2024年江苏南京金陵中学特长生选拔考试数学试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年金陵中学特长生选拔考试数学试题【综合部分】1．若，则2．方程的整数解共有对3．若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等，则4．求关于对称的函数表达式．5．如图，正方形边长为6，若，则四边形的面积为6．如图，与相交于A．B两点，若在y轴有点C，满足，则C点坐标为

7．如图，三棱锥的每条边均为整数，若，，，，则的长为8．若函数与x轴相交于、，且，则a的取值范围是9．如图(1)求证：；(2)在数轴上用尺规画出表示的点．10．已知矩形的对角线长为x，设矩形面积为S．(1)若，求S的最大值；(2)若矩形的周长为12，求：①x的取值范围；②S关于x的函数表达式．11．（1）若为的角平分线，求证：；（2）已知，，，，求证：．

12．如图，已知，，，，．(1)求证：；(2)若M是上一点，P为内一点，则的最小值为______．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．1【分析】本题考查高次方程的求解，因式分解的应用，先将分解为，求解出x的值，即可解答．【详解】解：，，，，，，故答案为：1．2．2【分析】此题考查了方程的解，解题的关键是将原方程正确变形．首先将变形为，然后根据x，y都是整数求解即可．【详解】∵∴∴∵x，y都是整数∴当时，；当时，；∴方程的整数解共有2对．故答案为：2．3．0或5【分析】本题考查了方差的计算公式，解一元二次方程，熟练掌握公式是解题的关键．根据方差的计算公式建立方程，解一元二次方程即可．【详解】解：3、4、5、6、7的平均数为：，则方差为：，1、2、3、4、x的平均数为：，∴由题意得，，化简得，，解得或，故答案为：0或5．4．【分析】本题考查了一次函数的解析式，关于直线对称的点坐标，在上取两点和关于对称后点的坐标为，根据两点确定一条直线，用待定系数法即可解答．【详解】解：在上取两点和，直线是一、三象限的角平分线，和关于直线对称的点坐标为，设关于对称的函数表达式为，则，解得：，关于对称的函数表达式为，故答案为：．5．##【分析】连接，过点F作于点H，交于点K，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出，求出，证明，得出，求出，，即可得出答案．【详解】解：连接，过点F作于点H，交于点K，如图所示：则，∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质．6．或【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，已两点求距离，熟练掌握知识点是解题的关键．先联立直线表达式和反比例函数解析式求出点，设，借助于两点间距离公式和勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：由题意得，解得：或，∴，设，则，∵，∴，∴，解得：或，∴或，故答案为：或．7．5【分析】本题考查两点间的距离及三角形三边关系，掌握构成三角形的条件是解题的关键．分别在和中根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式组并求解即可．【详解】解：∵在中，，，∴，即∴；∵在中，，，∴，即∴；∴∵三棱锥的每条边均为整数，∴．故答案为：5．8．或【分析】本题考查二次函数图形的性质及二次函数与不等式，根据与x轴交点的分布，利用数形结合的思想建立不等式组求解即可．【详解】解：，函数与x轴相交于、，即有两个根，且，，解得：或，故答案为：或．9．(1)见解析(2)图见解析【分析】（1）利用作差法和分式的加减混合运算法则求解即可；（2）以为直径画圆，以为圆心，1为半径画圆，两圆交于点，过点作数轴，则点表示的数即为【详解】（1）证明：由题意得，，由数轴可得，，∴，，∴，∴，∴；（2）解：以为直径画圆，以为圆心，1为半径画圆，两圆交于点，过点作数轴，则点表示的数即为，如图：由作图可知：，，，∵为直径，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，即点表示的数即为．【点睛】本题考查实数与数轴，异分母分式的加减运算，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，尺规作图—作垂线，作圆，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．10．(1)18(2)①；②【分析】本题考查了二次函数与几何的实际应用，矩形的性质，勾股定理．（1）设，根据得到，矩形的面积，即，即可解答；（2）①设矩形的一边长为a，则另一边长为，列出x与a的关系式，利用二次函数的性质即可解答；②根据结合①中x与a的关系式即可解答．【详解】（1）解：设，，，，，，，，，当最小时，即为0时，有最大值324，的最大值为18；（2）解：①设矩形的一边长为a，则另一边长为，，，，，；②，由①得，，即．11．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作，作于，则与的面积比既等于，也等于，从而得出结论；（2）作，，先证明四边形内接于，设的半径为，求得，再作，，证明，得到，设，求得，据此即可证明结论成立．【详解】证明：（1）如图，作于，作于，

平分，，，，；（2）作，，垂足分别为，

∴，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴四边形内接于，设的半径为，则，，∵，∴，，，∵，∴，∴，作，，垂足分别为，

∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，设，则，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆内接四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．12．(1)见解析(2)【分析】（1）过点交于点E，证明四边形是平行四边形，再证明是直角三角形，即可证明结论；（2）如图，以为边构造等边和等边，连接，过点F作于点，设交于点Q，形成手拉手全等，得，所以，又因为M为上一动点，所以当时，取得最小值，等于．【详解】（1）解：证明：过点交于点E，，四边形是平行四边形，，，，，，在中，，，是直角三角形，即，；（2）解：如图，以为边构造等边和等边，连接，过点F作于点，设交于点Q