2025高考数学一轮复习：抛物线 专项训练【含解析】

课时过关检测（五十三）

抛物线【原卷版】

1.已知抛物线丁=2/。＞0）的准线经过点P（—1,—2）,则该抛物线的焦点坐标为（）

A.(1,0)B.(2,0)

C.(0,1)D.(0,2)

2.抛物线C：r=8y的焦点为尸，在C上有一点P,|「用=8,PF的中点M到C的准

线1的距离为（）

A.6B.8

C.4D.1

3.已知点尸是抛物线C：丁二公上的动点，点P到y轴的距离为d,0（—3,3）,则|PQ|

+d的最小值为（）

A.5B.V30+1

C.4一1D.4

4.已知抛物线/=4y的焦点为F,准线为/,过抛物线上一点P作尸垂足为Q,

若|尸月=4,则/FQP=（）

A.30°B.45°

C.60°D.75°

5.已知抛物线C：y2=4x的准线与x轴的交点为D,过焦点F的直线I与抛物线C的

一个交点为A,交准线于点B,若哀=2万7，则的面积为（）

A.小B.2小

C.4陋D.2小

6.（多选）在平面直角坐标系xOy中，抛物线V=6x的焦点为凡

准线为/,尸为抛物线上一点，B4±/,A为垂足.若直线AP的斜率左

=一小，则下列结论正确的是（）

A.准线方程为无=—3

B.焦点坐标吗，0）

C.点尸的坐标为（1,3小）

D.尸尸的长为3

7.(多选)设抛物线C：x=52的焦点为F则下列说法正确的是()

A.点尸在x轴上

B.点尸的坐标为(0,点)

C.设过点尸且斜率为1的直线与抛物线C交于尸，。两点，则产。|=8

D.设过点(一2,0)且斜率为|的直线与抛物线C交于M,N两点，则谒•而=8

72

8.抛物线尸=-2px(p>0)的准线经过椭圆5+^=1的右焦点，则p=.

9.抛物线V=2pxS>0)的准线截圆炉+y—2y—1=0所得弦长为2,则抛物线的焦点

坐标为•

10.已知过点遭，0)的直线/与抛物线y2=2/S>0)交于A,2两点，且市•加=

-3,其中。为坐标原点.

⑴求p的值；

(2)当|AM+418M最小时，求直线/的方程.

11.(多选)已知抛物线E：V=4伊的焦点为凡圆C：1)2=16与抛物线£交于

A,B两点，点尸为劣弧AB上不同于A,B的一个动点，

作平行于y轴的直线/交抛物线E于点N,则以下结论正

()

A.点尸的纵坐标的取值范围是(3,5]

B.圆C的圆心到抛物线准线的距离为1

C.|PN+|Nf]等于点P到抛物线准线的距离

D.△PFN周长的取值范围是(8,10)

12.已知抛物线尸=2度仍>0)的焦点/到准线/的距离为2,若点尸在抛物线上，且点

P至！J/的距离为d,Q在圆3>=1上,则p=,\PQ\+d的最小值为.

解析：因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点尸到准线/的距离为2,所以p=2,F(l,0),准

线/：x=—1,由抛物线的定义可知点P到I的距离d^\PF],所以|PQ+d=|PQ+|PF|,设

圆V+S—3>=1的圆心为C,则C(0,3),圆的半径为1,\PQ\+\PF]^\CF\-1=^/12+32-1

=710-1,当且仅当C,P,Q,尸共线时等号成立，所以|PQ+d的最小值为四一1.

答案：2JT6—1

13.已知抛物线Ci：丁=200>0)的焦点与双曲线。2：1一方=1右顶点重合.

(1)求抛物线C1的标准方程；

⑵设过点(0,1)的直线/与抛物线Ci交于不同的两点A,B,尸是抛物线C1的焦点，且

~FA^FB=I,求直线/的方程.

14.如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的

一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶（旋转抛物面）的主光轴指向太阳

的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从

它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有

一抛物线型太阳灶，灶口直径43为2小111,灶深CZ）为0.5m,则焦点到灶底（抛物线的

顶点）的距离为m.

15.如图，设抛物线方程为<=20</?>0）,M为直线y=-2p上任

意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B.

（1）求证：A,M,8三点的横坐标成等差数列；

⑵已知当M点的坐标为（2,—2。）时，|阴=以画，求此时抛物线的

方程.

课时过关检测(五十三)

抛物线【解析版】

1.已知抛物线产=2内0>0)的准线经过点P(—1,—2),则该抛物线的焦点坐标为()

A.(1,0)B.(2,0)

C.(0,1)D.(0,2)

解析：A因为抛物线的准线经过点P(—1,-2),则齐1,即p=2,则该抛物线的焦

点坐标为(1,0).故选A.

2.抛物线C：/=8y的焦点为凡在C上有一点P,|Pf]=8,PF的中点M到C的准

线/的距离为()

A.6B.8

C.4D.1

解析：A如图，过尸作于。，由抛物线的定义可知|PF|=「P,

陷|=8,照|=4,故PF的中点M到C的准线/的距离为(照|F―//

十|「。|)=6.故选A.0\2D

3.已知点尸是抛物线C：产=41上的动点，点P到了轴的距离为心。(一3,3),则|PQ

+d的最小值为()

A.5B.^30+1

C.A/30-1D.4

解析:DI.抛物线的准线方程为尤=—1,焦点厂(1,0).尸到直线x=—1的距离等于|尸尸|,

；.尸到y轴的距离d=|PJl—l,；.d+|PQ|=|尸用+|尸。]—1..•.当RP,。三点共线时，|产门

+IPQ取得最小值|。凡：。(一3,3),尸(1,0),.•.[0尸|=5,...d+lPQI的最小值为5—1=4.故

选D.

4.已知抛物线d=4y的焦点为F,准线为/,过抛物线上一点尸作P。，/,垂足为。,

若|尸月=4,则/FQP=()

A.30°B.45°

C.60°D.75°

解析：C设尸(沏,y0),则|PQ|=yo+l,由抛物线的定义可得|PQ|=|PF|,即州+1=4,

则州=3,又君=4泗，则看=12,不妨令尸位于第一象限，则须)=2#，即P(2小，3),因

此。（2小，-1）,所以I。同="12+4=4,所以|PQ|=|PQ=|QN，因此△尸。尸为等边三角形,

所以NP。尸=60°.故选C.

5.已知抛物线C：9=4%的准线与％轴的交点为。，过焦点厂的直线/与抛物线C的

一个交点为A,交准线于点8,若哀=2岳7,则△8。F的面积为（）

A.小B.2小

C.4小D.2y[2

解析：A直线/过该抛物线的焦点网1,0）,过A作准线的垂线，

垂足为E,如图所示，易得ABDFsABEA,由抛物线的定义知：\FD\

=2.因为胡=28尸，所以[4£]=6,所以XA=5,ya=2小，故A（5,

—2小），所以|距|=2小，\BD\=y[5,所以SABDF=小.故选A.

6.（多选）在平面直角坐标系xOy中，抛物线尸=6小的焦点为F准线

为/,尸为抛物线上一点，PALI,A为垂足.若直线AF的斜率上=—小，

则下列结论正确的是（）

A.准线方程为尤=—3

B.焦点坐标船，°）

C.点尸的坐标为（1,3小）

D.PF的长为3

解析：BC由抛物线方程为V=6x,...焦点坐标帽，0）,准线方程为x=—|,A错,

B对；I,直线”的斜率为一小，；.直线AF的方程为y=一小|）,当x=—|时,y=35,

；.A（一1,36A为垂足，...点P的纵坐标为次。，可得点尸的坐标为（|,3亚

C对；根据抛物线的定义可知|Pfl=|B4|=?—（―|）=6,D错，故选B、C.

7.（多选）设抛物线C:X=52的焦点为R则下列说法正确的是（）

A.点尸在x轴上

B.点尸的坐标为（0,

C.设过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于尸，。两点，则『。|=8

D.设过点（一2,0）且斜率为|的直线与抛物线C交于跖N两点，则说•前=8

解析：ACD由题可得抛物线C的标准方程为产=4居所以点尸在x轴上，且点尸的

坐标为（1,0）,所以选项A正确，选项B不正确；过点网1,0）且斜率为1的直线方程为y=x

—1,将y=x-1代入y2=4x,消去y可得x2—6x+l=0,设尸⑶，yi),。(愈，/)，则阳+

22

元2=6,所以|尸。|=为+%2+2=8,选项C正确；过点(一2,0)且斜率为1的直线方程为>=](%

2

+2),将y=g(x+2)代入丁=4%,消去y可得x2—5x+4=0,解得x=\或x=4,不妨设M(l,2),

则N(4,4),所以谪•前=(0,2>(3,4)=8,选项D正确.故选A、C、D.

22

8.抛物线;/=-2px(p>0)的准线经过椭圆，+方=1的右焦点，则p=.

解析：由椭圆方程可得其右焦点为(2,0),I.抛物线的准线经过椭圆的右焦点，..或=2,

解得p=4.

答案:4

9.抛物线产=2川。>0)的准线截圆/十V一2y—1=0所得弦长为2,则抛物线的焦点

坐标为•

解析：抛物线尸=2力仍>0)的准线为x=—呈把圆化成标准方程为f+U—1>=2,得

圆心M(0,l),半径厂=也，圆心到准线的距离为冬所以自2+(|)2=(也)2,解得p=2,所

以焦点坐标为(1,0).

答案：(1,0)

10.已知过点0)的直线/与抛物线—Zpx。〉。)交于A,8两点，且市•前=

一3,其中。为坐标原点.

⑴求p的值；

(2)当|4M]+412M最小时，求直线/的方程.

解：(1)设直线/的方程为x=%+$

x——tnv~H二

由<2消去x得丁―2〃帆y—p2=0,

y=2px,

设A(»,yi),5(x2,闻，所以yi+y2=2pm,yiy2=~p2,

因为"5才・"5音=-3,所以阳工2+以丁2=—3,

又欠以2=4•天=(,所以勺-p2=-3,又因为p>0,所以P=2.

(2)由(1)及抛物线定义，得|AM]=%i+曰=处+1,|3M=X2+?=X2+1,

所以|AM+4|BM=xi+4%2+522d而三+5=9,当且仅当为=4及时等号成立.

n21

将XI=4x2代入X1X2=4=1，得X2=]（负值舍去）.

将及=3代入y2=4x,得丫2=i\/，即点8弓

J2

将点8代入尤=»ty+l,得加=±半,

所以直线/的方程为x=±第+1,即4x±V5y—4=0.

11.(多选)已知抛物线E：V=4y的焦点为尸，圆C：r+Q—1)2=16与抛物线£交于

A,B两点，点尸为劣弧AB上不同于A,8的一个动点，过点尸作平行于y轴的直线/交

抛物线E于点N,则以下结论正确的是()

A.点尸的纵坐标的取值范围是(3,5]

B.圆C的圆心到抛物线准线的距离为1

C.1PM+|沏等于点P到抛物线准线的距离

D.△尸FN周长的取值范围是(8,10)

解析：ACD如图所示：A项，圆C：/+。-1)2=16的圆

心为(0,1),半径为4,与y的正半轴交点为(0,5),由

(x2=4y,_

12.z、2,解得y=3(负值舍去)，所以点P的纵坐标的取

值范围是(3,5],故正确；B项，因为圆C的圆心为抛物线的焦点,

所以圆C的圆心到抛物线准线的距离为p=2,故错误；C项，由抛物线的定义得IPN+IM1

等于点尸到抛物线准线的距离，故正确；D项，△尸;W周长为：\PF\+|P^|+\NF\=r+yP+1

=yp+5G(8,10),故正确.故选A、C、D.

12.已知抛物线;/=2px3>0)的焦点尸到准线/的距离为2,若点P在抛物线上，且点

P到I的距离为d,Q在圆f+0一3>=1上，则p=,\PQ\+d的最小值为.

解析：因为抛物线产=2川⑺>0)的焦点F到准线/的距离为2,

所以p=2,尸(1,0),准线/：x=~l,由抛物线的定义可知点尸到/

的距离d^\PF],所以|PQ|+d=|PQ+|PE，设圆V+G—3>=1的

圆心为C,则C(0,3),圆的半径为1,\PQ\+\PF\^\CF]-1=^/12+32

-l=ViO-l,当且仅当C,P,Q,F共线时等号成立，所以|PQ

+』的最小值为qr5—1.

答案：2y[To—1

13.已知抛物线Ci：丁二?。。〉。)的焦点与双曲线C2：亍一方=1右顶点重合.

(1)求抛物线G的标准方程;

⑵设过点（0,1）的直线/与抛物线G交于不同的两点A,B,尸是抛物线Cl的焦点，且

~FA^FB=1,求直线/的方程.

解：⑴由题设知，双曲线C2：。一方=1的右顶点为（2,0）,

.,-2=2,解得p=4,

二抛物线Ci的标准方程为y2=Sx.

（2）设A（xi,yi）,B（X2,J2）,

显然直线/的斜率存在，故设直线/的方程为y=fcv+l,

Ax-1-1,

联立、'消去y得廿P+（2左一8）x+l=0,由/>0得（2左一8>—4产>0,即左

L/=8x,'

<2,

2k-81—>—>

.\X\+X2=一S,xi%2=启.又；FA，FB=1,网2,0）,

二次•■=⑶-2）（检一2）+y=1,

X1X2—2（X1+检）+4+（依1+1）（依2+1）=（1+M）XlX2+（左一2）（X1+x2）+5=1,即F+4左

—5=0,

解得k—1或k——5,二直线/的方程为y—x+1或y=—5尤+1.

14.如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的

一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶（旋转抛物面）的主光轴指向太阳

的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从

它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有

一抛物线型太阳灶，灶口直径A8为2切m,灶深CD为0.5m,则焦点到灶底（抛物线的

顶点）的距离为m.

解析：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，。与C重合.设抛物用人

线的方程为丁=23（/7>0）,由题意可得A（g,4），将A点坐标代入抛物V

1C（O）［\D

线的方程可得3=20义不解得p=3,所以抛物线的方程为V=6x,焦点\

的坐标为《，0）,即G，0）,所以焦点到灶底（抛物线的顶点）