三角函数讲义高三数学一轮复习

三角函数知识点角的分类：终边相同的角的集合：终边在x轴正半轴的角的集合：终边在y轴正半轴的角的集合：终边在x轴的角的集合：终边在y轴的角的集合：终边在坐标轴的角的集合：第一象限角的集合：第二象限角的集合：第三象限角的集合：第四象限角的集合：角度制，把一周角360等分，每一等份为弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做。弧度制和角度制的互化：扇形的弧长及面积公式：在直角三角形中三角函数的定义：sinα=_____，cosα=_____，tanα=____。任意角三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x,y)是α的终边与单位圆的交点则sinα=_____，cosα=_____，tanα=____。任意角三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x,y)是α的终边上的任意一点则sinα=_____，cosα=_____，tanα=____。sinα＞0，则α角的终边在：cosα＞0，则α角的终边在：tanα＞0，则α角的终边在：同三角函数的基本关系：sinα,cosα,sinα+cosα，sinα-三角函数的诱导公式（k∈z）可用十个字概括为：_______________________________;若a是第一象限角，则a+k2π在_______π+a在_______π-a在________-a在______π2+a在______π2-a在______3π2+asin(a+k2π)=cos(a+k2π)=sin(-a)=cos(-a)=sin(π+a)=cos(π+a)=sin(π-a)=cos(π-a)=sin(π2-a)=cos(π2-sin(π2+a)=cos(πsin(3π2-a)=cos(3π2sin(3π2+a)=cos(3π2（记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。奇偶指的奇偶数倍，变与不变指变化，若变则是正弦变，余弦变，正切变；符号是根据角的范围以及三角函数在四个象限的正负来判断新三角函数的符号（无论a是多大的角，都将a看成））a的角度03469121315182736a的弧度sinacosatana（异名同号）S(α+β):sin(S(α-β):（同名异号）C(α+β):cos(C(α-β):T(α+β):tanT(α-二倍角公式：sin2α=_____________;tan2α=______________。cos2α=______________=_______________=________;sin2α=__________;cos2tanα+tanβ，tan(α+β)sin2α2sinα=__________1-tanθ常见的互余和互补的角：π3-α，π6+α，π3+απ4+α，π3+α，2π3-α辅助角公式：asin辅助角公式推导过程：函数y=y=y=图像五个关键点定义域值域递增区间递减区间奇偶性T对称轴对称中心最值及何时取到最值三角函数标准型为___________________________________________三角函数化标准型的常用步骤：看到π2的整数倍看到π6，π4，π看到asin为奇函数的充要条件为_______________,为偶函数的充要条件为_______________为奇函数的充要条件为_______________,为偶函数的充要条件为_______________y=Atan(函数y=y=五个关键点定义域值域递增区间递减区间奇偶性T对称轴对称中心最值及何时取到最值求函数的值域：次数相同__________________次数不同_____________________在定区间______________________________________________由y=sinx的图像得到方法途径一：y=sinx图像上各点向左或向右平移φ个单位，得到图像各点横坐标伸长或缩短到原来的1ω，纵坐标不变，得到图像各点纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，横坐标不变，得到；方法途径二：y=sinx图像各点横坐标变为原来的1ω，纵坐标不变，得到，图像上各点向左或向右平移φω个单位，得到图像各点纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，横坐标不变，得到；已知函数+h的（部分）图像求函数解析式：由可求得A和h由可求得ω由可求得φ解三角形（1）正弦定理：===2R(R为三角形的外接圆半径)用角表示边：a=，b=，c=。适用情况：___________________________________（2）余弦定理：a2=，b2=，c求角：cosA=,cosB=,cos适用情况：___________________________________(3)三角形面积公式：S△===(4)△ABC中：sin构成三角形的条件：____________________________解三角形中边角互化的条件：_________________________________________________________三角形中的射影定理：__________________________________________________________例.已知函数求的周期。求的最大值及何时取到最大值。求的对称轴及对称中心。求在上的值域。求的的单调递增区间。讨论在上的单调性。如何由变换得到的图像。如何由变换得到的图像。若向右平移个单位，得到的图像关于轴对称，求的最小正值。用五点法画出的图像。补充练习：一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=sin(-2x+π3)的图象为A.图象C关于直线x=π6对称

B.f(x)在区间[-π12,5π12]上递减

C.图象C关于点(5π2.下列函数中，以π为周期，且其图象关于点(π4,0)对称的是A.y=tanx B.C.y=2cos2x-13.已知sinα-cosβ=-23,cosα+sinβ=13，则sin(α-β)=(A.1318 B.-1318 C.184.已知函数f(x)=sin(x+φ)+3cosA.33 B.-33 5.下列命题中，真命题为(

)A.若点P(a,2a)(a≠0)为角θ终边上一点，则sinθ=255．

B.同时满足sinx=12，cosx=32的角有且只有一个．

C.tan二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。6.在▵ABC中，A=π6,AB=2，下列结论正确的是A.若BC=2，则C=π4

B.若AC=3，则BC=1

C.若▵ABC的面积S=7.函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图实线所示，图中圆C与fx的图象交于M，N两点，且N在yA.函数fx的最小正周期为π

B.函数的图象关于点-4π3,0成中心对称

C.函数fx在-2π3,-π8.已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=1A.sinθcosθ=12C.cosθ=35三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。9.3cos1010.已知点P(1,2)是角α终边上一点，则sinα·cosα=

11.若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则称点P为△ABC的布洛卡点，α为△ABC的布洛卡角．在等腰△ABC中，AB=AC，若布洛卡点P满足PBPA=PCPB=3，则tan∠ABC=

四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。12.已知向量a=(2sin x,2cos x)，(1)求函数f(x)的最大值；(2)已知在锐角ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足fB2+π4=4ca13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosA=3bsinB．

(Ⅰ)求A的大小；

(Ⅱ)若14.在△ABC中，cos(π(1)求角B的值;(2)以下三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并求sinA.条件 ①:a2-b2+c215.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)，ω>0，φ<π2.从下面的两个条件中任选其中一个：①fx=3cos2x+33sinxcos(Ⅰ)化简f(x)的表达式并求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)请填写表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象．(注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分)X=2x+xy

1.【答案】B

【解答】

解：由函数f(x)=sin(-2x+π3)=-sin(2x-π3)的图象为C，

对于A，x=π6时，f(π6)=sin(-π3+π3)=0，所以图象C不关于直线x=π6对称，A错误；

对于B，x∈[-π12,5π12]时，2x-π3∈[-π2,π2]，则函数f(x)=-sin(2x-π2.【答案】C

【解答】

解：对于A，y=tanx的周期为π，但y=tanx不关于点(π4,0)对称，故A错误；

对于B，y=|sinx|的周期为π，但y=|sinx|不关于点(π4,0)对称，故B错误；

对于C，y=2cos2x-1=cos2x，周期为2π2=π，

3.【答案】A

解：∵sinα-cosβ=-23,cosα+sinβ=13，

对式子两边平方，得

sin2α+cos2β-2sinα·cosβ=44.【答案】D

【解答】

解：由函数

f(x)=2sin (x+π3+φ)

是奇函数，

则

φ=kπ-π3,k∈Z

，

所以当

k∈Z

时，

5.【答案】C

【解答】

解：对A，若P(a,2a)(a≠0)为角θ终边上一点，

则r=a2+4a2=5|a|，所以sinθ=2a5|a|，

所以当a>0时，sinθ=255，当a<0时，sinθ=-255，所以A错误；

对B，同时满足sinx=12，cosx=32的角为：x=π6+2kπ，k∈Z，

所以B错误；

对C6.【答案】BD

【解答】

解：对于A选项，因为BC=2>sinA·AB=1，所以三角形有两解，故A不正确；

对于B选项，在△ABC中，A=π6，AB=2，

若AC=3，

则根据余弦定理可知：BC=AB2+AC2-2·AB·AC·cos A

=1，故B正确;

对于C选项，若△ABC的面积S=33=12·sinA·AB·AC，则AC=233，

则根据余弦定理可知：BC=27.【答案】AB

【解答】

解：由M、N关于C对称可得C(-π3,0)，则T2=-π3-(-5π6)=π2，∴T=π，选项A正确;

B.由A知，ω=2，图象过C(-π3,0)，即sinφ-23π=0，

所以φ-23π=kπ,k∈Z，-π<φ<0，可得φ=-π3，

∴y=Asin(2x-π3)，

∵2×(-4π3)-π3=-3π，-3∈Z，则图象关于点(-4π3,0)成中心对称，选项B正确;

8.【答案】BD

【解答】

解：∵θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=15，

平方可得1+2sinθcosθ=125，

∴sinθcosθ=-1225，

∴θ为钝角，故A错误、B正确；

再根据sin2θ+cos2θ=1，

可得sinθ=45，cosθ=-39.【答案】-4

【解答】

解：由题意得3cos10∘10.【答案】2【解答】

解：由题意可得sin

α=63，cos

α=33，

所以sin故答案为：23；11.【答案】3【解答】解：设

PA=x

，则

PB=3x

，

PC=3x

则

3x2=x2+则

-2x2+y2-2xy∴

14x2-2y2=0

cosα=9sinα=2114

，