2017届高三一轮复习-2.2 函数的单调性与最值

2.1函数概念与基本初等函数【高考考点】1、函数的概念及其表示2、分段函数及其应用【知识点】一、函数与映射的概念1、函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：其中，叫自变量，的取值范围A叫作定义域，与的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫值域。显然，值域是集合B的子集。2、映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个映射。二、函数的有关概念1、函数的三要素（1）函数的三要素：定义域、值域、对应关系其中：定义域是基础，对应关系是函数的关键。定义域和对应关系确定了，值域也随之确定。（2）同一函数的判定：定义域与对应关系完全相同2、函数的表示法函数常用的表示法有：解析法、图像法和列表法3、分段函数（1）若函数在其定义域的不同取值区间上，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．（2）分段函数的定义域为各段函数的定义域的_________分段函数的值域为各段函数的值域的_________分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．（3）求分段函数的函数值时，一定要首先判断属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式进行求解。题型一：函数的概念及其表示例1、在下列图象中，表示y是x的函数图象的是______________A.①④B.①②C.②④D.②③练习：下列图形哪些能表示一个函数？解决此类题的关键在于：____________________________________例2、若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（）ABCD练习：（1）给出的四个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有_______A、0个B、1个C、2个D、3个（2）设A={x∣0≤x≤2}，B={y∣1≤y≤2}，图1中表示A到B的映射是___________（3）如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是___________（4）【2015全国卷=2\*ROMANII】如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为_____题型二：求函数的定义域求函数定义域的类型与方法：（1）求给定函数解析式的定义域：构造使解析式有意义的不等式（组）进行求解。常见的有整式、分式、偶次根式、指数函数、对数函数及多种形式的复合形式。（2）实际问题中的函数的定义域：有实际意义及时解析式有意义构成的的不等式（组）求解。（3）抽象函数的定义域：①已知函数的定义域为，求的定义域；求法：由，知，解得的的取值集合即是的定义域。②已知函数的定义域，求的定义域；求法：由，得的取值集合即是的定义域。③已知函数的定义域，求的定义域；求法：由，得的取值范围，的取值范围即的取值范围，解不等式得出的的范围即是的定义域。（4）已知函数定义域求参数范围问题【易错提醒】求解定义域的过程中要注意：（1）不要对解析式进行变形，以免定义域发生变化；（2）当一个函数有有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般为各个基本初等函数定义域的交集。（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，二应该用并集符号“”连接。例3、【2014江西2】函数的定义域为（）A.B.C.D.练习：（1）【2013江西2】函数的定义域为____________A．（0,1）B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]（2）函数的定义域为________________A.B.C.D.（3）【2016江苏5】函数的定义域是.（4）【2010湖北】函数的定义域为()A.B.C.D.（5）【2008全国】函数y＝eq\r(xx－1)＋eq\r(x)的定义域为()A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}例4、【2013全国4】已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________（A）（B）（C）（D）练习：（1）已知函数的定义域为[1，4]，求的定义域；（2）已知函数的定义域为[0，3]，求的定义域。（3）已知函数的定义域为[0，1]，求的定义域。例5、若函数的定义域为，则的取值范围为_____________练习：（1）若函数的定义域为实数集，则的取值范围为_____________A.B.C.D.（2）若函数定义域为实数集，则的取值范围为_____________A.B.C.D.题型三：求函数的解析式常见的求函数解析式的类型与方法（1）已知函数类型求解析式-------待定系数法待定系数法：根据函数类型设出函数解析式，然后根据条件求出待定系数如：一次函数设为，求出。二次函数设为，求出。（2）关于复合函数的解析式①由求-------------代入法（整体代换）②由求-------------拼凑法、换元法换元法----已知函数的解析式时，可令，再求的解析式，然后用代替两边所有的,即可以求出函数解析式。③由求----------综合①、②，先求，再求（3）已知函数关系式中含有与或与形式的函数，求的解析式----方程组法。方程组法：用“”或“”替代，构造新方程，与原方程组成方程组，解方程组可求例6、（1）设，且，则（2）已知，求的解析式（3）已知，求的解析式（4）已知是二次函数且，，求的表达式。（5）已知，求的表达式。练习：（1）已知是一次函数，且满足，求（2）已知是一次函数，且，求及（3）设是二次函数，方程有两个相等实根，且，求的表达式。（4）已知是二次函数，且，，求（5）二次函数满足，且，求：①；②.（6）已知，求的解析式（7）已知，求的解析式（8）已知，求的解析式（9）已知满足，求的解析式。（10）已知满足，求的解析式。（11）已知满足，求的解析式。（12）已知满足，求的解析式。（13）已知满足，求的解析式。题型四：同一函数的判定定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。例7、判断下列函数与是否表示同一函数？说明理由。①，②，③，④，⑤，练习：（1）下列各组表示同一函数的是____________ A. B. C. D.（2）下列四组函数中，表示同一个函数的是_____________A.B.C.D.题型五：分段函数例8、【2015陕西文4】设，则A.－1B.C.D.练习：（1）【2015新课标=2\*ROMANII理-5】设函数,()A.3B.6C.9D.12例9、【2011浙江1】设函数QUOTEfx=2x-1-2,&x≤1-log2x+1A.或B.或C.或D.或练习：（1）【2015全国卷1文10】已知函数QUOTEfx=2x-1-2,&x≤1-logA.-B.-C.-D.-（2）函数，若，则例10、【2010陕西5】已知函数QUOTEfx=2x-1-2,&x≤1-log2x+1A.B.C.2D.9练习：（1）已知实数，函数，若，则的值为__________例11、已知函数，若，则实数的取值范围值为__________A.B.C.D.练习：（1）已知函数，若，则实数的取值范围值为__________（2）【2014浙江15】设函数，若，则实数的取值范围值为________（3）【2014浙江15改编】设函数，若，则实数的取值范围值为________（4）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围值为___________例12、已知，.（1）求和的值；（2）求的表达式。【易错提醒】（1）对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况讨论求解。题型六：函数的最值与值域求函数值域的基本方法：（1）观察法（直接发）：从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。（2）配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。小结：二次函数在闭区间上的最值问题：①求对称轴并判断对称轴是否在所给区间内②若在“求三次”比较的值域③若不在，“求两次”的出值域（3）换元法:运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。（4）分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。（5）单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域。（6）数形结合法:画出函数的图像，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围例13、求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）（5）练习：（1）,（2）（3）（4）【2010重庆改编】函数的值域是________A.B.C.D.例14、求下列函数的值域（1）（2）,练习：（1）（2）（3）（4）（5）例15、求函数的值域解：，∵，∴，∴函数的值域为。练习：求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；例16、求函数的值域解：令（），则，∴∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。练习：求下列函数的值域（1）（2）例17、求函数的值域例18、【2015浙江10】已知函数，则，的最小值是．例19、【2014安徽9】若函数的最小值为3，则实数的值为_____________A.5或8B.或5C.或