初中数学中考复习讲义练习：几何模型正方形的存在性问题

正方形的存在性问题

一、方法突破

作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问

题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：

（1）有一个角为直角的菱形；

（2）有一组邻边相等的矩形；

（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形.

依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标.

从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对

角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）.

比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果

要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，

可能无解.

从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：

（1）2个定点+2个全动点；

（2）1个定点+2个半动点+1个全动点；

甚至可以有：（3）4个半动点.

不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！

常用处理方法：

思路1：从判定出发

若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；

若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；

若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件.

思路2：构造三垂直全等

若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，

必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4

个点.

总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩

形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系.

正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主.

例：在平面直角坐标系中，A（1,1）,B（4,3）,在平面中求C、。使得以A、B、C、。为顶

点的四边形是正方形.

H

y

•B

A

x

如图，一共6个这样的点C使得以A、3、C为顶点的三角形是等腰直角三角形.

至于具体求点坐标，以C］为例，构造注△GN4,即可求得C1坐标.至于像C5、C6

这两个点的坐标，不难发现，C5是47,或BG的中点，Cf是BC?或AC4的中点.

题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路.

二、典例精析

例一：两动点：构造等腰直角定第3点

如图，抛物线y=f+fct+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ

为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

M

【分析】

（1）抛物线：y=x2-2^-3；

（2）已知A（-1,0）、B（3,0）,故构造以AB为斜边的等腰直角aAPB,如下:

若四边形APBQ是正方形，易得P点坐标为（1,2）或（1,-2）,

当P点坐标为（1,2）时，易得抛物线解析式为>=一;（无一丁+2；

当P点坐标为（1,-2）时，易得抛物线解析式为y=g（x-l）2—2.

综上所述，抛物线解析式为>=-；（无一1）2+2或y=!（》一1）2-2.

【小结】看到两个定点，不管题目如何描述第3个点的位置，均可通过构造等腰直角三角

形确定第3个点，再求得第4个点.

例二：两定两动：抛物线+抛物线

如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点

A(0,2)、点B(1,0),抛物线y=o?-依-2经过点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否存在点P与点Q(点C、D除外)使四边形ABPQ为正方形？若存在

求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由.

【分析】

(1)C(3,1)；

(2)抛物线：-L-2；

22

(3)考虑A、B、P构成等腰直角三角形且/B为直角，故可作出点P如下:

构造三垂直全等：△AMBgZkBNP,

即可求得P点坐标为(-1,-1),将点P代入抛物线解析式，成立，

即点P在抛物线上.

根据点P构造点Q,通过点的平移易得点Q坐标为(-2,1),

代入抛物线解析式，成立，即点Q也在抛物线上，

故存在，点P坐标为(-1,-1),点Q坐标为(-2,1).

【小结】本题数据设计得巧妙，由A、B确定的点P恰好在抛物线上，由A、B、P确定的

点D恰好也在抛物线上，故存在这样的一组P、Q,当然若适当调整数据，则答案完全可以

变成不存在.

三、中考真题对决

1.(2017•雅安)如图，已知抛物线>=尤2+法+。的图象经过点A(1,0),B(-3,0),与

y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标.

(3)在(2)的条件下，作PFLx轴于F,点M为x轴上一动点，点N为直线PF上一动

点，G为抛物线上一动点，当以点F、N、G、M四点为顶点的四边形为正方形时，求点

M的坐标.

【分析】

(1)抛物线：y=x2+2x-3；

(2)求CE的直线解析式或设P点坐标表示PE=PC,

可得P点坐标为(-2,-2).

(3)考虑FN_LFM,故四边形为MFNG,

若要成为正方形，则GN〃FM,GMJLx轴，即四边形MFNG为矩形.

设FN长度为m,贝1]NG=FN=m,故G点横坐标为m-2,

代入解析式得：G^n-Zm2-2m-3),

故GAf=|毋—2m—3|=m,

Agxg3+y/213—\/21,仝、1+^/131—^/13/

解得：班=——-——,m,=——-——(舍)，m,=——--,m4=——--(舍).

则M点坐标为历或.

【小结】根据题目描述可知四边形是矩形，考虑四边形的边均与坐标轴平行或垂直，故构

造一组邻边相等求得点坐标.

2.(2017・枣庄)如图，抛物线y=-gd+6x+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,

点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂

线，垂足为E,连接BD.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)若点M是抛物线上的动点，过点M作MN〃x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,

点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.

【分析】

(1)抛物线：y=——x1+2x+6^

2

(2)考虑MN〃x轴且MN为对角线，故MN与PQ互相垂直平分且相等，

根据垂直可知：PQJ_x轴;

根据平分可知：辱=9±配=2；

2

根据相等可知：设MN与PQ交于H点，则MN=2PH.

设M点坐标为卜,-：疗+2〃z+6）,则N点坐标为14-肛-+2m+6j,

MN=|4-,PH=-+2m+6,

由MN=2PH,nTW|4-2w|=2-1m2+2m+6,

解得：m=1±A/F/或7〃=3土A/17.

当〃?=l+g或3-后时，yM=s/n-l,此时Q点坐标为（2,2万-2）；

当根=1-如或3+g时，=-#7-1,此时Q点坐标为（2,-2万-2）.

综上所述，Q点坐标为（2,2而■-2）或（2,2/万-2）.

【小结】考虑到本题对角线是与坐标轴平行或垂直，故构造对角线垂直平分且相等，

3.（2018・南充删减）如图，抛物线顶点P（1,4）,与y轴交于点C（0,3）,与无轴交于点

A,B.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、

E.是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；

如果不存在，请说明理由.

【分析】

（1）抛物线：y=-x2+2x+3；

（2）由题意可得：MN〃BC,四边形MNED是矩形，若要变为正方形，可考虑①对角线

互相垂直；②有一组邻边相等.

思路1：考虑对角线

连接ME,则△MDN为等腰直角三角形，ZMED=45°,

即ME_Lx轴，

设M点坐标为（办-/+2加+3）,

则E点坐标为（丸-根+3）,

①当M点在E点上方时，可推得N点坐标为（出力

将点N坐标代入抛物线：>=-（尤+1）（尤-3）,

-nV+5m+2\（-m2+5m-6|-m2+m+6

得：-22=2

化简得：—5;77——3）=（m—3）（m+2）

—7m2+8〃？+4）=机+2,

解得：班=1,1nl=6（舍）

此时ME=2,正方形边长为血；

②当M点在E点下方时，同理可解：m=6.

此时ME=18,正方形边长为90.

综上，正方形边长为四或9忘.

思路2：考虑邻边相等

考虑M、N两点均未知，但MN〃:BC,

故可设直线MN解析式为y=-x+b,

联立方程：-x1+2x+3=-x+b,

化简为：x2-3x+(/?-3)=0,

=

MN=夜|%—x2|=应+%2丫一4%入2,42-8b

MD=^ME=^\b-3\

VMN=MD,

解得：=5,b2=—15

代入得边长为近或90.

【小结】其实只要能将计算进行下去，在已知矩形的前提下，无论选边还是选对角线，都

能解决问题.

4.(2021•抚顺)直线>=-尤+3与无轴相交于点A,与y轴相交于点5,抛物线

>=依2+2彳+。经过点A,B,与x轴的另一个交点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作DE//y轴交AB于点E,

。尸_LAB于点尸，PG_Lx轴于点G.当DE=FG时，求点D的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，直线CD与AB相交于点M,点〃在抛物线上，过H作“K//y

轴，交直线8于点K.尸是平面内一点，当以点H,K,尸为顶点的四边形是正方

形时，请直接写出点尸的坐标.

:

<<

图1图2图3

解：(1)令％=0,则y=3,

3(0,3),

令y=0,贝！Ix=3,

A(3,0),

抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B,

9〃+6+c=0

c=3

..”=T,

[c=3

••・抛物线解析式为y=-炉+2x+3；

(2)设0(%-苏+2加+3),

O£//y轴交AB于点石，

/.E(m,—m+3)，

OA=OB,

「.NQ4B=45。，

:.AG=FG,

DE=FG,

:.DE=AG,

连接GE,延长DE交x轴于点T,

二.四边形FGED是平行四边形，

DF±AB,

,\EG±AB,

「.AAEG为等腰直角三角形，

,\AT=ET=GT=3-mf

,\AG=FG=6-2mf

OG=3-(6-2m)=2m—3,

F点横坐标为2m-3,

/.FG=—2m+6,

/.DT=—2m+6+3—m=—3m+9,

/.—m2+2m+3=—3m+9，

解得根=2或