜M,其

反射面向着透镜并垂直于主轴.问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处？

（只讨论近轴光线，小角度近似适用.在分析计算过程中应作必要的光路图.）

42.（2019•全国•高三竞赛）田野中有一条直路.一只山羊沿路奔跑的速度不超过v,

沿田野奔跑的速度不超过u,且“＜叽求山羊在时间t内可能到达的区域.

43.（2019•全国•高三竞赛）将焦距为10。"的一块双凸透镜沿其表面的垂直方向切割成

相同的两部分，把这两部分沿垂直于主轴的方向移开一段距离5=0.1。〃?，并用不透明

的材料将其挡住，若在原透镜左侧主轴上，距透镜光心20cm处放一点光源如图

所示，点光源能射出波长为0.5〃%的单色光，那么在透镜另一侧距透镜50cm的屏幕

（垂直于透镜主轴放置）上，将出现多少条亮条纹？

44.（2019•全国•高三竞赛）焦距均为了的两个凸透镜。、4与两个圆形平面反射镜

放置如图所示.二透镜共轴，透镜的主轴与二平面镜垂直，并通过二平面镜的

中心，四镜的直径相同，在主轴上有一点光源。.

（1）画出由光源向右的条光线。4（如图所示）在此光学系统中的光路.

（2）分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置（。点除外）形

成光源。的能看到的像，哪些是实像？哪些是虚像？

（3）现在用不透明板把4和心的下半部（包括透镜中心）都遮住，则这些像有什么变

化？

45.（2020•全国•高三竞赛）如图，一半径r=50cm的球形薄壁玻璃鱼缸内充满水，水中

有一条小鱼。玻璃和水的折射率都是〃=三4，观察者在不同位置和不同角度对玻璃鱼缸

里的鱼进行观察。

（1）当鱼位于鱼缸的中心时，求观察者看到的鱼的表观位置和横向放大率；

（2）当鱼位于某些位置时，有时观察到鱼缸里的鱼“消失”，试找出鱼可能“消失”的位

置范围以及观察者的观测位置范围，并于图中标出，并作简要说明。

46.（2020•全国•高三竞赛）光纤陀螺仪是一种能够精确测定运动物体方位的光学仪

器，它是现代航海、航空和航天等领域中被广泛使用的一种惯性导航仪器。光纤陀螺

仪导航主要基于下述效应：在一个半径为R、以角速度。转动的光纤环路（见下图）

中，从固定在环上的分束器A分出的两束相干光分别沿逆时针（CCW）和顺时针

（CW）方向传播后回到A,两者的光程不一样。检测两束光的相位差或干涉条纹的变

化，可确定该光纤环路的转动角速度口。真空中的光速为c。

图6a

(1)如下图，光纤由内、外两层介质构成，内、外层介质的折射率分别为川、〃2

(〃/>“2)。为了使光能在光纤内传输，光在输入端口(端口外介质的折射率为〃。)的

入射角，应满足什么条件？

(2)考虑沿环路密绕N匝光纤，首尾相接于分束器A,光纤环路以角速度Q沿逆时针方

向旋转。从4分出两束相干光沿光纤环路逆时针和顺时针方向传播，又回到A。已知

光传播介质的折射率为〃/，两束光在真空中的波长为4，间两束相干光分别沿光纤环

路逆时针和顺时针方向传播的时间fCCW和/CW为多少？这两束光的相位差为多少？

试指出该相差与介质折射率〃/之间的关系。

(3)为了提高陀螺系统的微型化程度，人们提出了谐振式光学陀螺系统。该系统中含有-

一个沿逆时针方向旋转的光学环形腔，其半径为凡旋转角速度为a(RQ«c),已知

腔中的介质折射率为小在腔内存在沿逆时针和顺时针方向传播的两类共振模式。当

环形腔静止时，这些模式的波长乙。由周期边界条件2乃R决定，其中根为正整

数，称为共振模式的级次。当环形腔旋转时，同一级次(均为相)的沿顺时针和逆时

针方向传播的共掘模式存在--个共振频率差//，试导出环形腔转动角速度Q与该共振

频率差4/之间的关系。

47.(2020•全国•高三竞赛)自1964年Yeh和Cummins观察到水流中粒子的散射光多

普勒频移至今，激光多普勒测速技术已获得了广泛应用。为了得到足够的散射光强，

通常在流体中散播尺寸和浓度适当的示踪散射粒子，激光照射到运动粒子上时发生散

射，从而获得粒子(和流体)的速度信息。设粒子速度v与竖直方向的夹角为夕。

(1)如下图所示，一束频率为了的光被流体中的运动粒子所散射。光在流体中的传播速

率为c/〃(n为流体的折射率)，粒子以速度v运动入射光和观测到的散

射光的传播方向与粒子速度的夹角分别为4和打。求散射光相对于入射光的频移量Af

与散射光方向的关系。设粒子的速率v=lm/s。光的频率/=10"Hz,修■能否可以直

接用分辨率为5MHz的光谱仪进行检测？

（2）如下图所示，用频率为了的两束相干平行光（其传播方向在同一竖直平面内）照射

流体中同一粒子，两束光与水平面的夹角均为a/2（a比较小）。两束光的散射光到

达光电探测器的相位分别为玖和〃，散射光的电场矢量方向近似相同且振幅均为4。

光电探测器输出的电流强度正比于它接收到的光强，比例常量为大。假设光电探测器

的频率响应范围为1（）2~107Hz,求光电探测器的输出电流表达式。为简单起见，假设

（3）设XOZ平面内两束相干平行光相对于X轴对称入射到达相交区域（见下图），求干

涉条纹间距：粒子（其速度在XOZ平面内）经过明暗相间的干涉条纹区将散射出光脉

冲，求光脉冲的频率。

宇宙射线时发现了电子的反粒子——正电子。此后，人类又陆续发现了反质子等反粒

子。

用单粒子能量为6.8GeV的高能质子束轰击静止的质子靶，可产生反质子，其反应式为

p+p------------------P+P+P+

I

K~+

质子和反质子湮灭时可产生兀介子，因此在反质子束流中还伴随有大量兀一介子。下图

是探测反质子的实验装置原理图。反质子M和兀一介子流依次通过闪烁计数器加、s2

和S3,S1与邑相距/=12m,在S?和S?之间放置有切伦科夫计数器C1和C?。切伦科夫

计数器通过探测切伦科夫辐射(带电粒子在介质中的运动速度超过介质中光速时所激

发的电磁辐射)而确定带电粒子的运动速度。j仅记录速度较快的兀一介子，a仅记录

速度较慢的反质子。实验中S,的作用是检验前面的计数结果是否真实。

(1)在上述反应中，假设末态质子和反质子速度相同，求反质子从加运动到s2所需的时

间今。若兀-介子与反质子动能相同，求兀介子从S1运动到S2所需的时间J。

(2)运动速率为v(v>c/〃)的带电粒子通过折射率为n的介质，求所产生的切伦科夫辐

射传播方向与带电粒子的运动方向的夹角e。

(3)微分式切伦科夫计数器可以记录速率在某一个区间的粒子数。下图是其关于轴线

(图中虚线)旋转对称的原理剖面图。光收集系统包括半径为/?的球面镜和半径可调

的环状光阑。当切伦科夫辐射传播方向与带电粒子运动方向的夹角。很小时，球面镜

将带电粒子激发的切伦科夫辐射会聚在其焦平面上，形成半径为，•的辐射光环。投射

在计数器上。对于速率为V的带电粒子激发的辐射，求光环的半径。

(4)反质子与质子相遇会发生湮灭反应p+pf3兀°。反应末态粒子的总动能与反应初态

粒子的总动能之差即为反应能Q。为简单起见，假设质子和反质子的动能可忽略。末

态三个兀。介子的总动能是一个常量，可用Dalitz图表示总动能在三个兀°介子之间的分

配。如下图所示，Dalitz图是一个高为1的等边三角形，P点到三边的距离等于三个兀。

介子的动能占反应能的比率，即4=2.,/。，表示第，•个兀。介子的动能，

i=1,2,3。以底边为X轴，底边中点为原点，底边上的中垂线为丫轴建立坐标系。求P

点可能的分布范围边界的表达式，用反应能。、兀。介子质量机『和真空中的光速c表

示。并讨论若加.。=0时，P点的分布范围边界的表达式。

已知：真空中的光速c=2.998xl0*m/s,质子质量%=938.2720MeV/c2,中性兀介子

质量=134.9766MeV/c2,带电n士介子质量=139.5702MeV/<?。

49.(2021•全国•高三竞赛)如图，一薄凹透镜焦距为-20.00cm,一点光源P位于该透

镜左边并在透镜主轴的正上方，P在该透镜主轴上的投影距透镜中心。点32.00cm,P

离光轴距离为0.30cm。透镜的右边40.00cm处有一曲率半径为10.00cm的凹面镜，其

反射面对着透镜并垂直于主轴放置。试在近轴近似条件下，求最终点光源P所成的像

点P'相对于P点的位置，说明此像是实像还是虚像？

50.（2021•全国•高三竞赛）（1）一宽束平行光正入射到折射率为”的平凸透镜左侧平

面上，会聚于透镜主轴上的点尸，系统过主轴的截面如图所示。已知凸透镜顶点。到

尸点的距离为为。试在极坐标系中求所示平凸透镜的凸面形状，并表示成直角坐标系

中的标准形式。

（2）在如图所示的光学系统中，共轴地插入一个折射率为〃’的平凹透镜（平凹透镜的

平面在凹面的右侧，顶点在。、尸点之间的光轴上，到尸的距离为廉<“），使原

来汇聚到厂点的光线经平凹透镜的凹面折射后平行向右射出。

（i）在极坐标系中求所插入的平凹透镜的凹面形状，并表示成直角坐标系中的标准形

式；

（ii）已知通过平凸透镜后的汇聚光线与主轴的夹角。的最大值为盘稣，求入射平行圆

光束与出射平行圆光束的横截面半径之比。

竞赛专题4光学

50题竞赛真题强化训练

一、解答题

1.(2019•全国•高三竞赛)一近视患者不戴眼镜时，只能看清距眼睛a=20cm以内的

物体.他发现，如果在眼前靠近眼睛处放一带小圆孔的卡片，通过小圆孔不戴眼镜看

远处物体时也能清晰些.

(1)若小圆孔的直径为D,试根据几何光学的原理，求出当近视患者直视远处的一个物

点时，在眼睛的视网膜上产生的光斑的直径.(提示：可将眼睛简化成一个焦距，可调

的薄透镜和一个可成像的视网膜，透镜两侧的介质均为空气，视网膜与透镜的距离为

b.)

(2)再考虑小孔的衍射效应，求小圆孔直径最恰当的大小.

【答案】(1)A/=—D(2)D—2A4aA»0.49mm

oa

【解析】

【详解】

眼睛和眼镜都是几何光学成像元件，都是通过透镜的折射成像的.对于题中的近视患

者，其眼镜的远点是20cm.

通过小孔，不戴眼镜也能看清远处的物体，是由于小孔限制了进入眼镜的物光束的张

角，从而每个物点在视网膜上成一个发散较小的像斑，其光斑越小，感觉的像就越清

晰，图示为近视眼观察物体在有小孔与无小孔时成像的像斑大小的比较.

■Ml的焦点

(1)当物点较远，其入射光束近似为平行光束.小孔对眼睛晶状体焦点的张角为

D/fM,其中九为看远处物体时眼睛的焦距，即眼睛的最大焦距.视网膜到眼睛晶状

体的距离为b,从图中可看出，一个物点在眼睛的焦点处可会聚成一个像点，但到视

网膜上则散成一个像斑，像斑的直径为

JM

近视是因为眼轴的长度大于眼睛的最大焦距.当远点的物刚好能够在视网膜上成像

时,根据成像公式讶+:二卷’可得九二焉代入像斑大小的公式,得到

该像斑对小孔的张角是凶=牛=9

9

(2)考虑小孔的衍射，远处物点经小孔所成的艾里斑对小孔的张角为2A4=2xl.221,

在眼睛焦平面上的艾里斑和在视网膜上的艾里斑对小孔的张角是一样的，因而，确定

出最适合孔径的条件是=△。即可得到

D=12.44”、»0.49mm.

【点睛】

本题有两个层面的问题需要了解：一是要明白眼睛是一个构造比较复杂的光学系统，

入射光线要经过角膜表面上的折射和晶体前后表面上的多次折射，眼睛角膜外的介质

是空气，角膜与晶体之间和晶体与视网膜之间都充满了折射率为1.336的液体.本题

为了使学生能进行分析计算，提出了一个简化模型，眼球的折射作用简化为一个凸透

镜，且透镜两侧的介质都是空气，这些都与实际情况本同，此外，眼睛的焦距是可以

调节的，观察者观察远处物体时，眼睛会自动地调节到能看清楚的最远处，即物距为

a处，所以解答中的眼睛系统就处于a处物体在视网膜上成像的状态.另外，作为竞赛

学习者，熟悉基本的光学仪器的原理及性能是必需的.二是利用光学仪器观察物体

时，其分辨率取决于艾里斑的大小，这与衍射相关，我们一定要清楚观察到清晰像的

条件.

2.(2016全国•高三竞赛)在半导体元件的生产中，为了测定Si片上的SiO?薄膜厚

度，将SiO,薄膜磨成劈尖形状.如图所示，用波长2=546.1nm的绿光照射，已知

SiOz的折射率为L46,Si的折射率了3.42,若观察到劈尖上出现了7个条纹间距，问

Si。。薄膜的厚度是多少？

【答案】£>=1.31xl(r6m

【解析】

【详解】

设图中从上到下依次为空气、SiO?和Si,山丁SiO?的折射率力2小于Si的折射率，所

以光从空气射入Sio?劈尖的上、下表面反射时都有半波损失，因此在棱边（劈膜厚度

"=。处）为明条纹.当劈膜厚度d等于光在膜层中半波长的奇数倍时（或者膜层厚度

d的2倍等于光在膜层中波长的整数倍时）都将出现明条纹.所以明条纹的位置应满

足

2d=-k,（/：=0,1,2,...）.

%

因此相邻明条纹对应的劈膜厚度差为

\d=—

2n2,

所以在劈膜开口处对应的膜层厚度为

D=7x—=1.31xl0^m

【点睛】

干涉发生在光程差极小的背景卜，利用干涉图像，可以测量一些微小尺度或一些微小

的变化.

物理学的研究是离不开应用，相对于宏观状态的应用，对微小量的测量对中学生而

言，似乎显得“高、大、卜”一些，其“科研性”也要强一些，因此，它也就自然而然地

成了命题的热点内容.

3.（2019•全国•高三竞赛）将一偏振片沿45。角插入一对正交偏振器之间.自然光经过它

们，强度减为原来的百分之几？

【答案】12.5%

【解析】

【详解】

设偏振片6，巴正交，则最终通过鸟的光强为

4=0（消光）.

若在《，鸟之间插入另一块偏振片尸，尸与4夹角为e（如图所不），则最终通过巴的

光强为

I\=1sin29=I】cos2Osin?^=-/sin220.

8o

式中4为入射光强，/分别为通过4，P后的光强.当。=45。时，有

4=1=12.5%

108

偏振也是波所特有的现象之一，光的偏振的计算属新大纲增加的内容之一，应熟练掌

握有关偏振光的强度的计算.

4.(2019•全国•高三竞赛)设一束自然光和平面偏振光的混合光通过一个可旋转的理想

偏振片后，光强随着偏振片的取向可以有5倍的改变.求混合光中各个成分光强的比例.

【答案】自然光占33.3%,偏振光占66.7%

【解析】

【详解】

自然光透过偏振片后，光强变为原来的1/2；偏振光有一个可以消光的位置.因此，

U+/,=5x。，

22

解得=2人，即自然光占33.3%,偏振光占66.7%.

了解自然光与平面偏振光的通过偏振片的属性，便能理解光强5倍变化的原因，进而

问题得解.

5.(2019•全国•高三竞赛)如图所示，在。点有一个物屏，上面有一个发光小物体。

垂直于物屏有光轴，共轴放置一个焦距为一的透镜，光心为C,在距离。点L处共轴

摆放一个平面镜。当0C距离为内时，发现经过透镜透射，平面镜反射，再经过透镜

透射，发光物体在物屏处成了清晰像。向右移动C点到X2处，再次在物屏处成了清晰

像，继续向右移动C点到0处，又在物屏处成了清晰像。

(1)求出X/,X2,X3;

(2)当透镜位于X/处时，向上移动物点距离△〃，则在物屏上的像向什么方向移动了多

少距离。

【答案】(1)玉=.九r=---J；x,=---'；(2)将会向相反方向移动

-232

A/?o

【解析】

【详解】

(1)在经过透镜L折射之后的像L,作为平面镜的物所成的像k再反射回透镜成像回到

原物平面，需要满足以下条件上与L或者重叠在平面镜上，或者都在无穷远处。我们

现在画出X/,X2,心分别对应的光路图

左图

X\=f

折射后的平行光被反射成像，右图则是X2,心的情况，物体经过折射成像在平面镜上，

反射之后成像在原物平面上，对应

111

—I----------=一

xL-xf

的两个解，整理得到

fa+fLx-x2

X2-LX+fL=O

解得

L±y]l3-4JL

x~~

综上列出

x,=/,E_L-^l3-^fL_L+^Lr-4fL

-232

(注意，有个先决条件是L>V，但是如果不满足的话根本不会有后面两种成像情况，

所以不需要分类讨论)

(2)当物体在用处时，我们知道经透镜第一次折射之后得到平行光，角度正比于物的大

小，反射后角度相同，再次折射之后在物平面成的像为倒立的实像，根据像比例关系

的传递可知与原物等大，故而当物体移动△/?时，像将会向相反方向移动A/?。

6.(2019•全国•高三竞赛)如图所示，一正六边形A&AA4A4,每边均为一平面

镜.现从A4中点M发出一条光线，此光线依次经44,44，…，AA反射，最后

回到AA2边，试求光线出射角。的范围

若将正六边形44AAiAA换成正”边形A&LA.，且要求光线依然从M（A4中

点）发出，先后依次经44，A,A....4八反射并回到A4边，则试求。的范

围.（以上范围均用反三角函数表示）

【答案】arcsin

+++2”(〃+1)

<arcsin（〃为偶数）

+(〃-炉+27?(H-1)COS—

n

(/?+l)sin”

<0<arcsin("为

+(/?-!)+2〃(〃-l)cos」rr+(«+!)"+2〃(〃+l)cos

奇数）

【解析】

【详解】

如图所示，设4"=4"=1,A2N=xf由三角形的相似性可知各边长度如图所示,

从而有

6-5x

4/M&

4・3x\

0<x<2

0<^^<2

X

0<3x-2<2

4-3x解之得

0<-^—^<2

x

0<5x-4<2

0<^^<2

x

再由余弦定理，则MN=Jl+x+x2-

故sin，=回吐1°x.则arcsin

MN

2

若换成A&L4,同样有不等式组，解得现=1+兀=1+

-co+2ipco

sin(180。—陋].xsin—

而，sin。=j[n=7"••x

J1+x2-2xcosf180°-1^1+x2+2xcos—

.2兀

nsin——

于是有arcsin=<0

2兀

n2+(〃+iy+2n(/i+l)cos

n

.2兀

/?sin——

<arcsin(〃为偶数)

2兀

/?2+2n(n-l)cos——

n

(n-l)sin^

arcsin〃=<0

Jn2+(H-1)2+2H(H-1)COS—

(H+l)sin—

〈arcsin',“2(〃为奇数)

J/?2+(/t+l)2+2H(/Z+1)COS—

（注：本题也可采用镜面作图法解答）

7.（2019•全国•高三竞赛）（1）S系为相对观察者静止的惯性参照系.S系中存在以速

度u高速运动的镜子，观察者看到镜面与速度方向的夹角为凡一光线经镜面反射，如

图1所示，入射角为反射角为夕.求。、夕、。间满足的关系式

图1

（2）有一横截面为半椭圆的反射镜，半椭圆的形状为竺+£=1的椭圆沿长轴平分

4R-R-

的一半.现讨论该镜面上的反射情况.镜面以沿长轴（平行于x轴）方向以速度|运

动，一足够大平行光场照射到镜面上，光与竖直方向呈。角（逆时针为正），如图2所

示

图2

①定义：反射光线与竖直方向的夹角小于90。的反射为有效反射.且已知镜子前半面

（速度方向为前）的有效反射光线占前半面入射光线的求。和后半面有效光线占

后半面入射光线比例

②令e=o,平行光场单位长度光子密度为%=常量.定义反射光的光子角密度

（IN

«（0）=—,e为反射光方向角，求"⑼="⑹a时的方向角与竖直方向的夹角及

勺e）=；%）max时的方向角与竖直方向的夹角•（只考虑在地系同时在某一瞬时反射的光

子）

sina(l-A)e

【答案】(1)m吟'———(2)①万=。・54②见解析

(l+£：)cosa-24％

【解析】

【详解】

（1）从波阵面角度考虑易知，沿镜面方向速度对光反射无作用，直接考虑垂直镜面方

向关系可为

sinasin夕sinasin/?

cosa-PcosP+PA1-Pcosa1+&cosf3

vvv或s得蹙k

其中仇='sin。，以匕三式等价，推导从略.（能够化归的关系均正确）

C

（2）①由尺缩效应，运动后镜了一的半长轴为*=栏二=R

因此，在S系看来，镜子是半圆柱面镜，而要形成有效反射，其柱面上反射的临界点

在反射部位的最下端（反射光向前平射），当有效反射光线占前半面入射光线的1时,

反射部位的反射面倾角为

2

61=90°x-=60°

3

此时竖直向上的反射光线的反射角尸=30。.

对前半面：考虑反射的临界部位遵循的几何条件，有

。=60。、a=60。—。、尸=30。，且0，走=显

八224

sin（60。一°）sin30°

代入（1）中的公式有]〃I端「77万―亦，解得。=一&21。

1-pvcos（60°~（p）1+pYcos300

广半面•监界状太计fTsin（0-|9|）sin（90。-。）

11lr

."心cos（。一呵一力.sin。cos（90°+Pcsin0

解得6=37.6。.

,-sin69

在镜子系中平行光方向：tan°=cos荷主,解得”=22.6。

镜面有部分无入射光线半=一±]=_cot夕'fy=0.34/?

dxy4

故地系有入射光的角度为=arccot=70.2°

A

9

所以有效入射光线比例：7-=0-54

②由（1）结论：

（0、sina（l-/?；sin2a）

=----;--------------------

7（1+/72sin~a）cosa+2sin姐.

2tana（1+tan皿J

=>tan/?=①

（&tana+1）~-tan2a

光子反射前后有圳udlRsina^ioRcosadauqmd/?

当"⑶="⑶皿时，nWmm=芋xl.30,Z?=27.8

当"⑺⑶a时，«,=65.78744522°；a2=-21.174992150

在镜子系中光线方向tanQ=M二”=旦故上两解符合

A.3

8.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，在与偏振方向垂直的偏振片1、2之间插入一块

厚度为d的波晶片，波晶片的e轴与偏振片1的偏振方向成a角，且波晶片对。光与e

光的折射率分别为〃。和4,三元件的平面彼此平行，波长为力的单色光正入射到这一

系统上，试问:

偏振片2

（1）图中①②③三区域光的偏振态；

（2）图中①②③三区域光的强度（入射单色光的强度为/）

【答案】见解析

【解析】

【详解】

（1）强度为/的单色光通过偏振片1后，在区域①范围内形成线偏振光，其强度为

y.设其振动矢量为耳，振幅为A，此线偏振光投射到波晶片上，将其分解为e振