初中数学《全等三角形》八大经典模型含答案解析

全等三角形的八大经典模型目录【【【【【【【【一线三等角模型1手拉手模型3半角模型6倍长中线模型9截长补短模型11角平分线模型15雨伞模型17平行线中点模型19【一线三等角模型例题1.(23-24八年级上·重庆荣昌·期中)如图△ABC中∠=90°AB=ACAE是过A点的一条直线BC在AE两BD⊥AE于DAE⊥CE于E=4cmCE=2cm，BD=cm．6AAS证明△ABD≌△CAEBD=AEAD=CE=2cm∵BD⊥AE于点DAE⊥CE于点E，∴∠=∠CEA=90°，∴∠+∠ABD=90°，∵∠=90°，∴∠+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAEAAS，∴BD=AEAD=CE=2cm，∴BD=AE=AD+=2+4=6(cm)，故答案为：6．11.(24-25八年级上·吉林长春·阶段练习)△ABC中，AB=AC=3∠B=∠C=42°D在线段BC上运动(点D不与点BC重合)AD∠=42°交线段AC于点E．(1)当∠=118°时，∠EDC=°∠AED=°；(2)若DC=3△ABD≌△DCE．(1)2062(2)见详解(1)利用平角和三角形的外角定理解题；(2)当DC=3∠+∠EDC=138°∠+∠EDC=138°∠=∠AB=DC=3△ABD≌△DCE．(1)解：∵∠=42°∠B=118°，∴∠EDC=180°-∠-∠=180°-118°-42°=20°，∴∠AED=∠EDC+∠C=42°+20°=62°，故答案为：2062；(2)证明：∵∠C=42°，∴∠+∠EDC=138°，又∵∠=42°，∴∠+∠EDC=138°，∴∠=∠，∠=∠在△ABD和△DCE中，∠B=∠C，AB=DC=3∴△ABD≌△DCEAAS．2.(24-25八年级上·山东济南·开学考试)△ABC中，∠ACB=90°,AC=BCMN经过点CAD⊥MN于点DBE⊥MN于点E．2(1)当直线MN绕点C旋转到图1△ADC≌△CEB=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时．求证：=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时．求证：=BE-AD．(1)(2)见解析(3)见解析定．(1)①利用三角形内角和定理和等量代换得到∠=∠CBE②利用全等三角形性质得到AD=CE=BE=AD+BE；(2)由(1)①同理可证△ADC≌△CEBAASAD=CE=BE代换即可证明=AD-BE：(3)解题方法与(2)类似．(1)证明①∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠+∠BCE=90°，∵AD⊥MN于DBE⊥MN于E，∴∠BEC=∠=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEBAAS；②∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE=BE，∴=CE+=AD+BE；(2)(1)①同理可证△ADC≌△CEBAAS，∴AD=CE=BE，∴=CE-=AD-BE；(3)解：=BE-AD，理由如下：由(1)①同理可证△ADC≌△CEBAAS，∴AD=CE=BE，∴=-CE=BE-AD．例题2.(24-25八年级上·广东深圳·开学考试)如图1O为线段AB上的任意一点(不于AB重合)以AOBO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△OA=OCOB=∠AOC与∠都是∠AOC=∠．3(1)试说明：CB=AD；(2)如图2AD与BC相交于点P∠=86°∠APB的度数．(1)见解析(2)133°(1)证△≌△COB即可求解；(2)由(1)可得∠AOC=∠∠AOC+∠+∠=180°可求得∠=∠AOC=∠=47°(1)证明：∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠=∠+∠即：∠=∠COB∵OA=OCOB=，∴△≌△COB∴CB=AD(2)解：∵△≌△COB，∴∠OAD=∠OCB∴∠AOC=∠∵∠AOC=∠BOD∠AOC+∠+∠=180°∠=86°∴∠=∠AOC=∠=47°∴∠APB=180°-∠=133°1.(23-24八年级上·安徽·单元测试)△ABC中，∠ACB=90°AC=BCAB至点D=AB接CD为直角边作等腰△中∠DCE=90°接BE．(1)若AD=3cmBE的长；(2)BE与AD有何位置关系？请说明理由．(1)BE=3cm(2)BE⊥AD4键．(1)证明△≌△BCEBE=AD=3cm即可；(2)(1)证明：∵△是等腰直角三角形，∠DCE=90°，∴=CE，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠=∠DCE+∠BCD，∴∠=∠BCE，AC=BC在△和△BCE中，∠=∠BCE，=CE∴△≌△BCE，∴BE=AD=3cm；(2)解：BE⊥AD如图，BE交于点O，由(1)得：△≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠EOC=∠DOB，∴180°-∠EOC-∠BEC=180°-∠DOB-∠ADC，∴∠=∠DCE=90°，∴BE⊥AD．2.(23-24八年级上·河南驻马店·期中)Rt△OAB和Rt△中，∠AOB=90°，∠=90°OA=OBOE=AEBFAE与BF证明你的结论．AE=BFAE⊥BF△AEO≌△BFO得到AE=BFAE交BF于D，交OB于C∠=∠ACO∠OAC=∠OBFAE⊥BF．∵∠AOB=∠=90°,∠AOE=90°-∠BOE∠=90°-∠BOE，∴∠AOE=∠∴在Rt△OAB与Rt△中，AO=OB,∠AOE=∠BOF,OE=,∴△AEO≌△BFO，5∴AE=BF；延长AE交BF于DOB于C∠=∠ACO，∵△AEO≌△BFO∴∠OAC=∠OBF，∴∠B=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．例题3.(23-24八年级上·山东临沂·期中(1)如图1是正方形，∠EAF=45°E在BC边上，F在BEDF与之(2)如图2是正方形，∠EAF=45°E在BC的延长线上，F在BE、DF与(1)=BE+DF(2)=BE-DF三角形．(1)结论：=BE+DF．将△ADF绕点AAD与AB△ABF∠EAF=∠EAF=45°△和△AEF=(2)结论：=BE-DF(1)．(1)结论：=BE+DF．1△ADF绕点AAD与AB△ABF，则：∠FAB=∠,∠ABF=∠D=90°AF=AFBF=DF，∴∠ABF+∠ABC=180°：F,B,E三点共线，∵∠EAF=45°，∴∠F+∠=90°-∠EAF=45°，6∴∠+∠=45°，∴∠EAF=∠EAF=45°，在△和△AEF中，AF=AF∠EAF=∠EAF，AE=AE∴△≌△EAF()，∴=，又=BE+BF，∴=BE+DF．(2)结论：=BE-DF．2△ADF绕点AAD与AB△ABF，则：BF=DF,AF=AF，同法(1)可得：△≌△AEF()，∴=，又=BE-BF=BE-DF，∴=BE-DF．1.(22-23八年级上·四川巴中·期末)(11EF分别在正方形的边BC上，∠EAF=45°接=BE+DF到GDG=BE，在△ABE与△ADG中AB=AD∠B=∠ADG=90°BE=DG∴△ABE≌△ADG理由：，进而证出：△AFE≌：()进而得=BE+DF7(22中，AB=AD∠=90°．点EF分别在边BC上，∠EAF=45°∠B+∠D=180°=BE+DF吗？请证明你的猜想．(1)△AFG(2)仍有=BE+DF(1)根据前面的推理提示可得答案；(2)延长FD至点GDG=BE∠B=∠ADG△ABE≌△ADG()AE=AG，∠=∠明∠=45°△AFE≌△AFG()=FG(1)△AFE≌△AFG(2)仍有=BE+DF延长FD至点GDG=BE，∵∠ADF+∠ADG=180°∠B+∠ADF=180°∴∠B=∠ADG在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG，BE=DG∴△ABE≌△ADG()∴AE=AG∠=∠∵∠=90°∠EAF=45°∴∠+∠F=45°∴∠G+∠F=45°即∠=45°在△AFE和△AFG中，AE=AG∠=∠AF=AF∴△AFE≌△AFG()∴=FG，∴=BE+DF．2.(22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习)ABCD(四条边都相90°)EF在CDBC∠EAF=45°至点GDG=BFAG．(1)求证：=+BF；(2)若AB=2△的周长=．(直接写出结果)8(1)见解析(2)4(1)先证明△ABF≅△ADG∠EAG=45°△≅△AEG质即可得到结论；(2)根据三角形的周长公式即可得到结论．(1)证明：∵四边形是正方形，∴AB=AD∠=∠ABF=∠ADC=∠ADG=90°．AB=AD在△ABF和△ADG中，∠ABF=∠ADG，BF=DG∴△ABF≅△ADG，∴∠=∠AF=AG，∵∠EAF=45°，∴∠+∠=∠+∠=45°，∴∠EAG=45°，AE=AE在△和△AEG中，∠EAF=∠EAG，AF=AG∴△≅△AEG()，∴=EG=ED+DG，∴=+BF；(2)(1)知，=+BF，∴△的周长=CF+CE+=CF+CE+BF+=BC+CD，∵BC==AB=2，∴△的周长=4，故答案为：4．△≅△AEG．例题4.(2024·山东临沂·一模)D是△ABC的边BC上的中线，AB=6AD=4AC的取值范围为()A.2<AC<14AB.2<AC<12C.1<AC<41<AC<8三角形．延长AD至E=AD接CE．由证明△ABD≌△ECDCE=AB=6边关系即可求解．AD至E=ADCE．9则AE=2AD=8，∵AD是边BC上的中线，∴=BD，AD=ED在△ABD和△中，∠=∠EDC，BD=∴△ABD≌△，∴CE=AB=6，在△ACE中，AE-EC<AC<AE+EC，即8-6<AC<8+6，∴2<AC<14，故选：A．1.(22-23八年级上·四川德阳·阶段练习)在△ABCAB=5AC=9AD是BC边上的中线，则AD取值范围是2<AD<7．AD至EAD=CE△ABD≌△ECDCE=AB△ACE中利用三角形的三边的关AD至EAD=接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，AD=ED在△ABD和△中，∠=∠EDC，BD=∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB，在△ACE中，AC-CE<AE<AC+CEAB=5AC=9，∴9-5<AE<9+5，∴4<2AD<142<AD<7，故答案为：2<AD<7．2.(23-24七年级下·辽宁丹东·期末1△ABC中，AD是BCAD至点E=AD接CE．由此可以得到△ABD≌10△ECD(”)；2△ABC外分别作AD⊥ABAE⊥ACAB=ADAC=AE接，EC的中点F接AF断AF与BC(1)(2)BC=2AF全等是解题的关键：[方法初探]延长AD至点E=ADCE证明△ABD≌△即可；[问题解决]延长AF至点GFG=AF接EG△AFD≌△GFE∠=∠GAD=GE△≌△GEABC=AG即可推出BC=2AF．[方法初探]延长AD至点E=AD接CE．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，BD=在△ABD和△中，∠=∠EDCAD=ED∴△ABD≌△，故答案为；[问题解决]BC=2AFAF至点GFG=AF接EG，同理可证△AFD≌△GFE，∴∠=∠GAD=GE，∴AB=GE，∵AD⊥ABAE⊥AC，∴∠=∠EAC=90°，∴∠+∠=360°-90°-90°=180°，∴∠+∠+∠EAG=180°∵∠AEG+∠G+∠EAG=180°∴∠AEG=∠，又∵AB=EG,AC=AE，∴△≌△GEA，∴BC=AG∴BC=2AF．例题5.(22-23八年级上·重庆綦江·期末)△ABC中，∠ABC=68°BD平分∠ABCP为线段11BD上一动点，Q为边ABAP+PQ的值最小时，∠APB的度数是()A.118°B.125°C.136°124°DBC上截取BE=BQ接PE明△PBQ≌△PBEPE=PQAP+PQ=AP+PEAPEAE⊥BC时，AP+PEAP+PQA作AE⊥BC于点EBD于点PBC上截取BE=BQ接PE∵BD平分∠ABC∠ABC=68°，12∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=34°，∵BP=BP，∴△PBQ≌△PBE，∴PE=PQ，∴AP+PQ=AP+PE，∴当APEAE⊥BC时，AP+PEAP+PQA作AE⊥BC于点EBD于点P∵∠AEB=90°∠CBD=34°，∴∠APB=∠AEB+∠CBD=124°．故选：D．AP+PQ最小时点P的位置．1.(23-24七年级上·山东烟台·期末题．12(1)△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C=90°,AD为∠AB上截取AE=AC接．请直接写出线段AB,AC,之间的数量关系；(2)△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C≠90°,AD为∠的角平分线．请判断线段AB,AC,之间的数量关系并说明理由；(3)△ABC中，∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°,AD为∠的补角的角平分线．请判断线段AB,AC,之间的数量关系并说明理由．(1)AB=AC+(2)AB=AC+CD(3)=AB+AC(1)在AB上截取AE=AC△EAD≌△CADED=CD∠AED=∠C=90°，则∠BED=90°∠ACB=2∠B=90°∠B=45°∠=∠B=45°ED=EB=CD证明AB=AC+；(2)在AB上截取AF=AC接FD△≌△CADFD=CD∠AFD=∠ACB∠AFD=∠B+∠∠ACB=2∠B∠B+∠=2∠B∠=∠BFD=FB=CDAB=AC+；(3)在的延长线上取一点GAG=AC接DG△GAD≌△CADGD=CD∠AGD=∠ACD180°-∠B-∠=180°-∠ACB∠ACB=2∠B∠=∠BGD=GB=AB+AG=AB+AC=AB+AC．(1)AB=AC+CD，AB上截取AE=AC接，∵AD为∠的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，AE=AC在△EAD和△CAD中，∠EAD=∠CAD，AD=AD∴△EAD≌△CAD()，∴ED=CD∠AED=∠C=90°，∴∠BED=90°，∵∠ACB=2∠B=90°，∴∠B=45°，∴∠=∠B=45°，∴ED=EB，∴EB=CD，13∴AB=AE+EB=AC+．(2)AB=AC+CD，AB上截取AF=ACFD，∵AD为平分∠，∴∠=∠CAD，AF=AC在△和△CAD中，∠=∠CAD，AD=AD∴△≌△CAD()，∴FD=CD∠AFD=∠ACB，∵∠AFD=∠B+∠∠ACB=2∠B，∴∠B+∠=2∠B，∴∠=∠B，∴FD=FB，∴FB=CD，∴AB=AF+FB=AC+．(3)=AB+AC，的延长线上取一点GAG=ACDG，∵AD是∠CAG的平分线，∴∠GAD=∠CAD，AG=AC在△GAD和△CAD中，∠GAD=∠CAD，AD=AD∴△GAD≌△CAD()，∴GD=CD∠AGD=∠ACD，∴∠AGD=180°-∠B-∠∠=180°-∠ACB，∴180°-∠B-∠=180°-∠ACB，∴∠B+∠=∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠B+∠=2∠B，∴∠=∠B，∴GD=GB=AB+AG=AB+AC，∴=AB+AC．180°的关键．2.(2021七年级下·全国·专题练习)△ABC中AB>ACAD是∠的平分线，M是ADMB-MC<AB-AC．14AB>ACAB上截取线段AE=ACBE=AB-ACEM△BMEMB-ME<BEME=MCAC至HAH上截取线段AB=AG△ABM≌△AGMBM=GM三边关系即可求解．AB上截取AE=ACME，在△MBE中，MB-ME<BE(三角形两边之差小于第三边),∵AD是∠的平分线，∴∠=∠CAD,在△AMC和△AME中，AC=AE∵∠CAM=∠EAMAM=AM∴△AMC≌△AME()，∴MC=ME(全等三角形的对应边相等)．又∵BE=AB-AE，∴BE=AB-AC，∴MB-MC<AB-AC．AC至HAH上截取线段AB=AG，同理可证得△ABM≌△AGM()，∴BM=GM，∵在△MCG中MG-MC<CG∴MB-MC<AG-AC=AB-AC即MB-MC<AB-AC．等三角形．15例题6.(23-24七年级下·全国·单元测试)如图所示，Rt△ABC中，BD是角平分线，⊥ABEAB=10AC=6BC=8△AED的周长为．8△≌△AAS=CDBE=BC=8AE=AB-BE=2∵Rt△ABC中，BD是角平分线，∴∠=∠，∵⊥AB∠C=90°，∴∠=∠C=90°，又∵BD=BD，∴△≌△AAS，∴=CDBE=BC=8，∴AE=AB-BE=2，∴△AED的周长为AE++AD=2+AD+=2+AC=8，故答案为：8．1.(23-24八年级上·福建福州·期中)△ABC中，AD为角平分线，∠B=2∠ADB,AB=3,=6段AC的长为()A.9B.11C.1215A-截长补短法构造全等三角在AC上截取AE=AB明△≌△EADCE==6即可求解．AC上截取AE=AB接∵AD为角平分线，16∴∠=∠EAD∵AD=AD∴△≌△EAD∴∠B=∠∠B=∠AE=AB=3即∠=2∠，∵∠B=2∠∴∠=∠∴∠=∠CED∴CE==6∴AC=CE+AE=9故选：A．2.(23-24七年级上·山东青岛·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°∠的角平分线AD交BC于点D，且=2点D到AB的距离是()A.2B.4C.68AD到AB的距离等于∵AD是∠的平分线，∠C=90°=2，∴点D到AB的距离是2，故选：A．例题7.(23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习)面的画法()(1)利用刻度尺在∠AOB=OC(2)连接CD的中点E(3)画射线OEOE为∠AOB的角平分线．A.利用了SSSAB.利用了C.利用了AAS利用了证△COE≌△DOE答案．17OC=CE=OE=OE，∴△COE≌△DOESSS，∴∠COE=∠DOE，即射线OE为∠AOB的角平分线，故选：A．3.(23-24七年级下·福建福州·期末)如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥ADF．若∠CAB=32°∠B=56°∠的度数为()A.36°B.42°C.45°50°A内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键.根据三角形的内角和求出∠ACB=92°,利用三角形全等求出DC=.∵∠CAB=32°,∠B=56°，∴∠ACB=180°-32°-56°=92°，∵CE⊥AD，∴∠AFC=∠AFE=90°，∵AD是△ABC的角平分线，12∴∠CAD=∠EAD=×32°=16°，又∵AF=AF，∴△ACF≌△，∴AC=AE，∵AD=AD,∠CAD=∠EAD，∴△≌△AED，∴DC=，∴∠DCE=∠，∵∠ACE=90°-16°=74°，∴∠DCE=∠=∠ACB-∠ACE=92°-74°=18°，∴∠=∠DCE+∠=18°+18°=36°，故选：A.4.(23-24八年级下·山西运城·期中)如图，△ABC中，AD为∠BD垂直AD于D，△的面积为8△ABC的面积为．1816BD交AC于E证明△≌△BD=S=SS=SBDCBD交AC于E，∵AD为∠的角平分线，AD⊥BD，∴∠=∠EAD∠=∠=90°，又∵AD=AD，∴△≌△()，∴BD=，∴S=SS=S，∵S=S+S+S+S，12∴S+S=S，即S=2S=16，故答案为：16例题8.(23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习)如图，AB∥CFE为DFAB=10cmCF=8cm，则BD的长为()A.2cmB.2.5cmC.3cm4cmAAB∥CF∠A=∠ECF,∠=∠F=FE可证得△≌△CFEAD=CF∵AB∥CF，∴∠A=∠ECF,∠=∠F，∵E为DF的中点，∴=FE，∴△≌△CFEAAS，19∴AD=CF=8cm，∵AB=10cm，∴BD=AB-AD=2cm．故选：A．1.(23-24九年级上·黑龙江绥化·期末)如图，E为△ABC边AC的中点，CN∥ABE点作直线MN交AB与点MCN于点NMB=6cmCN=4cmAB=cm．10是解题关键．先根据平行线的性质可得∠A=∠ECN,∠AME=∠N△AEM≌△CEN，根据全等三角形的性质可得AM=CN=4cm∵CN∥AB，∴∠A=∠ECN,∠AME=∠N，∵E为AC的中点，∴EM=EN，∠A=∠ECN在△AEM和△CEN中，∠AME=∠N，EM=EN∴△AEM≌△CENAAS，∴AM=CN=4cm，∵MB=6cm，∴AB=AM+MB=10cm，故答案为：10．2.(23-24七年级下·广东河源·期末)△ABC中，D为AB上一点，E为AC并延长至点F得CF∥AB．(1)求证：△AED≌△；20(2)连接BEBE平分∠ABC,CA平分∠BCF∠ABE=25°∠A的度数．(1)见解析(2)∠A=65°形全等．(1)先证明∠A=∠ACF△AED≌△(2)∠BCF(1)证明：∵E为AC中点，∴AE=CE，∵CF∥AB．∴∠A=∠ACF，在△AED和△中，∠A=∠ACF∵AE=CE∠AED=∠∴△AED≌△；(2)解：∵BE平分∠ABC,∠ABE=25°∴∠ABC=2∠ABE=50°，∵CF∥AB．∴∠ABC+∠BCF=180°,∠A=∠ACF∴∠BCF=180°-∠ABC=130°∵CA平分∠BCF，12∴∠ACF=∠BCF=65°，∴∠A=65°．1.(24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试)如图，OP平分∠AOBPC⊥OAPD⊥OBCD()A.PC=PDDB.=OCC.∠DPO=∠CPOPC=OCAAS证明△≌△POC21据全等三角形的性质即可得到答案．∵OP平分∠AOB，∴∠=∠POC，∵PC⊥OAPD⊥OB，∴∠PDO=∠PCO=90°，又∵OP=OP，∴△≌△POCAAS，∴PC=PD=OC∠DPO=∠CPO，根据现有条件无法证明PC=OC，∴D选项符合题意，故选：D．2.(23-24八年级上·福建厦门·期中)AB=ACD，E分别是ABAC的中点，DMEMDM=EMM在向上滑△ADM≌△AEM()A.B.C.HLSSSD△ADM≌△AEM．∵AB=ACDE分别是ABAC的中点，∴AD=AE，在△ADM和△AEM中，AD=AEAM=AM．DM=EM∴△ADM≌△AEMSSS，故选：D．3.(23-24八年级上·广东东莞·阶段练习)AB=ACAF=AE∠EAF=∠CD、EF()22①△AFB≌△AECBF=CE∠BFC=∠EAFAB=BCA.①②③AB.①②④C.①②①②③④根据∠EAF=∠得∠=∠EAC则有△AFB≌△AEC和BF=CE∠BFC=∠EAFAB=BC无法求得正确与否．∵∠EAF=∠，∴∠=∠EAC，∵AB=ACAF=AE，∴△AFB≌△AEC则BF=CE∠ABF=∠ACE，∵∠BDF=∠ADC，∴∠BFC=∠CAD，∵∠=∠EAF，∴∠BFC=∠EAF因为AB=BC故选：A．4.(23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中)D是等腰Rt△ABC的边BCB作BE⊥AD于点E接CEAE=4S△AEC的值是()A.4B.5C.816C△ABE≌△CAH是解题关键．过C作CH⊥AD于H△ABC∠=90°AB=AC∠CAH=∠ABE△ABE≌△CAHCH=AE=4可求出面积．C作CH⊥AD于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠=90°AB=AC，∵BE⊥AD，∴∠CAH+∠=∠ABE+∠=90°，∴∠CAH=∠ABE，∵∠AHC=∠AEB=90°AB=AC，23∴△ABE≌△CAHAAS，∴CH=AE=4，1212∴S=AE⋅CH=×4×4=8．故选：C．5.(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)内，=DC∠DCA=60°，∠C=78°∠CAB=24°∠ACB=()A.15°B.18°C.20°12°BCA到点EAE=AB接△≌△==DC△为等边∠∠DCB∠ACBCA到点EAE=AB，∵∠C=78°∠C+∠=180°，∴∠E=102°，∵∠B=∠C+∠CAB=78°+24°=102°，∴∠E=∠，∵=，∴△≌△，∴==DC，∵∠DCA=60°，∴△是等边三角形，∴∠EDC=60°∠ADC=180°-78°-60°=42°，∴∠=60°-42°=18°，∴∠=∠E=18°，∴∠BDC=60°-2×18°=24°，12∴∠DCB=×180°-∠BDC=78°，∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=18°，故选：B．6.(2024·黑龙江鸡西·二模)AB=∠A=∠D(一个即可)：24△ABC≌△．∠ACB=∠DCE(合理即可)AB=∠A=∠D等或AC=DC即可证明全等．∠ACB=∠DCE；证明：∵AB=∠A=∠D∠ACB=∠DCE∴△ABC≌△AAS，故答案为：∠ACB=∠DCE(合理即可)．7.(23-24八年级上·全国·单元测试)∠A=∠D∥BC使得△ABC≌△．AB=(答案不唯一)AB=∠ACB=∠DFE，再利用AAS即可证明△ABC≌△．AB=∵∥BC，∴∠ACB=∠DFE，又∵∠A=∠DAB=，∴△ABC≌△AAS，故答案为：AB=(答案不唯一)．8.(24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习)△ABC中，AD为∠的平分线，BE⊥AD于E，连接CE△ABC的面积为6cm2△AEC的面积cm23BE交AC于点G△AEB≌△AEGEB=EGS=S,S=SCGE△AEC的面积．25BE交AC于点G，∵AD为∠的平分线，BE⊥AD于E，∴∠=∠GAE,∠AEB=∠AEG=90°，∵AE=AE，∴△AEB≌△AEG，∴EB=EG，∴S=S,S=S，12∴S=S+S=S∵△ABC的面积为6cm2，∴△AEC的面积为3cm2故答案为：3．9.(23-24七年级下·全国·单元测试)如图，AC平分∠DCBCB=的延长线交BC于点E果∠EAC=48°∠为°84△ABC≌△ADC∠B=∠D到∠CAE=∠D+∠=48°∠B+∠BCA=48°和定理即可求出答案.∵AC平分∠DCB∴∠BCA=∠DCA在△ABC和△ADC中，BC=DC∠BCA=∠DCACA=CA∴△ABC≌△ADC∴∠B=∠D∴∠B+∠BCA=∠D+∠∵∠CAE=∠D+∠=48°∴∠B+∠BCA=48°∴∠=180°-∠B-∠BCA-∠EAC=180°-∠B+∠BCA-∠EAC=180°-48°-48°=84°故答案为：8410.(23-24七年级下·全国·单元测试)如图，∠ABC=∠CAD=90°AB=4AC=AD△的面积．268⊥BA△ABC≌△AASAB==4D作⊥BA延长线于点E，∵∠ABC=∠CAD=90°，∴∠ABC=∠=90°∠1+∠2=90°∠C+∠2=90°，∴∠C=∠1，又∵AC=AD，∴△ABC≌△AAS，∴AB==4，1212∴S=AB⋅=×4×4=8故答案为：8．11.(23-24八年级上·吉林·阶段练习)△ABC和△AB=AD∠=∠CAE∠B=∠DAD与BC交于点PC在上．求证：BC=．∠=∠CAE可得∠=∠△ABC≌△∵∠=∠CAE，∴∠+∠=∠CAE+∠，即∠=∠，∠B=∠D在△ABC和△中，AB=AD，∠=∠∴△ABC≌△()，∴BC=．12.(24-25八年级上·全国·单元测试)ABC和等腰直角三角形中，AB⊥27ACAD⊥AEAB=ACAD=AE分别交AEBE于点MF．求证：(1)DC=EB；(2)⊥BE．(1)见解析(2)见解析形全等的判定方法．(1)证明△ADC≌△AEBDC=EB即可；(2)根据全等三角形的性质得出∠ADC=∠AEB据∠AMD=∠EMF∠=∠=90°(1)证明：∵AB⊥ACAD⊥AE，∴∠=∠=90°，∴∠+∠CAE=∠+∠CAE，即∠EAB=∠，AD=AE在△ADC和△AEB中，∠=∠EAB，AC=AB∴△ADC≌△AEB，∴DC=EB；(2)证明：∵△ABE≌△ACD，∴∠ADC=∠AEB，∵∠M+∠ADM+∠AMD=∠EMF+∠MFE+∠=180°，又∵∠AMD=∠EMF，∴∠=∠M=90°，∴⊥BE．13.(23-24七年级下·全国·单元测试)如图，△ABCD在边BC延长线上，∠ACB=108°∠ABC的平分线交AD于点E点E作EH⊥BDH∠CEH=54°．(1)求∠ACE的度数；28(2)请判断AE是否平分∠CAF(3)若AC+=10AB=6S△ACD=15△ABE的面积．(1)36°(2)AE平分∠CAF(3)9与性质是解题的关键．(1)由平角的定义可求解∠∠ECH=36°(2)过E点分别作EM⊥BF于MEN⊥AC与NEM=EN论；(3)利用三角形的面积公式可求得EM(1)∵∠ACB=108°，∴∠=180°-108°=72°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=54°，∴∠ECH=90°-54°=36°，∴∠ACE=72°-36°=36°；(2)AE平分∠CAF过E点分别作EM⊥BF于MEN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE=∠ECH=36°，∴CE平分∠ACD，∴EN=EH，∴EM=EN，∴AE平分∠CAF；(3)∵AC+=10S=15EM=EN=EH，121212∴S=S+S=AC⋅EN+⋅EH=(AC+)⋅EM=15，1即×10⋅EM=15，2解得EM=3，∵AB=6，1212∴S=AB⋅EM=×6×3=9．14.(23-24七年级下·辽宁沈阳·期中)某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图(如图1)中提炼出两个三角形全等模型图(如图23)K29(1)如图2，△ABC中，CA=CB∠ACB=90°CAB别为EF．求证：=AE+BF；(2)如图3(1)AEBF之间的数量关系；(3)在(2)BF=4AE=5△BFC的面积为(4)如图4中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°△面积为18且的长为9△的面积为．．50(1)证