2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（2）教学教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（2）教学教案新人教A版必修4主备人备课成员教材分析本节课为人教A版必修4高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（2）的教学教案。本节课是在学生已经掌握了任意角的概念、弧度制以及角度与弧度的转换的基础上进行授课的。教材通过引入实际问题，引导学生探究任意角的三角函数的定义及其性质，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

本节课的主要内容包括：任意角的正弦、余弦和正切函数的定义，函数值的符号规律，以及利用三角函数的定义证明三角函数的性质。在教学过程中，需要注重让学生通过观察、实验、归纳等方法自主发现并总结三角函数的性质，提高学生的自主学习能力。

在教学过程中，要注重与实际生活的联系，让学生感受数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时，通过设置合理的课堂提问和练习，帮助学生巩固所学知识，提高学生的数学素养。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。通过探究任意角的三角函数的定义和性质，学生能够抽象出三角函数的本质特征，运用逻辑推理归纳出三角函数的性质，从而提高数学抽象和逻辑推理能力。同时，通过将三角函数应用于实际问题，学生能够建立数学模型，运用数学运算解决实际问题，提高数学建模和数学运算能力。教学难点与重点1.教学重点：

（1）任意角的正弦、余弦和正切函数的定义。

（2）任意角的三角函数值的符号规律。

（3）利用三角函数的定义证明三角函数的性质。

2.教学难点：

（1）任意角的三角函数值的符号规律的推导和理解。

（2）利用三角函数的定义证明三角函数的性质的方法和技巧。

例如，学生可能难以理解为什么任意角的正弦、余弦和正切函数的值会有符号规律，教师可以通过实际例子和图形进行解释和演示，帮助学生理解和掌握。另外，学生可能难以掌握如何利用三角函数的定义证明三角函数的性质，教师可以通过具体的案例和步骤指导，让学生逐步掌握证明的方法和技巧。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法：

（1）问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生探究任意角的三角函数的定义和性质，激发学生的思考和探索欲望。

（2）合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队合作能力和交流表达能力。

（3）案例分析法：通过分析具体的案例，让学生运用三角函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

2.教学手段：

（1）多媒体演示：利用多媒体课件和动画，直观地展示三角函数的性质和图形，帮助学生更好地理解和记忆。

（2）在线教学平台：利用在线教学平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。

（3）数学软件工具：运用数学软件工具，进行函数的绘制和计算，提高学生的数学运算能力和解决问题的能力。教学过程1.导入新课

同学们，大家好！上一节课我们学习了任意角的概念和弧度制，今天我们将继续深入学习三角函数。在这一节中，我们将探讨任意角的三角函数的定义及其性质。希望大家能够积极参与，共同探索这一有趣而重要的数学知识。

2.知识探究

（1）任意角的正弦、余弦和正切函数的定义

首先，我们来回顾一下正弦、余弦和正切函数的定义。以正弦函数为例，设任意角为α，其终边与单位圆交点的纵坐标即为正弦函数的值。同样地，余弦函数的值为其终边与单位圆交点的横坐标，正切函数的值为纵坐标与横坐标的比值。

同学们，请尝试根据这个定义，找出以下角度的正弦、余弦和正切函数值：30°、45°和60°。

（2）函数值的符号规律

在探究过程中，同学们会发现，任意角的三角函数值有了一定的符号规律。我们可以通过观察特殊角度的函数值来总结这个规律。例如，当角度在0°到90°之间时，正弦函数值为正，余弦函数值为正，正切函数值为正；当角度在90°到180°之间时，正弦函数值为负，余弦函数值为负，正切函数值为正。

请同学们尝试根据这个规律，判断以下角度的三角函数值的符号：120°、210°和330°。

（3）利用三角函数的定义证明三角函数的性质

同学们，请根据这个方法，尝试证明余弦函数和正切函数的周期性。

3.课堂练习

下面，我们来进行一些课堂练习，以巩固所学知识。请同学们完成以下题目：

（1）求出角度为30°、45°和60°的三角函数值。

（2）根据三角函数值的符号规律，判断角度为120°、210°和330°的三角函数值的符号。

（3）利用三角函数的定义，证明余弦函数和正切函数的周期性。

4.总结与拓展

对于学有余力的同学们，可以尝试研究三角函数在其他领域的应用，如物理、工程等领域，进一步拓宽自己的知识面。

5.课后作业

请同学们完成课后作业，巩固本节课所学知识。作业内容包括：

（1）复习本节课的正弦、余弦和正切函数的定义及性质。

（2）练习判断任意角的三角函数值的符号。

（3）尝试解决一些与三角函数相关的实际问题。

同学们，希望通过本节课的学习，大家能够更好地理解和掌握三角函数的知识。接下来，我们将继续深入学习三角函数的其它内容，请大家继续努力，共同探索数学的奥秘！学生学习效果课堂板书设计①任意角的三角函数定义：正弦、余弦、正切函数的定义及其性质。

②三角函数值的符号规律：角度与三角函数值的关系，特殊角度的三角函数值。

③三角函数的性质证明：利用三角函数的定义证明三角函数的周期性。

2.板书设计艺术性与趣味性

②利用图形、颜色、符号等元素，将三角函数的性质和规律形象化、生动化，激发学生的学习兴趣。

③在板书中加入有趣的数学故事、数学家的名言等，增加板书的趣味性和吸引力，引发学生的思考和兴趣。

3.板书设计实用性

①板书设计要简洁明了，突出重点，便于学生理解和记忆。

②板书设计要具有指导性，引导学生思考和探索，帮助学生建立知识体系。

③板书设计要具有可操作性，方便学生跟随板书进行学习和笔记。典型例题讲解为了更好地巩固本节课的知识点，我将为大家讲解一些典型的例题。这些例题都是围绕任意角的三角函数的定义及其性质展开的，希望大家能够通过这些例题，更好地理解和运用所学知识。

例题1：已知任意角α的终边与单位圆交点的坐标为(cosα,sinα)，求证：cos²α+sin²α=1。

解答：根据任意角的三角函数定义，我们有cosα=x，sinα=y。由于点(x,y)在单位圆上，根据单位圆的定义，我们有x²+y²=1。因此，cos²α+sin²α=1。

例题2：已知cosα=1/2，求sinα的值。

解答：由于cosα=1/2，我们可以得出α=60°或α=300°。根据三角函数的定义，当α=60°时，sinα=√(1-cos²α)=√(1-(1/2)²)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2。当α=300°时，sinα=-√(1-cos²α)=-√(1-(1/2)²)=-√(1-1/4)=-√(3/4)=-√3/2。因此，sinα的值为±√3/2。

例题3：已知sinα=3/5，求cosα的值。

解答：由于sinα=3/5，我们可以得出α为锐角。根据三角函数的定义，我们有cosα=√(1-sin²α)=√(1-(3/5)²)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5。因此，cosα的值为4/5。

例题4：证明：tanα=sinα/cosα。

解答：根据三角函数的定义，我们有tanα=sinα/cosα。将sinα和cosα用点(x,y)表示，由于点(x,y)在单位圆上，我们有x=cosα，y=sinα。因此，tanα=y/x=sinα/cosα。证毕。

例题5：已知tanα=2，求sinα和cosα的值。

解答：由于tanα=2，我们可以得出sinα=2cosα。将sinα和c