4.3.2对数的运算法则课件高一上学期数学

第4章幂函数、指数函数和对数函数对数的运算法则湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.理解对数运算法则,并能运用运算法则化简、求值.2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.能运用运算法则和换底公式进行一些简单的化简和证明.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一对数的运算法则条件a>0且a≠1,M>0,N>0法则(1)loga(M·N)=logaM+logaN(2)logaMN=NlogaM(N∈R)(3)loga=logaM-logaN名师点睛1.逆向应用对数的运算法则,可以将几个对数式化为一个对数式,有利于化简.2.对于每一条运算法则,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等式才成立.如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但log2(-2)与log2(-3)均不存在,不能写成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3).3.法则(1)可以推广到真数为无限多个正因数相乘的情况,即loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.其中Nk>0,k∈N+.过关自诊用lgx,lgy,lgz表示下列各式:(1)lg(xyz);(2)lg(x2yz3);解

lg(xyz)=lg

x+lg

y+lg

z.解

lg(x2yz3)=lg

x2+lg

y+lg

z3=2lg

x+lg

y+3lg

z.知识点二两种特殊的对数名称定义常用对数将以

为底的对数叫作常用对数,并且把log10N记为

自然对数将以e(e=2.71828…)为底的对数叫作自然对数,并且把logeN记作

10lgNlnN过关自诊计算下列各式的值:(1)lg100=

;

(3)lg2+lg5=

;

(4)elnπ=

.

2-41π知识点三对数换底公式名师点睛1.换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.2.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.过关自诊计算:(1)log2781;(2)log1625·log58;(3)logab·logba(a>0,b>0,且a≠1,b≠1).重难探究·能力素养速提升探究点一对数运算法则的应用【例1】

计算下列各式的值:解

原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.规律方法

对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg

2+lg

5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.变式训练1计算下列各式的值:探究点二换底公式的应用【例2】

计算下列各式的值:(1)log89×log2732;规律方法

1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:变式训练2计算:(1)log23×log36×log68;(2)(log23+log43)×(log32+log274).探究点三有附加条件的对数求值问题解

∵6x=5y=a(a>0),∴xlg

6=lg

a,ylg

5=lg

a.解

设ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正数,∴lg

ax=lg

k,lg

by=lg

k,lg

cz=lg

k.∴x=logak,y=logbk,z=logck.变式探究

证明

设3x=4y=6z=m(m>0),则x=log3m,y=log4m,z=log6m.规律方法

条件求值问题的求解方法带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算法则.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式的互化进行解题.探究点四换底公式在实际中的应用【例4】

分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,说明声音环境优良,60~110为过渡区,110以上为有害区.(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式.(2)某地声压P=0.002帕,则该地为以上所说的什么区?声音环境是否优良?(3)假若某精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声,某记者用仪器测得其中一次掌声的音量达到了90分贝,试求此时会场内的声压是多少.由已知条件知40分贝小于60分贝,所以此地为噪音无害区,声音环境优良.所以P=104.5P0=104.5×2×10-5=2×10-0.5≈0.63(帕),即此时会场内的声压约是0.63帕.规律方法

解决对数应用题的一般步骤变式训练3一台机器原价20万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价值降低8.75%,问经过多少年这台机器的价值为8万元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)解

设经过x年,这台机器的价值为8万元,则8=20(1-0.087

5)x,即0.912

5x=0.4,所以约经过10年这台机器的价值为8万元.学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练1234567891.已知alog32=1,则2a=(

)A. B.1

C.2 D.3D解析

alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.123456789A.1 B.4

C.5 D.7C1234567893.(多选题)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式恒等的是(

)

BCD123456789D123456789解析

∵2lg(x-2y)=lg

x+lg

y(x>2y>0),∴lg(x-2y)2=lg

xy,∴(x-2y)2=xy,∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,123456789B级关键能力提升练5.设lg3=a,lg5=b,则log212的值为(

)

C解析

根据换底公式和对数运算性质得

1234567896.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(

)

AD123456789解析

由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,1234567891234567897.解下列对数方程:(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3.123456789123456789(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得

+t-3=0,即t2-3t+2=0,解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;当t=2时,可得log2x=2,即x=4.经检验x=2,x=4均符合题意.故原方程的解为x=2或x=4.1234567898.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k的值;(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1h)(