2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知sin2α=cos(π2+α)，α∈(πA.−3 B.−1 C.−2.已知|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为π6A.1 B.7 C.13 3.已知α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是(

)A.若α∩β=l，A∈α且A∈β，则A∈l

B.若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉β

C.若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线

D.若A，B是两个不同的点，A∈α且B∈α，则直线AB⊂α4.如图，△A′B′C′是水平放置△ABC的直观图，其中B′C′=C′A′=1，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，则BC=(

)A.2

B.2

C.6

5.已知在正四面体A−BCD中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为(

)A.12 B.23 C.6.将函数f(x)=sin(4x−π3)的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线A.关于直线x=π8对称 B.关于直线x=π12对称

C.关于(−π47.已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1：4，当棱台的高为2，体积为732时，则此时正三棱台的侧面积为A.9514 B.93 8.已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为(

)A.3128πa3 B.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是(

)A.若m⊂α，α//β，则m//β

B.若m//α，n//α，则m//n

C.若m⊥α，α//β，n⊂β，则m⊥n

D.若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段BA.AC⊥BE

B.EF//平面ABCD

C.△AEF的面积与△BEF的面积相等

D.三棱锥E−ABF的体积为定值11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2AB，下列说法正确的是(

)A.圆台轴截ABCD面面积为33cm2

B.圆台的体积为73π3cm3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数z=3−i3+i的共轭复数z−13.已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，BC=62，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为______．14.在正三棱锥P−ABC中，点D在棱PA上，且满足PD=2DA，CD⊥PB，若AB=32，则三棱锥P−BCD外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知π3是函数f(x)=2asinxcosx+2cos2x+1的一个零点．

(Ⅰ)求实数a的值；

(Ⅱ)求f(x)单调递减区间．

(Ⅲ)若x∈[0,16.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acosC．

(1)求A；

(2)若cosB=33，求sin(2B−A)的值；

(3)若△ABC的面积为53317.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

(1)证明：PA//平面EDB；

(2)证明：PB⊥平面EFD．18.(本小题17分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D，E分别在AA1，CC1上，AD=C1E=λCC1(0<λ<1)，记正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V．

(1)求棱锥B−ACED的体积(结果用V表示)；

(2)19.(本小题17分)

十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔⋅德⋅费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且cosA2cosB=sin(C−π6)，点P为△ABC的费马点．

(1)求角B；

(2)若b2−(a−c)2=6，求PA参考答案1.A

2.C

3.C

4.C

5.C

6.B

7.A

8.B

9.ACD

10.ABD

11.ABD

12.1

13.18π

14.27π

15.解：(I)因为f(x)=2asinxcosx+2cos2x+1=asin2x+cos2x+2，

又f(π3)=asin2π3+cos2π3+2=0解得a=−3；

(Ⅱ)由(1)可得f(x)=−3sin2x+cos2x+2=−2sin(2x−π6)+2，

由2kπ−π216.解：(1)∵2b=c+2acosC.由正弦定理可得2sinB=sinC+2sinAcosC，

因2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，

所以sinC+2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC，可得sinC=2cosAsinC，

∵C为三角形内角，sinC≠0，解得cosA=12，A∈(0,π)，∴A=π3．

(2)由已知cosB=33，B∈(0,π)，所以sinB=1−cos2B=63，

∴sin2B=2sinBcosB=223，cos2B=2cos2B−1=−1317.解：(1)证明：连接AC，AC交BD于O.连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．

∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA//EO，

∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，

∴PA/​/平面EDB．

(2)证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC.∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．

又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC.∴DE⊥平面PBC．

∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．

18.解：(1)根据题意可得梯形ACED的面积等于矩形ACC1A1的面积的一半，

∴棱锥B−ACED的体积为VB−ACED=12VB−ACC1A1=12(VABC−A1B1C2−VB−A1B1C1)

=12(VABC−A1B1C1−13VABC−A1B1C1)=12(V−13V)=13V；

(2)①分别延长ED19.解(1)∵cosA2cosB=sin(C−π6)=32sinC−12cosC，

∴cosA=3cosBsinC−cosBcosC，

∴cos[π−(B+C)]=3cosBsinC−cosBcosC，

∴−(cosBcosC−sinBsinC)=3cosBsinC−cosBcosC，

又sinC>0，∴sinB=3cosB，

.∴tanB=3，B是三角形ABC内角，∴B=60°，

(2)∵B=60°，∴cosB=a2+c2−b22ac=12，

∴a2+c2−b2=ac，又b2−(a−c)2=b2−(a2+c2)+2ac=6，∴ac