北师大版七年级数学上册讲义-生活中的立体图形（解析版）

第01讲生活中的立体图形

学习目标

1.认识柱体、椎体、球体，并能够熟练的进行立体图形的分类；

2.掌握柱体、椎体、球体的特征；

3.掌握柱体特征及其面的个数、棱的条数、顶点个数之间的关系;

4.掌握立体图形的表面积、体积公式；

5.掌握棱柱的顶点数、棱数、面数的计算方法；

6.掌握立体图形的表面积和体积的计算方法.

思维导图

认识立体图形

棱柱与棱锥的顶点、面、棱数

生活中的立体图形立体图形的分类

几何体的表面积与体积

-T点、线、面、体

单

知识点01认识立体图形

（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形.几何图形分为立体图形和平面图形.

（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内,

这就是立体图形.

知识点02立体图形的分类

（1）按形状分类：球，柱体（圆柱、棱柱），椎体（圆锥、棱锥），台体（圆台、棱台）.

（2）按构成分类：旋转体（由平面围成的立体图形），旋转体（绕某一轴旋转一周）.

知识点03点、线、面、体

（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点.

（2）从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体.点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、

体的运动组成了多姿多彩的图形世界.

（3）从几何的观点来看：点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合.

（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体.

（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成.

知识点04棱柱与棱锥的顶点、面、棱数

立体图形各项个数

n棱柱顶点个数_2〃_,棱个数_3〃一，面个数_〃+2一，侧棱个数侧面个数/一

n棱锥顶点个数_/1_,棱个数_2心，面个数一〃+1_,侧棱个数侧面个数」

知识点05几何体的表面积与体积

（1）几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）

（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式:

立体图形表面积公式

圆柱体_2成2+2成/?_（R为圆柱体上下底圆半径，〃为圆柱体高）

万产+九万（层+产）/360（丁为圆锥体低圆半径，/z为其高，〃为圆锥侧面展开图中

圆锥体

扇形的圆心角）

长方体_2（ab+ah+bh）_（“为长方体的长，b为长方体的宽，人为长方体的高）

正方体_6a2—（。为正方体棱长）

（3）常见的几种几何体的体积的计算公式:

立体图形体积公式

圆柱体—成2仙（R为圆柱体上下底圆半径，/?为圆柱体高）

圆锥体_1/3%催生（H为圆柱体上下底圆半径，/z为圆锥体高）

长方体_abh_（〃为长方体的长，。为长方体的宽，。为长方体的高）

正方体―a3_（〃为正方体棱长）

题型精讲

题型01几何体的识别

【典例1】下列标注的图形与名称不相符的是（）

D.圆柱

【分析】根据每一个几何体的特征逐一判断即可.

【详解】解：A.是圆锥，故A不符合题意；

B.是四棱柱，故B不符合题意；

C.是三棱柱，不是三棱锥，故C符合题意；

D.是圆柱，故。不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键.

【变式1］下面的立体图形按从左到右的顺序依次是（）

A.长方体、圆柱、圆锥、正方体B.长方体、圆柱、球、正方体

C.棱柱、棱柱、球、正方体D.长方体、棱柱、圆锥、棱柱

【答案】B

【分析】观察立体图形，进行作答即可.

【详解】解：下面的立体图形按从左到右的顺序依次是：长方体、圆柱、球、正方体;

故选&

【点睛】本题考查常见的立体图形.熟练掌握常见的立体图形，是解题的关键.

题型02立体图形的分类

【答案】①②⑥⑤

【分析】根据立体图形的特征即可得到答案.

【详解】解：柱体的有①②⑥；球体有⑤.

故答案为：①②⑥，⑤

【点睛】本题考查了认识立体图形，熟知立体图形的特征并知道他们的名称是解题关键.

【变式1】如图所示，请将下列几何体分类.

【答案】答案不唯一，见解析

【分析】对于立体图形的分类，可按照不同标准进行，①按照立体图形的种类分类；②根据立体图形包含

的平面类型分类.

【详解】解：方法一：（1）、（3）、（5）是一类,都是柱体；（2）是锥体；（4）是球体.

方法二：（1）、（3）是一类，全是由平面构成的；（2）、（5）是一类，既有平面，又有曲面；（4）是一类，

只有曲面.

【点睛】本题考查立体图形的认识，掌握分类时的标准选择是解题关键.

题型03几何体中点、棱、面

【典例1］几何知识.

（1）长方体有个面，条棱，个顶点.

（2）圆柱体由个面围成，圆锥由个面围成，它们的底面都是.

（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、

1。个顶点、15条棱，.…，由此类推w棱柱有个面，个顶点，条棱.

【答案】612832圆形n+22n3n

【分析】（1）根据长方体的特征即可得到答案；

（2）根据圆柱和圆锥的特征即可得到答案；

（3）根据棱柱的特征进行分析，即可得到答案.

【详解】解：（1）长方体有6个面，12条棱，8个顶点，

故答案为：6,12,8；

（2）圆柱体由3个面围成，圆锥由2个面围成，它们的底面都是圆形，

故答案为：3,2,圆形；

（3）己知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、

10个顶点、15条棱，......，由此类推w棱柱有〃+2个面，2〃个顶点，3〃条棱，

故答案为：n+2,2n,3”.

【点睛】本题考查了常见几何体的基础知识，解题关键是具备空间想象能力.

【变式1】如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱.

⑴填写下表:

立体图形顶点数面数棱数

三棱柱

五棱柱

六棱柱

（2）设〃棱枉（”为正整数，且力23）的顶点数为。、棱数为b、面数为c,根据表中数据猜想a+c-6=.

【答案】⑴6,5,9；10,7,15；12,8,18

©）2

【分析】（1）根据所给的图形，数一数直接得出结果；

（2）把（1）中的结果代入“+c-8,即可发现规律.

【详解】（1）根据图形，可以得出三棱柱有6个顶点，5个面，9条棱；五棱柱有10个顶点，7个面，15条

棱；六棱柱有12个顶点，8个面，18条棱；

故答案为：6,5,9；10,7,15；12,8,18.

（2）三棱柱：a=6,b=9,c=5,

a+c—b=6+5—9=2；

「五棱柱：a=10,b=l5,c=1,

--a+c—h—10+7—15=2；

，六棱柱：a=12,b=18,c=8,

a+c—Z>=12+8—18=2；

猜想：a+c-b=2.

【点睛】本题主要考查了几何体的结构特征，根据所给的材料，仔细观察图形，找出一般规律是解本题的

关键.

题型04点、线、面、体四者之间的关系

【典例I】当你用笔在纸上写字时，你的笔尖实现了（）

A.点动成线B.线动成面C.面动成体D.以上都不对

【答案】A

【分析】笔尖点在纸上是一个点，写字滑动笔尖就是一条直线，即点动成线.

【详解】解：当你用笔在纸上写字时，你的笔尖实现了点动成线，

故选：A.

【点睛】本题考查了点动成线，理解点动成线是解题关键.

【变式1】如图，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是,这其中

蕴含的数学事实是.

【答案】圆锥面动成体

【分析】根据直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆锥，以及面、体之间

的关系进行作答即可.

【详解】解：由题意知，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆锥，这其

中蕴含的数学事实是面动成体，

故答案为：圆锥，面动成体.

【点睛】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，面、体之间的关系.解题的关键在于对知识的熟练

掌握.

题型05平面图形旋转后所得的立体图形

【典例1】图中的圆柱体是由下面哪个图形旋转而成的（）

【答案】B

【分析】根据圆柱可以看成绕矩形的一边旋转得到，由此判断即可.

【详解】解：圆柱可以看成绕矩形的一边旋转得到，观察图象可知，圆柱的高大于底面圆的直径,

故选项2符合题意，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体.

【变式1】下列各选项中的图形，绕虚线旋转一周，所得的几何体是圆锥的是（）

【答案】B

【分析】根据面动成体的知识逐项判断即可得.

【详解】A、本选项中的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体是球，不符合题意；

8、本选项中的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体是圆锥，符合题意；

C、本选项中的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体是圆柱，不符合题意；

。、本选项中的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体是圆台，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了面动成体以及基本几何体的认识，正确掌握常见几何体的特点是解题的关键.

强化训练

一、选择题

1.下列图形是平面图形的是（）

A.正方体B.圆C.球D.圆锥

【答案】B

【分析】根据题意可知，正方体、球、圆锥体都是立体图形，圆是平面图形，据此即可求解.

【详解】解：圆是平面图形，正方体、球、圆锥体都是立体图形，故2正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平面图形与立体图形的认识，正确的区分是解题的关键.

2.下列几何体中，不属于棱柱的是（）

【答案】B

【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些

面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案.

【详解】解：A.该几何体是四棱柱，故不符合题意；

B.该几何体是四棱锥，故符合题意；

C.该几何体是三棱柱，故不符合题意；

D该几何体是六棱柱，故不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和

棱柱，椎体又分为圆锥和棱锥.

3.中华武术是中国传统文化之一，是中华民族在日常生活中结合社会哲学、中医学、伦理学、兵学、美学、

气功等多种传统文化思想和文化观念，注重内外兼修，诸如整体观、阴阳变化观、形神论、气论、动静说、

刚柔说等,逐步形成了独具民族风貌的武术文化体系."枪挑一条线，棍扫一大片"，从数学的角度解释为（）

A.点动成线，线动成面B.线动成面，面动成体

C.点动成线，面动成体。.点动成面，面动成线

【答案】A

【分析】枪挑是用枪尖挑，枪尖可看作点，棍可看作线，转化成数学思想即可.

【详解】所以由题意可得：从数学的角度可解释为点动成线，线动成面.

故选：A.

【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识点，熟练掌握点、线、面之间的关系是解题的关键.

4.如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（）

【答案】D

【分析】根据几何体的特征判断即可.

【详解】解：观察如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体可能是：空心的圆柱体,

故选：D.

【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键.

二、填空题

5.五棱柱的面的个数为.

【答案】7

【分析】五棱柱共有2个底面，5个侧面，据此可以解答.

【详解】解：五棱柱共有2个底面，5个侧面，共7个面，

故答案为7.

【点睛】本题考查了认识立体图形的知识，解题的关键是了解"棱柱有两个底面加上“个侧面，共有(〃+2)

个面.

6.在正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、六棱锥中属于柱体有一个.

【答案】4

【分析】根据柱体、锥体、球体的概念进行判断即可.

【详解】解：属于柱体的有：正方体、长方体、圆柱，六棱柱，共4个，圆锥、六棱锥属于锥体，球属于

球体，

故答案为：4.

【点睛】本题考查认识立体图形，掌握锥体、柱体、球体的特征是正确判断的关键.

7.笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字，这说明了；直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成

了一圆锥体，这说明了，"齐天大圣"孙悟空有一个宝贝-金箍棒，当他快速旋转金箍棒时，展现在我

们眼前的是一个圆的形象，这说明.

【答案】点动成线面动成体线动成面

【分析】根据“点动成线，线动成面，面动成体”进行分析即可.

【详解】解："笔尖”可近似看作"点"笔尖在纸上快速滑动，说明点动成线，直角三角形可以看作是"面"，旋

转一周形成了一圆锥体，说明"面动成体"，"金箍棒”可近似看作“线段"，快速旋转金箍棒，展现在我们眼前

的是一个圆的形象，实际上就是“线动成面”，

故答案为：点动成线，面动成体，线动成面.

【点睛】本题考查了点、线、面、体，理解"点动成线，线动成面，面动成体”是解题关键.

8.如图是一个底面各边都相等的六棱柱，它的底面边长为2cm,高为5cm.这个棱柱共有条棱,

个面，侧面积是cm2.

【答案】18860

【分析】根据图形，分侧面上的棱与底面上的棱计算即可得棱的数目，棱柱的面分侧面与底面两种，根据

侧面是长方形，然后根据长方形的面积公式计算即可求得侧面积.

【详解】解：这个棱柱共有棱：6+6x2=18条；

有6个侧面，2个底面，共有6+2=8个面，

它的侧面积为：2x6x5=60cm2.

故答案为：18,8,60.

【点睛】本题考查了认识立体图形，几何体的侧面积，掌握基本立体图形的性质是解题的关键.

三、解答题

9.将如图几何体分类，并说明理由.

【答案】柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；锥体：④圆锥；球体：⑤球；

见解析

【分析】根据立体图形的分类：柱体，锥体，球体，可得答案.

【详解】解：根据几何体的概念可得，柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱;

锥体：④圆锥；

球体：⑤球.

【点睛】本题考查了认识立体图形，立体图形分为三大类：柱体，锥体，球体.

10.下列是我们常见的几何体，按要求将其分类(只填写编号).

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

⑴如果按"柱""锥球"来分，柱体有,椎体有,球有；

(2)如果按"有无曲面"来分，有曲面的有,无曲面的有.

【答案】⑴①②⑥；③④；⑤

⑵②③⑤；①④⑥

【分析】(1)根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑.

(2)根据面的形状特征考虑.

【详解】(1)解：国(1)是四棱柱，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)是棱锥，(5)是球，(6)是三棱柱,

团柱体有(1),(2),(6),锥体有(3),(4),球有(5),

故答案为:⑴,(2),(6)；(3),(4)；(5)；

(2)0(2)(3)(5)有曲面，其它几何体无曲面，

团按"有无曲面"来分，有曲面的有(2),(3),(5),无曲面的有：(1),(4),(6),

故答案为：(2),(3),(5)；(1),(4),(6).

【点睛】本题考查了认识立体图形，解决本题的关键是认识柱体的形状特征.

11.如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.

⑴根据要求填写表格:

面数(/)顶点数(V)棱数(e)

图1

———

图2

———

图3———

⑵猜想了、v、e三个数量间有何关系；

⑶根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.

【答案】⑴7,9,14.6,8,12,7,10,15；

⑵/+"e=2；

(3)它的面数是2012

【分析】(1)根据图形数出即可；

(2)根据(1)中结果得出了+v-e=2；

(3)代入/+v-e=2求出即可；

【详解】(1)图1,面数/=7,顶点数v=9,棱数e=14,

图2,面数f=6,顶点数丫=8,棱数e=12,

图3,面数了=7,顶点数-10,棱数e=15,

故答案为:7,9,14.6,8,12,7,10,15.

(2)由表格数据可得：f+v-e=2.

(3)0v=2O13,e=4023,f+v-e=2

a7+2013-4023=2,

/=2012,

即它的面数是2012.

【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据(1)中的结果得出规律

12.综合与实践

新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形.下面是

常见的一些多面体：

IZ

六面体八面体十二面体

操作探究:

⑴通过数上面图形中每个多面体的顶点数（V）、面数（尸）和棱数（E）,填写下表中空缺的部分:

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体4

六面体86

八面体812

十二面体2030

通过填表发现：顶点数（V）、面数（/）和棱数（E）之间的数量关系是，这就是伟大的数学家欧拉

1707-1783）证明的这一个关系式.我们把它称为欧拉公式;

探究应用：

⑵己知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是棱柱；

（3）已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数.

【答案】（1）表见解析，V+F-E=2

⑵五

（3）6

【分析】（1）通过观察，发现棱数=顶点数+面数-2；

（2）根据棱柱的定义进行解答即可；

（3）由（1）得出的规律进行解答即可.

【详解】⑴解:填表如下:

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体446

六面体8612

八面体6812

十二面体201230

顶点数（V）、面数（/）和棱数（E）之间的数量关系是V+产-石=2,

故答案为：V+F-E=2-

（2）解：.•一个棱柱只有七个面，必有2个底面，

，有7-2=5个侧面,

二这个棱柱是五棱柱，

故答案为：五；

（3）解：由题意得：棱的总条数为^=12（条），

由丫+/一石=2可得8+尸—12=2,

解得：F=6,

故该多面体的面数为6.

【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题

的关键.

13.观察下列多面体，并把下表补充完整.

名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱

图形口回08

顶点数a6

棱数69

面数c5

（1）根据表中的规律判断，十二棱柱有个面，共有个顶点，共有条棱；

（2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为棱柱；

（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为"，则它有个侧面，共