2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 7 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质（教师用书）教案 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数77.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质（教师用书）教案北师大版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容是高中数学第1章三角函数的第7节，内容涵盖7.1正切函数的定义和7.2正切函数的图像与性质。学生将学习正切函数的基本概念、性质和图像，这包括正切函数的周期性、奇偶性、单调性以及特殊点的坐标等。同时，学生将掌握如何利用单位圆和直角三角形来推导正切函数的定义，以及如何通过图像理解正切函数的性质。

教学内容与学生已有知识的联系：在学习本节内容之前，学生应该已经掌握了锐角三角函数的概念、单位圆的知识以及函数图像的基本分析方法。这些知识将为学生理解正切函数的定义和性质打下坚实的基础。同时，本节课的内容也为后续学习更复杂的三角函数和其他类型的函数图像提供了必要的准备。二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学核心素养，主要包括逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算四个方面。

首先，通过学习正切函数的定义和性质，学生将能够运用逻辑推理能力，从特殊到一般，理解并证明正切函数的周期性和奇偶性。

其次，学生在学习正切函数图像的过程中，将运用数学建模能力，通过观察单位圆和直角三角形的几何关系，建立正切函数图像与参数之间的关系。

同时，本节课要求学生能够运用直观想象能力，通过观察和分析正切函数的图像，理解其单调性和特殊点的坐标，从而更好地把握函数的性质。

最后，学生在解决与正切函数相关的问题时，将运用数学运算能力，熟练掌握三角函数的基本公式和运算方法。三、学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：在开始学习正切函数之前，学生应该已经掌握了初中阶段的三角函数基础知识，包括正弦函数和余弦函数的定义、图像和性质。此外，学生还应该具备一定的函数图像分析能力和单位圆的使用经验。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：对于大多数学生而言，数学函数的学习是一个逐步深入的过程，他们可能对直观的、具有实际背景的数学问题更感兴趣。学生在学习函数时，通常具备一定的逻辑推理能力和直观想象能力，但部分学生可能对函数图像的分析和几何关系的建立感到挑战。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习正切函数的定义时，学生可能对利用单位圆和直角三角形来推导正切函数的概念感到困惑，特别是在理解正切函数的周期性和奇偶性时。在分析正切函数图像时，学生可能对如何从图像中提取函数性质、如何利用图像解决实际问题等方面遇到挑战。此外，部分学生可能在从具体例子到一般结论的推理过程中，出现逻辑推理不严密、结论不完整的情况。四、教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：在讲授正切函数的定义和性质时，教师可以通过逻辑推理的方式，引导学生理解正切函数的概念，并通过讲解特殊例子，使学生掌握正切函数的性质。

（2）讨论法：在学习正切函数图像时，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生分享各自对图像的理解，从而提高学生对正切函数图像与性质的认识。

（3）实验法：在学习正切函数的图像与性质时，教师可以引导学生利用教学软件或数学画图工具，自己绘制正切函数的图像，从中观察和分析函数的性质。

2.教学手段

（1）多媒体设备：教师可以利用多媒体设备展示正切函数的图像，通过动态演示函数的变化，帮助学生更好地理解正切函数的性质。

（2）教学软件：教师可以引导学生使用教学软件，如几何画板、Matlab等，进行正切函数图像的绘制和分析，提高学生对函数图像的理解。

（3）在线资源：教师可以推荐一些在线数学学习资源，如KhanAcademy、Zhihu等，让学生在课后自主学习，巩固所学知识。

（4）习题训练：教师可以设计一些具有挑战性的习题，让学生通过练习巩固正切函数的知识，提高学生的数学运算能力。

（5）教学反馈：教师可以通过课堂提问、作业批改等方式，及时了解学生的学习情况，针对学生的困难进行有针对性的辅导。五、教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《正切函数的定义和图像与性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要用到正切函数的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正切函数的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解正切函数的基本概念。正切函数是……（详细解释概念）。它是……（解释其重要性或应用）。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了正切函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的周期性和奇偶性这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正切函数相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示正切函数的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“正切函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。六、知识点梳理本节课的主要教学内容是高中数学第1章三角函数的第7节，内容涵盖7.1正切函数的定义和7.2正切函数的图像与性质。以下是本节课需要掌握的知识点：

1.正切函数的定义：通过单位圆和直角三角形推导出正切函数的定义，理解正切函数的周期性、奇偶性以及特殊点的坐标。

2.正切函数的图像：分析正切函数的图像，掌握其单调性、奇偶性以及特殊点的坐标。

3.正切函数的性质：通过图像和定义推导出正切函数的性质，包括周期性、奇偶性、单调性等。

4.正切函数的应用：解决实际问题，如计算三角形的边长、角度等。

5.正切函数的周期性：理解正切函数的周期性，掌握周期公式，能够求解正切函数的周期。

6.正切函数的奇偶性：判断正切函数的奇偶性，掌握正切函数的奇偶性质。

7.正切函数的单调性：分析正切函数的单调性，掌握其增减规律。

8.正切函数的特殊点：掌握正切函数的特殊点，如原点、无穷远点等，并了解其坐标。

9.正切函数的图像分析：通过观察正切函数的图像，能够分析出函数的性质，如单调区间、奇偶性等。

10.正切函数的性质应用：利用正切函数的性质解决实际问题，如计算三角形的边长、角度等。七、板书设计1.正切函数的定义：

-利用单位圆和直角三角形推导出正切函数的定义

-强调正切函数的周期性、奇偶性以及特殊点的坐标

2.正切函数的图像：

-分析正切函数的图像，突出其单调性、奇偶性以及特殊点的坐标

-通过图像展示正切函数的性质，如增减规律、奇偶性等

3.正切函数的性质：

-列出正切函数的性质，包括周期性、奇偶性、单调性等

-通过举例和比较来解释难点部分，如周期性和奇偶性的区别

4.正切函数的应用：

-给出实际问题，让学生通过计算解决，如计算三角形的边长、角度等

-强调正切函数在实际中的应用价值

5.正切函数的周期性：

-介绍正切函数的周期性，强调周期公式及其应用

-通过示例来解释周期性，如正切函数的周期性与角度的关系

6.正切函数的奇偶性：

-判断正切函数的奇偶性，强调奇偶性质的应用

-通过示例来解释奇偶性，如正切函数的奇偶性与角度的关系

7.正切函数的单调性：

-分析正切函数的单调性，突出其增减规律

-通过示例来解释单调性，如正切函数的单调性与角度的关系

8.正切函数的特殊点：

-列出正切函数的特殊点，如原点、无穷远点等

-强调特殊点的坐标及其重要性

9.正切函数的图像分析：

-通过观察正切函数的图像，分析出函数的性质，如单调区间、奇偶性等

-强调图像分析方法和对函数性质的理解

10.正切函数的性质应用：

-利用正切函数的性质解决实际问题，如计算三角形的边长、角度等

-强调性质在实际问题中的应用方法和技巧八、反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入生活实例：在讲授正切函数的定义和性质时，引入生活实例，如建筑施工中的角度测量，让学生感受到正切函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.利用多媒体技术：通过多媒体技术，如动画、视频等，展示正切函数的图像和性质，使抽象的概念更直观、形象，便于学生理解和记忆。

3.组织小组讨论：在学习正切函数的图像和性质时，组织小组讨论，鼓励学生分享自己的观点和想法，提高学生的参与度和思考能力。

（二）存在主要问题

1.教学管理：在组织小组讨论时，发现部分学生参与度不高，需要加强对学生的引导和管理，提高学生的参与度。

2.教学方法：在讲授正切函数的性质时，发现部分学生对概念的理解不够深入，需要改进教学方法，如增加实例分析、问题引导等，帮助学生更好地理解和掌握概念。

3.教学评价：在评价学生的学习效果时，发现评价方式较为单一，需要增加多种评价方式，如口头报告、小组作业等，全面评价学生的学习成果。

（三）改进措施

1.加强对学生的引导和管理：在组织小组讨论时，加强对学生的引导和管理，鼓励学生积极参与，提高学生的参与度和思考能力。

2.改进教学方法：在讲授正切函数的性质时，增加实例分析、问题引导等教学方法，帮助学生更好地理解和掌握概念。

3.增加多种评价方式：在评价学生的学习效果时，增加多种评价方式，如口头报告、小组作业等，全面评价学生的学习成果。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天，我们学习了正切函数的定义和性质，以及如何通过图像来分析和理解这些性质。正切函数是三角函数中的一种，它在实际应用中非常重要，例如在建筑、工程、物理等领域。我们通过单位圆和直角三角形推导出了正切函数的定义，并分析了它的周期性、奇偶性以及单调性。我们还通过图像来直观地理解了这些性质，并解决了一些实际问题。

当堂检测：

1.请解释正切函数的定义，并给出一个具体的例子。

2.请描述正切函数的周期性，并说明如何计算正切函数的周期。

3.请判断正切函数的奇偶性，并给出判断的依据。

4.请分析正切函数的单调性，并说明正切函数在不同区间上的增减情况。

5.请通过图像分析，解释正切函数的单调性和奇偶性。

6.请给出一个实际问题，并利用正切函数的性质来解决它。

7.请解释正切函数在实际应用中的重要性，并给出一个具体的例子。

8.请描述正切函数的图像特征，并解释它们如何反映正切函数的性质。

9.请通过图像分析，解释正切函数的图像特征，并判断正切函数的性质。

10.请解释正切函数的性质如何帮助我们理解和解决实际问题。课后作业1.请解释正切函数的定义，并给出一个具体的例子。

2.请描述正切函数的周期性，并说明如何计算正切函数的周期。

3.请判断正切函数的奇偶性，并给出判断的依据。

4.请分析正切函数的单调性，并说明正切函数在不同区间上的增减情况。

5.请通过图像分析，解释正切函数的单调性和奇偶性。

例如题型：

1.定义题型：请解释正切函数的定义，并给出一个具体的例子。答案：正切函数定义为直角三角形中，对边与邻边的比值。例如，在直角三角形中，如果对边为5，邻边为3，则正切值为5/3。

2.周期性题型：请描述正切函数的周期性，并说明如何计算正切函数的周期。答案：正切函数的周期为π，因为正切函