5.5.2　第2课时　简单的三角恒等变换(二)

第2课时简单的三角恒等变换(二)第五章

5.5.2简单的三角恒等变换1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际

问题.学习目标同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sinx＋cosx等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧.导语随堂演练课时对点练一、三角恒等变换与三角函数二、三角恒等变换在几何中的应用三、三角恒等变换在实际问题中的应用内容索引一、三角恒等变换与三角函数上述三角函数式，实际上是asinx＋bcosx(ab≠0)的特殊形式，上述一组恒等式中的a，b较为特殊，经过一定的配凑，可以得到一些特殊角的三角函数值，那么对于一般的实系数a，b，是否也能进行合并呢？问题2

一般地，对于y＝asinx＋bcosx，你能对它进行合并吗？第三步：化简、逆用公式得asinx＋bcosx知识梳理辅助角公式(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合.反思感悟

研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝(1)求f(x)的最小正周期；二、三角恒等变换在几何中的应用例2

(教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).解如图，连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.因为AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ反思感悟

三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想.跟踪训练2如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？解设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα三、三角恒等变换在实际问题中的应用例3

如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低.设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ).(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；解连接OM(图略)，在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝θ，故NP＝2tanθ.根据平面几何知识可知，MB＝MP，反思感悟实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.跟踪训练3

在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos2θ＝_____.又(cosθ＋sinθ)2＋(cosθ－sinθ)2＝2，1.知识清单：(1)辅助角公式.(2)三角恒等变换的综合问题.(3)三角函数在实际问题中的应用.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：易忽视实际问题中的定义域.课堂小结随堂演练√123412342.若函数f(x)＝sin2x＋cos2x，则A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的最大值为2√1234√1234123412347所以f(x)max＝7.课时对点练基础巩固12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√4.函数f(x)＝sinx＋cosx的一个对称中心是根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，12345678910111213141516A.[2,6] B.[－6,6]

C.(2,6) D.[2,4]√123456789101112131415166.(多选)已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x，则下列说法正确的是A.f(x)的最大值为2B.f(x)的最小正周期为π√√12345678910111213141516√12345678910111213141516综上有B，C，D正确，A不正确.123456789101112131415167.已知函数f(x)＝2sinx＋3cosx，x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)的最大值是________.因为x1，x2∈R，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离；123456789101112131415161234567891011121314151610.已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2－2sin2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；解因为f(x)＝(sinx＋cosx)2－2sin2x＝sin2x＋2sinxcosx＋cos2x－2sin2x＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x1234567891011121314151612345678910111213141516A.等边三角形

B.钝角三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形综合运用√12345678910111213141516解析∵C＝π－(A＋B)，12345678910111213141516故此三角形为直角三角形.12345678910111213141516A.11 B.5 C.－5 D.－11√1234567891011121314151613.若函数f(x)＝|3sinx＋4cosx＋m|的最大值是8，则m等于A.3 B.13 C.3或－3 D.－3或13√12345678910111213141516解析∵f(x)＝|3sinx＋4cosx＋m|，∴f(x)＝|5sin(x＋φ)＋m|，∵－5≤5sin(x＋φ)≤5，∴当m>0时，f(x)max＝|5＋m|＝8，解得m＝3；当m<0时，f(x)max＝|－5＋m|＝8，解得m＝－3.1234567891011121314151614.如图，已知OPQ是半径为5，圆心角为θ(tanθ＝2)的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.当矩形ABCD的周长最大时，BC边的长为_____.12345678910111213141516设∠COP＝α，则AD＝BC＝OCsinα＝5sinα，OB＝OCcosα＝5cosα，在Rt△OAD中，∠AOD＝θ，12345678910111213141516∴矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)拓广探究12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151616.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.123456789