1.4.2　充要条件-高中数学教学资料

1.4.2充要条件第一章§1.4充分条件与必要条件1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明.学习目标同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！导语随堂演练课时对点练一、充要条件二、充要条件的证明三、充分条件、必要条件、充要条件的应用内容索引一、充要条件问题1

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.提示不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.问题2

你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？提示首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.知识梳理如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有

，又有

，就记作

，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为

条件.注意点：充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.p⇒qq⇒pp⇔q充要例1

指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p：x＝1，q：x－1＝

；∴p是q的充分不必要条件.(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；解∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件.(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；解由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件.(4)p：a是自然数；q：a是正数.解0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；故p是q的既不充分也不必要条件.反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.跟踪训练1

指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；解充要条件；(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；解必要不充分条件；(3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集；解必要不充分条件；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；解充分不必要条件.二、充要条件的证明例2

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.证明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝

<0，∴ac<0.充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝

<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根.反思感悟充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.跟踪训练2

求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.证明①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.三、充分条件、必要条件、充要条件的应用例3

已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}

{x|－2≤x≤10}，解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.延伸探究1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.解p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A

B.解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是m≥9.2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).故不存在实数m，使得p是q的充要条件.反思感悟应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.跟踪训练3

在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由.问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？解由题意知A＝{x|0≤x≤4}，若选①，则A是B的真子集，所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，又a>0，解得a≥3，所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}.若选②，则B是A的真子集，所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，又a>0，解得0<a≤1，所以存在a，a的取值集合M＝{a|0<a≤1}.若选③，则A＝B，所以1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解，所以不存在满足条件的a.1.知识清单：(1)充要条件概念的理解.(2)充要条件的证明.(3)充要条件的应用.2.方法归纳：等价转化.3.常见误区：条件和结论辨别不清.课堂小结随堂演练1.“x>0”是“x≠0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1234√解析由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.12342.“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立.√12343.“a<b”是“<1”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√12344.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.解析函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，m＝－2反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称.课时对点练基础巩固1234567891011121314151.“1<x<2”是“x≤2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，A

B.故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件.16√2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件123456789101112131415√16解析若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故为充要条件.123456789101112131415163.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.123456789101112131415164.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√解析已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0，比如当a<b<0时，ab(a－b)<0；反之，若ab(a－b)>0，则a－b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b<a<0时也满足ab(a－b)>0，故不能确定a和b的正负.故是既不充分也不必要条件.1234567891011121314155.(多选)下列选项中正确的是A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C.A∪B＝A是B⊆A的必要不充分条件D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件√16√123456789101112131415166.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件是A.x≥0 B.x<0或x>2C.x∈{－1,3,5} D.x≤0或x>2√√解析从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有BC满足题意.123456789101112131415167.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)必要不充分解析由两三角形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.123456789101112131415168.对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的_____条件.充要解析由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件.123456789101112131415169.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.1234567891011121314151610.设命题p：

≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.由p是q的充分不必要条件，可知A

B，123456789101112131415综合运用1611.“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√解析函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1，由集合的包含关系可知选A.1234567891011121314151612.已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝

”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√13.集合A，B之间的关系如图所示，p：a∈∁UB，q：a∈A，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516√解析由图可知A是B的补集的真子集，故选B.1234567891011121314151614.已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______________