浙江省某中学高三年级下册考前模拟数学试题

浙江省桐庐中学高三下学期考前模拟考试卷新高考数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3

1.在等差数列{4}中，/=-5,%+。6+%=9,若2=—（〃eN*），则数列也}的最大值是（）

an

A.—3B.—

3

C.1D.3

2.设集合U=R（R为实数集），A={x|x〉O},B={x|x>l},则AJB=（）

A.{x10<x<1}B.{x10<x<1}C.{x|x»l}D.|X>

3.已知向量a=（退,1）,则a与匕的夹角：()

A.0B.工C.女-5%

D.——

6336

4.若X€[O,1]时，ex-\2x-a\>Q,则。的取值范围为（)

A.[-1,1]B.[2—e,e-2]C.[2—e,1]D.[21n2-2,l]

5.已知下列命题：

22

①“Vxe/?,x+5%>6”的否定是“3xG7?,x+5x<6”；

②已知，q为两个命题，若“pvq”为假命题，则”（ip）△（[％）”为真命题；

③“a>2019”是“a>2020”的充分不必要条件；

④“若孙=0,则％=0且y=0”的逆否命题为真命题.

其中真命题的序号为（）

A.③④B.①②C.①③D.②④

6.如图，在底面边长为1,高为2的正四棱柱AB。-A4G。中，点P是平面A4G2内一点，则三棱锥P—BCD

的正视图与侧视图的面积之和为（）

C.4D.5

7.设命题〃：-4<时+网,则一P为

A.\/a,b^R,|a-/?|>|^|+|Z?|B.卜一，〈同+网

C.3a,b^R,|(2-Z?|>|a|+|/?|D.3a,b^R,|^-Z?|>|^|+|Z?|

8.设a=log73,b=1°gi7,c=30-7,则a,b,c的大小关系是（）

3

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

9.已知4涉为非零向量，“。2/?=/72优,为“同匕=卜,，，的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

10.在复平面内，二复数（i为虚数单位）的共朝复数对应的点位于（）

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1o

11.已知正项等比数列｛4｝满足%=2a6+3%，若存在两项am,an,使得am-an=9如，则一+一的最小值为（）.

mn

28

A.16B.一C.5D.4

3

12.若i为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数」的点是（）

z

LTT一l-1

—

卜+Il

T--7

n

卜

卡4££4

-

l—

—t-11

丁

—

1—1

44

卜L64

*-

L

In

U.l±-

A.EB.C.GD.H

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

v2V2

13.双曲线=］的焦距为__________,渐近线方程为________.

54

14.已知实数儿c满足+//+2^2=1,则的最小值是.

15.某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩自服从正态分布N（100,o-2）,已知

P（80<^<100）=0.40,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为

16.在1«+工］的展开式中，各项系数之和为64,则展开式中的常数项为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列｛4“｝,其前〃项和为S“，满足％=2,5“=力14+〃4_1，其中几.2,neN*>%，〃6凡

⑴若4=0,〃=4,2=a〃+j—2a”（〃eN*），求证：数列也,｝是等比数列；

⑵若数列｛4｝是等比数列，求X,〃的值；

⑶若4=3,且2+〃=：,求证：数列｛%』是等差数列.

22

18.（12分）已知椭圆石:3+3=1（。〉5〉0）的右焦点为B，过工作％轴的垂线交椭圆E于点A（点A在x轴上

方），斜率为左（左<0）的直线交椭圆E于A,3两点，过点4作直线AC交椭圆E于点C,且直线AC交

V轴于点。.

「廿1、

（1）设椭圆E的离心率为e,当点3为椭圆E的右顶点时，。的坐标为0,一--a,求e的值.

I〃3J

（2）若椭圆E的方程为:+9=1,且左<—孝，是否存在上使得01ABi=|AC|成立？如果存在，求出左的值；

如果不存在，请说明理由.

19.（12分）如图，在三棱柱ADF-3CE中，平面A3CD，平面ABE尸，侧面ABCD为平行四边形，侧面至历为

正方形，AC±AB,AC=2AB=4,〃为ND的中点.

(1)求证：EB//平面AQW；

(2)求二面角"—AC—尸的大小.

20.(12分)在四边形ABCP中，AB=BC=0NP=JK4=PC=2；如图，将上4C沿AC边折起，连结P3,

3

使PB=PA,求证：

(1)平面ABCJ_平面PAC；

(2)若F为棱AB上一点,且AP与平面PCF所成角的正弦值为且，求二面角尸-PC-A的大小.

4

21.(12分)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测

一项质量指标值，该项质量指标值落在区间［20,40)内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样

本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.

图：设备改造前样本的频率分布直方图

表：设备改造后样本的频率分布表

质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

(1)求图中实数〃的值;

(2)企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间［25,30)内的定为一等品，每件售价

240元；质量指标值落在区间［20,25)或［30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件

售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到

一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望.

22.（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单

位.已知曲线。的极坐标方程为〃=2cos，，直线/的参数方程为一一.（，为参数，”为直线的倾斜角）.

y=tsma

⑴写出直线I的普通方程和曲线c的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线C有唯一的公共点，求角a的大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

333

在等差数列｛4｝中，利用已知可求得通项公式=2〃-9,进而么=—=五万，借助外力=云二］函数的的单调性

可知，当〃=5时，或取最大即可求得结果.

【详解】

3

因为%+4+%=9,所以34=9,即4=3,又％=—5,所以公差d=2,所以％=2〃—9,即2=-----,因

2n-9

为函数/（%）=-----，在光＜4.5时，单调递减，且/（x）＜0；在尤＞4.5时，单调递减，且/（可＞0.所以数列也｝

2x—9

的最大值是且4=：=3,所以数列也J的最大值是3.

故选:D.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题，难度较易.

2、A

【解析】

根据集合交集与补集运算，即可求得Ac.

【详解】

集合t7=R,A={x|x>O},B={x|x>l}

所以。05={乂％<1}

所以ACCU5={X|X>0}C{RX<1}=1x|0<x<1}

故选:A

【点睛】

本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.

3、B

【解析】

由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.

【详解】

解：由题意得，设。与人的夹角为。，

由于向量夹角范围为：0W6W%,

：.6=-.

3

故选：B.

【点睛】

本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.

4、D

【解析】

由题得2%-/WaW2x+"对V%w[0』恒成立，令/(x)=2x-e",g(x)=2x+e',然后分别求出

“"mJg("11m即可得。的取值范围•

【详解】

由题得2%—e工<a<2x+e'X^Vxe[0,日恒成立，

令/(x)=2x—e*,g(x)=2x+e”，

/'(司=2-产在[0』单调递减，且_f(ln2)=0,

・••/(九)在(O,ln2)上单调递增，在(In2,1)上单调递减，

:.a>1mx=/(ln2)=21n2-2,

又g(x)=2x+/在［0,1］单调递增，.•.aWg(x)min=g(O)=l,

。的取值范围为［21n2—2,1］.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变

量分离法去求解.

5^B

【解析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断.

【详解】

2

"VxeR,f+5X〉6"的否定是"Ive7?,%+5x<6",正确；

已知为两个命题，若“PV”为假命题，则"(力)人(「力，为真命题，正确；

“。>2019”是“a>2020”的必要不充分条件,错误；

“若孙=0,则x=0且y=o”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础.

6、A

【解析】

根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.

【详解】

由三视图的性质和定义知，三棱锥P-BCD的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是

-xlx2=l,正视图与侧视图的面积之和为1+1=2,

2

故选：A.

【点睛】

本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算

能力，属于基础题.

7、D

【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，：\/a,b&R,|a-Z?|<|a|+|/?|,则"为：3a,b^R,|a-Z2|>|a|+|/?|.

故本题答案为D.

【点睛】

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.

8、D

【解析】

Z?=log7<07

l>tz=log73>0,l,C=3°->1W.

3

【详解】

/?=107<

l>a=log73>0,§1°,C=3°7>1,所以b<a<c,故选D

3

【点睛】

比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法.

9、B

【解析】

22

由数量积的定义可得a=|«|>0,为实数，则由。2分=六可得\dfb=。，根据共线的性质，可判断a=b；再根据

|«|a=\b\b判断d=6,由等价法即可判断两命题的关系.

【详解】

若"方=片。成立，则同％=a，则向量a与8的方向相同，且同之W=F同，从而，="J,所以@=6；

若“。=恸5,则向量a与匕的方向相同，且从而口=忖，所以a=6.

所以“=62a，，为“卜［a=^b\b”的充分必要条件.

故选:B

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、数量积的应用.

10、D

【解析】

将复数化简得z=l+2,*=1-2z•，即可得到对应的点为(1,-2)，即可得出结果.

【详解】

Z=1^=孚婴土2=1+2,n彳=1—2，，对应的点位于第四象限.

1-z(l-z)(l+z)

故选:。.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查共轨复数和复数与平面内点的对应，难度容易.

11>D

【解析】

由％=24+3%,可得q=3,由a“-a“=9a；,可得根+〃=4,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.

【详解】

2

设等比数列公比为式q>0),由已知，a5q=2a5q+3a5,即/=2q+3,

解得4=3或q=-l(舍)，又明,y=9。；，所以。尸心吗3"^=9d，

191191n9m

即3"+〃—2=32,故根+〃=4,所以一+―二一(一+一)(加+几)=—(10+—+——)

mn4mn4mn

>-(10+279)=4,当且仅当机=1,〃=3时，等号成立.

4

故选：D.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.

12、C

【解析】

由于在复平面内点Z的坐标为(T/)，所以z=-l+i,然后将z=-l+i代入劣化简后可找到其对应的点.

Z

【详解】

由z=T+1,所以,=——=z(-l-z)=l-z,对应点G.

z-1+Z

故选：C

【点睛】

此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由题得c?=5+4=9;.c=3所以焦距2c=6,故第一个空填6.

由题得渐近线方程为丁=土集》=土芈X.故第二个空填y=±竽

9

14、

16

【解析】

先分离出片+沙2,应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.

【详解】

解：若〃Z?+c取最小值，则次?异号，cvO,

根据题意得：1—2。2=/+/,

又由a?+/?222\ab\=-2ab,即有1—2cz2-2ab，

贝!la/>+c»c2+c-L=fc+L]--—»

2I4j16

9

即2ab+c的最小值为-一，

16

9

故答案为：-厂

【点睛】

本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.

15、10

【解析】

由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得.

【详解】

解：PC>120)=1[l-2P(80<JV100)]=0.10,

所以应从120分以上的试卷中抽取100x0.10=10份.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查正态分布曲线，属于基础题.

16、15

【解析】

利用展开式各项系数之和求得”的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.

【详解】

的展开式各项系数和为2"=64,得〃=6,

所以，的展开式通项为（+i=cr（6）6f.（工）=c>x号,

令白一=0,得/'=2,因此，展开式中的常数项为废=15.

故答案为：15.

【点睛】

本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）4=1，〃=0（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）S,=4%T（〃之2）,所以，=2限I，故数列｛%｝是等比数列；（2）利用特殊值法，得q=l,2=1,

故；［=1,〃=0；°）得X=〃=1,所以s,=］a,+a,T，得（〃—1）4+1—（〃—2）%—2%-=0,可证数列｛4｝

是等差数列.

试题解析：

（1）证明：若几=0,〃=4,则当S0=4。,_1（〃22）,

所以见+i=Sn+l-Sn=4（%—见_］）,

a

即n+i~2%=2（%-2a“_］）,

所以仇=2。1，

又由。1=2,%+%=4q,

得4=3q=6,4—2q=2w0,即2w0,

所以3=2,

故数列也｝是等比数列.

（2）若｛/｝是等比数列，设其公比为4（q/0）,

当〃=2时，S2=2Aa2+piOy,即％+%=2%〃2，得

l+q=2Aq+//,①

当〃=3时，S3=+jLia2,即q+4+生=3%。3+4。2，得

]+q+q2=3Xq2+"q,②

当〃=4时，S4=4/k/4+，即4+。2+。3+。4=42。4+4。3，得

1+q+12+q3—4X13+4a2,(§)

②-①"，得1=方，

③-②"，得1=沏3,

解得9=1,丸=1.

代入①式，得〃=。.

此时S〃=nan(n>2),

所以4=%=2,,“｝是公比为1的等比数列，

故2=1，〃=0.

(3)证明：若。2=3,由4+%=24。2+〃。1，得5=62+2〃，

31

又X+〃=一，解得a=—，〃=1.

22

由4=2,%=3,%=；，4=1，代入S〃=Anan+/aan_｛得的=4,

所以%,出，4成等差数列，

,n30n+1

由o=5%+%—i,得S八+i=2an+\+an9

M+1n

两式相减得：。〃+1=~y-%+i-2。〃+%-an-i

即(〃一1)%+i__2)4_2Q〃T=0

所以啊,+2—("T)%+1—2%=。

相减得：nan+2-2(w-l)an+1+(ra-2)a/(-2an+2a;i_1=0

所以“(4+2—2%+an)+2Mi—2an+%)=0

222、

所以(4+2-2册+i+4)=一—(。八+i-2册+)=-7-x261n_]+an_2)

n矶〃一

(-2)"-1/、

==一-2a2+q)，

因为日—2a2+%=0,所以an+2-2an+1+an=0,

即数列｛%,｝是等差数列.

18、(1)e=—；(2)不存在，理由见解析

2

【解析】

(b2｝

(1)写出Ac,一,根据斜率乘积为-1,建立等量关系求解离心率；

、a?

(2)写出直线A3的方程，根据韦达定理求出点3的坐标，计算出弦长|A3],根据垂直关系同理可得|AC|,利用等

式0|AB|=|A。即可得解.

【详解】

(b~\

(1)由题可得Ac,—,过点A作直线AC交椭圆E于点C,且ABLAC,直线AC交V轴于点。.

Ia

(b-1)

点3为椭圆E的右顶点时，。的坐标为0,——-a,

Ia3J

AB±AC即ADLAB,

b^_l此b2

^AD^-AB=-]，a3aa__]

0-cc-a

化简得：2c--3ac+a2=0,

即2e2-3e+l=0,解得e=:或e=l(舍去)，

所以e=,；

2

(2)椭圆£的方程为:十丁=1,

由(1)1,-^-j,AB:y=kx—k+,k

72

y=kx-k+

联立2得：(l+2k2)"2k"k-五)x+2k。-2®c-1=U,

—+y2=l

[2-

根据韦达定理X”音浮1

设3的横坐标4，

所以IAB卜-1|=-717F.2£；片

2

同理可得ac=-1+

(1lYk2+2

41+2

k

若存在k使得V2|AB|=|AC|成立,

则9k笔|*2门怒

化简得：42k-+k+42=Q，/<0,此方程无解，

所以不存在左使得拒|AB|=|AC|成立.

【点睛】

此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦

达定理在解决解析几何问题中的应用.

19、(1)证明见解析(2)45°

【解析】

(1)连接3。，交AC与。，连接MO,由MO//EB,得出结论；

(2)以A为原点，AC,AB,AE分别为％,V,z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，利用夹角

公式求出即可.

【详解】

(1)连接BD,交AC与。，连接MO,

在ADEB中，MO//FB,

又平面ACM,MOu平面ACM,

所以EB//平面ACM；

(2)由平面A3CD_L平面ABER,AC±AB,AB为平面ABC。与平面ABEF的交线，故人。_1平面钻瓦故

AF±AC,又ARLAB,所以AP,平面ABC。，

以A为原点，AC,AB,AE分别为x,V,z轴建立空间直角坐标系,

A（0,0,0）,C（4,0,0）,5（0,2,。）,D（4,-2,0）,-0,0,2）,M（2,-l,l）,

设平面AQW的法向量为加=（x,y,z）,AC=（4,0,0）,AM=（2,-1,1）,

m-AC=4x=0,/、

由<,得7〃=（0,1』,

m-AM=2x-y+z=0

平面ACF的法向量为AB=(0,1,0),

由cos（AB,根）=,

故二面角M—AC—尸的大小为45。.

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20、(1)证明见详解；(2)=

6

【解析】

(1)由题可知，等腰直角三角形ABC与等边三角形PAC,在其公共边AC上取中点O,连接08、OP,可得

OB±AC,OP±AC,可求出。p=百.在△0P6中，由勾股定理可证得03,结合OPcAC=O,可证明

OB，平面PAC.再根据面面垂直的判定定理，可证平面ABC±平面PAC.

(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,由点F在线段A5上，设Ak=〃zA8(0<〃z<D，

得出Cb的坐标，进而求出平面PbC的一个法向量”.用向量法表示出AP与平面PCV所成角的正弦值，由其等于

旦,解得".再结合为平面出。的一个法向量，用向量法即可求出〃与的夹角，结合图形，写出二面角

4

尸―PC—A的大小.

【详解】

证明：(1)在AB4C中，PA=PC="P=—

3

.•.△PAC为正三角形，且AC=2

在ABC中，AB=BC=6

ABC为等腰直角三角形，且AB，5c

取AC的中点。，连接08,。尸

:.OB±AC,OP±AC

OB=1,OP=6,PB=PA=2,

:.PB2=OB2+OP-，

：.OPLOB

OPAC=O,AC,OPu平面PAC

O3_L平面PAC

O3u平面ABC

..平面ABC±平面PAC

(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系孙z,则

A(0,-l,0),B(l,0,0),C(0,l,0),P(0,0,,

AB=(I,I,O),AP=(O,I,6),

CP=(0,-1,石),CA=(0,-2,0),

设AF=mAfi(0<m<l).贝!1CF=CA+AF=(m,m-2,0)

设平面PFC的一个法向量为n=(x,y,z).则

n-CF=0

nCP=0

mx+y(m-2)=0

-y+A/3Z=0'

2-m[-

l,%=------73

令y=6，解得jm

Z=1

AP与平面PFC所成角的正弦值为正,

4

.“AP_2百_旦

…川川;5(2-附2]=不

NqIJ,十D十1-

Vm

整理得3疗+4m—4=0

2

解得加=耳或加=一2(含去)

:.n=(2区区》

又OB为平面PAC的一个法向量

n-OBy/3

/.cos(n,OB)=

HH=T

TT

二.〈tt,OB〉=—,

二面角F—Q4—C的大小为占.

o

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.

21、(1)a=0.080(2)详见解析

【解析】

(1)由频率分布直方图中所有频率(小矩形面积)之和为1可计算出。值；

(2)由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为!」,'.，选2件产品，支付的费用X的所有取值为240,

236

300,360,420,480,由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望.

【详解】

解：(1)据题意，M0.008x5+0.032x5+5a+0.024x5+0.036x5+0.020x5