2022年复变函数与积分变换题库习题集带答案1-7章全

复变函数测验题PAGEPAGE4复数与复变函数选择题1．当时，的值等于（）（A）（B）（C）（D）2．设复数满足，，那么（）（A）（B）（C）（D）3．复数的三角表示式是（）（A）（B）（C）（D）4．若为非零复数，则与的关系是（）（A）（B）（C）（D）不能比较大小５．设为实数，且有，则动点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线６．一个向量顺时针旋转，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为，则原向量对应的复数是（）（A）（B）（C）（D）７．使得成立的复数是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数８．设为复数，则方程的解是（）（A）（B）（C）（D）９．满足不等式的所有点构成的集合是（）（A）有界区域（B）无界区域（C）有界闭区域（D）无界闭区域10．方程所代表的曲线是（）（A）中心为，半径为的圆周（B）中心为，半径为２的圆周（C）中心为，半径为的圆周（D）中心为，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A）（B）（C）（D）12．设，则（）（A）（B）（C）（D）13．（）（A）等于（B）等于（C）等于（D）不存在14．函数在点处连续的充要条件是（）（A）在处连续（B）在处连续（C）和在处连续（D）在处连续15．设且，则函数的最小值为（）（A）（B）（C）（D）二、填空题1．设，则2．设，则3．设，则4．复数的指数表示式为5．以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式所表示的区域是曲线的内部７．方程所表示曲线的直角坐标方程为８．方程所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射，圆周的像曲线为10．三、若复数满足，试求的取值范围．四、设，在复数集中解方程.五、设复数，试证是实数的充要条件为或.六、对于映射，求出圆周的像.七、试证１.的充要条件为；２.的充要条件为.八、若，则存在，使得当时有.九、设，试证.十、设，试讨论下列函数的连续性：1.2..复数与复变函数答案一、1．（B）2．（A）3．（D）4．（C）５．（B）６．（A）７．（D）８．（B）９．（D）10．（C）11．（B）12．（C）13．（D）14．（C）15．（A）二、1．2．3．4．5．６．（或）７．８．９．10．三、（或）．四、当时解为或当时解为.六、像的参数方程为．表示平面上的椭圆.十、1．在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；2．在复平面处处连续.第二章解析函数一、选择题：1．函数在点处是()（A）解析的（B）可导的（C）不可导的（D）既不解析也不可导2．函数在点可导是在点解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是()（A）设为实数，则（B）若是函数的奇点，则在点不可导（C）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析（D）若在区域内解析，则在内也解析4．下列函数中，为解析函数的是()（A）（B）（C）（D）5．函数在处的导数()（A）等于0（B）等于1（C）等于（D）不存在6．若函数在复平面内处处解析，那么实常数()（A）（B）（C）（D）7．如果在单位圆内处处为零，且，那么在内()（A）（B）（C）（D）任意常数8．设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是（A）若在内是一常数，则在内是一常数（B）若在内是一常数，则在内是一常数（C）若与在内解析，则在内是一常数（D）若在内是一常数，则在内是一常数9．设，则()（A）（B）（C）（D）10．的主值为()（A）（B）（C）（D）11．在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析12．设，则下列命题中，不正确的是()（A）在复平面上处处解析（B）以为周期（C）（D）是无界的13．设为任意实数，则()（A）无定义（B）等于1（C）是复数，其实部等于1（D）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是()（A）（B）（C）（D）15．设是复数，则()（A）在复平面上处处解析（B）的模为（C）一般是多值函数（D）的辐角为的辐角的倍二、填空题1．设，则2．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是3．导函数在区域内解析的充要条件为4．设，则5．若解析函数的实部，那么6．函数仅在点处可导7．设，则方程的所有根为8．复数的模为9．10．方程的全部解为三、设为的解析函数，若记，则．四、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数1．2．五、设，求.六、设试证在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知，试确定解析函数.八、设和为平面向量，将按逆时针方向旋转即得.如果为解析函数，则有（与分别表示沿,的方向导数）.九、若函数在上半平面内解析，试证函数在下半平面内解析.十、解方程.第二章解析函数一、1．（B）2．（B）3．（D）4．（C）５．（A）６．（C）７．（C）８．（C）９．（A）10．（D）11．（A）12．（C）13．（D）14．（B）15．（C）二、填空题1．2．常数3．可微且满足4．5．或，为实常数6．7．8．9．10．四、1．2．五、,.七、.为任意实常数.十、.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设为从原点沿至的弧段，则()（A）（B）（C）（D）2．设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为()（A）（B）（C）（D）(A)(B)(C)都有可能3．设为负向，正向，则()（B）（C） （D）4．设为正向圆周，则()（A）（B）（C）（D）5．设为正向圆周，则()（A）（B）（C）（D）6．设，其中，则()（A）（B）（C）（D）7．设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分()（A）于（B）等于（C）等于（D）不能确定8．设是从到的直线段，则积分（）（A）(B)(C)(D)9．设为正向圆周，则()（A）（B）（C）（D）10．设为正向圆周，则()（A）（B）（C）（D）11．设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于．如果在上的值为2，那么对内任一点,()（A）等于0（B）等于1（C）等于2（D）不能确定12．下列命题中，不正确的是()（A）积分的值与半径的大小无关（B）,其中为连接到的线段（C）若在区域内有，则在内存在且解析（D）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则在处解析13．设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是()(A)（B）（C）（D）14．下列命题中，正确的是()（A）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若在区域内解析，则为内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是()（A）（B）（C）（D）二、填空题1．设为沿原点到点的直线段，则2．设为正向圆周，则3．设,其中，则4．设为正向圆周，则5．设为负向圆周，则6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设在单连通域内连续，且对于内任何一条简单闭曲线都有，那么在内8．调和函数的共轭调和函数为9．若函数为某一解析函数的虚部，则常数10．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为三、计算积分1.,其中且;2.．四、设在单连通域内解析，且满足.试证１．在内处处有；２．对于内任意一条闭曲线，都有五、设在圆域内解析，若，则.六、求积分，从而证明.七、设在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数，试求极限并由此推证（刘维尔Liouville定理）.八、设在内解析，且，试计算积分并由此得出之值.九、设是的解析函数，证明.十、若，试求解析函数.第三章复变函数的积分一、1．（D）2．（D）3．（B）4．（C）５．（B）６．（A）７．（C）８．（A）９．（A）10．（C）11．（C）12．（D）13．（D）14．（C）15．（B）二、1．22．3．04．5．6．平均值7．解析8．9．10．三、1．当时，；当时，；当时，.2．.六、.七、.八、.十、（为任意实常数）.答案第四章级数一、选择题：1．设，则()（A）等于（B）等于（C）等于（D）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为()（A）（B）（C）（D）3．下列级数中，绝对收敛的级数为()（B）(C)（D）4．若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为()（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不能确定5．设幂级数和的收敛半径分别为，则之间的关系是()（A）（B）（C）（D）6．设，则幂级数的收敛半径()（A）（B）（C）（D）7．幂级数的收敛半径()（B）（C）（D）8．幂级数在内的和函数为（A）（B）（D）(D)9．设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径()（A）（B）（C）（D）10．级数的收敛域是()（A）（B）（C）（D）不存在的11．函数在处的泰勒展开式为()（A）（B）（C）（D）12．函数，在处的泰勒展开式为()（A）（B）（C）（D）13．设在圆环域内的洛朗展开式为，为内绕的任一条正向简单闭曲线，那么()(A)（B）（C）（D）14．若，则双边幂级数的收敛域为()（A）（B）（C）（D）15．设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么()（A）1（B）2（C）3（D）4二、填空题1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为．2．设幂级数与的收敛半径分别为和，那么与之间的关系是．3．幂级数的收敛半径4．设在区域内解析，为内的一点，为到的边界上各点的最短距离，那么当时，成立，其中．5．函数在处的泰勒展开式为．6．设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径为．7．双边幂级数的收敛域为．8．函数在内洛朗展开式为．9．设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为，那么该洛朗级数收敛域的外半径．10．函数在内的洛朗展开式为．三、若函数在处的泰勒展开式为，则称为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定满足的递推关系式，并明确给出的表达式．四、试证明1．2．五、设函数在圆域内解析，试证1．.2．。六、设幂级数的和函数，并计算之值.七、设，则对任意的，在内。八、设在内解析的函数有泰勒展开式试证当时.九、将函数在内展开成洛朗级数.十、试证在内下列展开式成立：其中.第四章级数一、1．（C）2．（C）3．（D）4．（A）５．（D）６．（D）７．（B）８．（A）９．（C）10．（B）11．（D）12．（B）13．（B）14．（A）15．（C）二、1．发散2．3．4．或（）5．6．7．8．9．10．三、，.六、，.九、.答案第五章留数一、选择题：1．函数在内的奇点个数为()（A）1（B）2（C）3（D）42．设函数与分别以为本性奇点与级极点，则为函数的()（A）可去奇点（B）本性奇点（C）级极点（D）小于级的极点3．设为函数的级极点，那么()（A）5（B）4(C)3（D）24．是函数的()(A)可去奇点（B）一级极点（C）一级零点（D）本性奇点5．是函数的()(A)可去奇点（B）一级极点（C）二级极点（D）本性奇点6．设在内解析，为正整数，那么()（A）（B）（C）（D）7．设为解析函数的级零点，那么()(A)（B）（C）（D）8．在下列函数中，的是（）（B）（C）(D)9．下列命题中，正确的是()设，在点解析，为自然数，则为的级极点．如果无穷远点是函数的可去奇点，那么若为偶函数的一个孤立奇点，则若，则在内无奇点10．()（A）（B）（C）（D）11．()（A）（B）（C）（D）12．下列命题中，不正确的是()（A）若是的可去奇点或解析点，则（B）若与在解析，为的一级零点，则（C）若为的级极点，为自然数，则（D）如果无穷远点为的一级极点，则为的一级极点，并且13．设为正整数，则()(A)（B）（C）（D）14．积分()（A）（B）（C）（D）15．积分()（A）（B）（C）（D）二、填空题1．设为函数的级零点，那么．2．函数在其孤立奇点处的留数．3．设函数，则4．设为函数的级极点，那么．5．双曲正切函数在其孤立奇点处的留数为．6．设，则．7．设，则．8．积分．9．积分．10．积分．三、计算积分．四、利用留数计算积分五、利用留数计算积分六、利用留数计算下列积分：１．２．七、设为的孤立奇点，为正整数，试证为的级极点的充要条件是，其中为有限数．八、设为的孤立奇点，试证：若是奇函数，则；若是偶函数，则．九、设以为简单极点，且在处的留数为A，证明.十、若函数在上解析，当为实数时，取实数而且，表示的虚部，试证明第五章留数一、1．（D）2．（B）3．（C）4．（D）５．（B）６．（C）７．（A）８．（D）９．（C）10．（A）11．（B）12．（D）13．（A）14．（B）15．（C）二、1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．三、.四、.五、.六、１．２．.答案第六章共形映射一、选择题：1．若函数构成的映射将平面上区域缩小，那么该区域是()（A）（B）（C）（D）2．映射在处的旋转角为()（A）（B）（C）（D）3．映射在点处的伸缩率为()（A）1（B）2(C)（D）4．在映射下，区域的像为()(A)（B）（C）（D）5．下列命题中，正确的是()（A）在复平面上处处保角（此处为自然数）（B）映射在处的伸缩率为零（C）若与是同时把单位圆映射到上半平面的分式线性变换，那么（D）函数构成的映射属于第二类保角映射6．关于圆周的对称点是()（A）（B）（C）（D）7．函数将角形域映射为()(A)（B）（C）（D）8．将点分别映射为点的分式线性变换为（）（B）（C）(D)9．分式线性变换把圆周映射为()(B)(D)10．分式线性变换将区域:且映射为()（A）（B）（C）（D）11．设为实数且，那么分式线性变换把上半平面映射为平面的()（A）单位圆内部（B）单位圆外部（C）上半平面（D）下半平面12．把上半平面映射成圆域且满足的分式线性变换为()（A）（B）（C）（D）13．把单位圆映射成单位圆且满足的分式线性变换为()(A)（B）（C）（D）14．把带形域映射成上半平面的一个映射可写为()（A）（B）（C）（D）15．函数将带形域映射为()（A）（B）（C）（D）二、填空题1．若函数在点解析且，那么映射在处具有