2024年浙江杭州高级中学九年级分班考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页数学考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟．2．答题时，请在答题卷指定位置内写明姓名、试场号、座位号．3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应．4．考试过程中，不得使用计算器；5．考试结束后，上交试题卷、答题卷．一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1．如图直线y＝mx与双曲线y=交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是()A．1 B．2 C．3 D．42．△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么ABC的面积等于（

）A．12 B．14 C．16 D．183．若：，，，则：代数式的值等于（）A． B． C． D．4．已知实数，且满足，则的值为（

）A．23 B． C． D．5．如图，的值等于（

）

A．360° B．450° C．540° D．720°6．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组

只有正数解的概率为（

）．A． B． C． D．7．如图，正方形内接于，点在劣弧上，连接，交于点．若，则的值为（）

A． B． C． D．8．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（

）．A．1种 B．2种 C．4种 D．0种二、填空题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分）9．在中，，若斜边是直角边的3倍，则的值是．10．如图，在ΔABC中，，，，则.11．已知非零实数a、b满足，则a+b等于．12．如图，等腰为上一点，以为斜边作等腰，连接，若，则的长为．13．时，函数的最小值为，则实数的值为．14．如图，正方形ABCD的边长为（2+1），点M、N分别是边BC、AC上的动点，沿MN所在直线折叠正方形，使点C的对应点C'始终落在边AB上，若△NAC'为直角三角形，则CN的长为．15．已知实数、、、满足，，则．16．实数，，满足，，则的最大值是．17．已知对任意正整数都有，则．18．已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为．三、解答题：本大题有5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)过点作轴，垂足为，连接，求的面积．20．解关于的不等式．21．已知关于x的方程有实根．（1）求取值范围；（2）若原方程的两个实数根为，且，求的值．22．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD＝2BD．23．个正整数满足如下条件：且中任意个不同的数的算术平均数都是正整数．求的最大值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝|k|＝1，则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．2．C【分析】连接ED，根据BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，先求出S四边形BCDE=BD·CE=12．然后利用D，E是△ABC两边中点连线即可求得答案．【详解】解：如图，连接ED，则S四边形BCDE=DB·EH+BD·CH=DB（EH+CH）=BD·CE=12．又∵CE是△ABC中线∴S△ACE=S△BCE，∵D为AC中点，∴S△ADE=S△EDC，∴S△ABC=S四边形BCDE=×12=16．故选C．【点睛】此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接ED，求出S四边形BCDE．3．D【分析】首先根据题意，联立方程组，得出，用字母表示出、的值，然后把、的值代入代数式，计算即可得出结果．【详解】解：∵，，∴，由，可得：，把代入，可得：，又∵，∴．故选：D【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、分式的化简求值，解本题的关键在根据已知二元一次方程组进行消元，将分式中的三个未知数化成只含一个未知数的式子表示．4．B【分析】由题意可得是方程即的两个根，根据根与系数的关系可得，整理可得，，即得，，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解.【详解】解：∵，且满足，∴是方程即的两个根，∴，整理，得，，∴，，∴；故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出，，是解题的关键．5．C【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和定理，利用四边形的内角和得到，，从而有，，然后利用三角形的内角和求的度数．【详解】解：如图，连接，

∵，，∴，即，∵，∴，故选：C．6．D【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】解：当2a-b=0时，方程组无解；当2a-b≠0时，由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得，∵使x、y都大于0则有，解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，而a，b都为1到6的整数，所以可知当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，这两种情况的总出现可能有3+10=13种；又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率，故选D．【点睛】难点是：当方程组相同未知数的系数之比相等，但与常数项之比不相等时，方程组无解，关键是得到使方程组为正整数的解的个数．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．D【分析】连接，，由得，设，根据条件求得，设，则，，即可表示出所求比值．【详解】解：连接，．

，，设，，，．，设，则，．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理及正方形性质．熟记并灵活应用定理是解题的关键．8．B【详解】选B．理由：设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为，由题意可知，即．因为k，n都是正整数，且，所以，且n与的奇偶性不同．将200分解质因数，可知或．当时，；当时，．因此共有两种不同方案．9．【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可．【详解】解：在中，，设BC=x，则AB=3x，则故答案为：【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．10．【分析】设，，则有与，联立方程解方程组即可【详解】依题意，设，，，①，②由得2，∴.【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，在复杂图形中找三角形的外角与不相邻的两内角是解题关键11．1【分析】根据题意可得a≥3，化简原式得，根据非负数的性质先求出a，b的值，从而求得a+b的值．【详解】解∶根据题意得∶a≥3，∴，∴原等式可化为即，∴b+2=0且，∴a=3，b=﹣2，∴a+b=1．故答案为1．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性、偶次方都是非负数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．12．【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠ACB=45°，BCABAC，得出AB=AC=1，由直角三角形的性质得出ACAE=1，CE=2AE，得出AE，CE，BE=AB﹣AE=1，证出∠BCE=∠ACD，，得出△BCE∽△ACD，得出比例式，即可得出结果．【详解】∵等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，BC，∴∠B=∠ACB=45°，BCABAC，∴AB=AC=1．∵∠ACE=30°，∴ACAE=1，CE=2AE，∴AE，CE，∴BE=AB﹣AE=1．∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE=45°，CECD，∴∠BCE=∠ACD，，∴△BCE∽△ACD，∴，∴AD．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解答本题的关键．13．或【分析】本题考查了二次函数的最值，化顶点式，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题。利用函数解析式得到对称轴，根据题意分以下三种情况①当时，函数在处取得最小值，②当时，函数在处取得最小值，③当时，函数在处取得最小值，建立等式求解，即可解题．【详解】解：，，函数在对称轴处取得最小值为，时，函数的最小值为，①当时，函数在处取得最小值，有，②当时，函数在处取得最小值，有，整理得，解得或（均不符合题意舍去），③当时，函数在处取得最小值，有，解得．综上所述，或．故答案为：或．14．2或【分析】由正方形的性质可得AC=，∠CAB=45°，∠NC'A=90°和∠C'NA=90°两种情况讨论，由折叠的性质，可求CN的长．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为（+1），∴AC=×（+1）=2+，AB=+1，∠CAB=45°若∠C'NA=90°，∴∠AC'N=∠CAB=45°∴AN=NC'，∵折叠∴CN=C'N∴CN=AN=若∠NC'A=90°∴∠ANC'=∠CAB=45°∴NC'=AC'∴AN=AC'=C'N∵折叠∴CN=C'N∵AC=CN+AN=CN+CN=2+∴CN=故答案为或【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15．【分析】本题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，根据题意得到，再将变形为，将，代入上式4求解，即可解题．【详解】解：实数、、、满足，，，，．故答案为：．16．【分析】把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出z的最大值．【详解】解：∵x＋y＝5−z，xy＝3−z(x＋y)＝3−z(5−z)＝z2−5z＋3，∴x、y是关于t的一元二次方程t2−(5−z)t＋z2−5z＋3＝0的两实根．∵△＝(5−z)2−4(z2−5z＋3)≥0，即3z2−10z−13≤0，(3z−13)(z＋1)≤0．∴−1≤z≤，当x＝y＝时，z＝．故z的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式求出z的取值范围，确定z的最大值．17．【详解】，则，所以原式．故答案为：．18．【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键．【详解】解：∵是关于的方程的整数根，∴，∵，且，，，，是五个不同的整数，∴，，，，也是五个不同的整数，∵，∴，即，∵，∴，∴，故答案为：10．19．(1)；(2)5【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用；（1）把的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把的坐标代入反比例函数的解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）求出，边上的高是，代入三角形的面积公式即可．【详解】（1）解：∵点）在的图像上，∴，∴反比例函数的解析式为：，∴∴∵点，在的图像上，∴，∴，∴一次函数的解析式为：；（2）以为底，则边上的高为，∴，20．当时，或，当时，．【分析】本题考查了一元一次不等式的运用，解一元一次不等式组，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．根据不等式得到，利用同号为正推出或，再根据当时，以及当时，求解不等式组，即可解题．【详解】解：或，当时，解得，或解得；当时，无解，或解得；综上所述，当时，或，当时，．21．（1）；（2）．【分析】(1)设，分两种情况讨论,①方程为一元一次方程,②方程为二元一次方程,那么有,根据△≥0即可求解;(2)设，，根据根与系数的关系即可求解.【详解】设，则原方程化为：当方程（2）为一次方程时，即a

2-1=0，a=±1．若a=1，方程（2）的解为，原方程的解为满足条件；若a=－1，方程（2）的解为，原方程的解为满足条件；∴a=±1．当方程为二次方程时，a

2-1≠0，则a≠±1，要使方程有解，则，解得：，此时原方程没有增根，∴取值范围是．（2）设，，则则是方程（a

2-1）y

2-（2a+7）y+1=0的两个实数根，由韦达定理得：∵，∴，解得：∴．【点睛】题考查了根与系数的关系，根的判别式及分类讨论的数学思想，关键是掌握根与系数之间的关系进行解题.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质