2.2.1线面平行的判定定理

§2.2.1直线与平面平行的判定1.直线与平面有几种位置关系？复习引入:

其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多，而且是学习平面和平面平行的基础．有三种位置关系：在平面内，相交、平行．aaaa.Aaa怎样判定直线与平面平行呢？问题探究:

根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？a

在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．实例感受实例感受

将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动，观察AB的对边CD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？从中你能得出什么结论？ABCDCD是桌面外一条直线，AB是桌面内一条直线，CD∥AB，则CD∥桌面直线AB、CD各有什么特点呢？它们有什么关系呢？猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。做一做猜一猜

如果平面内有直线与直线平行，那么直线与平面的位置关系如何？是否可以保证直线与平面平行？观察直线与平面平行

平面外有直线平行于平面内的直线．（1）这两条直线共面吗？（2）直线与平面相交吗？探究直线与平面平行共面不可能相交平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．说明:(1)证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得到线面平行的结论．1.直线与平面平行判定定理(2)简述:线线平行线面平行.(3)思想:空间问题转化为平面问题.假设与有公共点P，则，点P是a与b的公共点，这与矛盾，已知：求证：证明：经过a，b确定一个平面是两个不同的平面pab直线与平面平行判定定理证明（1）定义法：证明直线与平面无公共点；（2）判定定理：证明平面外直线与平面内直线平行．2.直线与平面平行判定方法说明:证明线面平行一般用判定定理.找线线平行的方法：1）空间直线平行关系的传递性2）三角形中位线法3）平行四边形法4）成比例线段法直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

bab

a∥ba

a∥

注明：1、定理三个条件缺一不可。2、简记：线线平行，则线面平行。3、定理告诉我们：要证线面平行，只要在面内找一条线，使线线平行。

1．如图，长方体中，（1）与AB平行的平面是

；（2）与平行的平面是

；（3）与AD平行的平面是

；平面平面平面平面平面平面随堂练习判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例.(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面；()（2）如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行;()（3）如果直线a、b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b;()(4)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.()试一试已知:空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.求证:EF//平面BCD.分析：

EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD，只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可.AEFBDCEF和面BCD哪一条直线平行呢？直线BD例求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面.∵在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点证明：∴EF∥BD∴EF∥平面BCDBD平面BCD∩

又∵EF平面BCD，连接BD，三角形的中位线是常用的找平行线的方法.1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.BCADEFGH(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；练习解：(1)E、F、G、H四点共面.∵在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点.∴EH∥BD且同理GF∥BD且∴EH∥GF且EH＝GF∴E、F、G、H四点共面.(2)AC∥平面EFGH解:（3）由EF∥HG∥AC，得EF∥平面ACD，AC∥平面EFGH，HG∥平面ABC.由BD∥EH∥FG，得BD∥平面EFGH，EH∥平面BCD，FG∥平面ABD.BCADEFGH1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；1．如图，长方体中，（1）与AB平行的平面是

；（2）与平行的平面是

；（3）与AD平行的平面是

；平面平面平面平面平面平面随堂练习

例2在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.ABCC1DA1B1D1EFMGH2．如图，正方体中，E为的中点，试判断与平面AEC的位置关系，并说明理由．证明：连接BD交AC于点O,连接OE,在中，E，O分别是的中点．随堂练习AEBDC如图，空间四边形ABCD中，E是AB上的一点,试过CE作一平面平行于BD，并说明画法的理论依据F变式引申两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点求证：MN∥面BCEDANMCBFE练一练PQ引申：

M、N是AC，BF上的点且AM=FN，求证：MN∥面BCEDANMCBFEDANMCBFE已知四棱锥S-ABCD,ABCD是平行四边形,S是平面ABCD外一点,M为SC的中点.求证:SA//平面MDB知识扩展BSMCADo证明：如图，连接BD1

，在△DBD1中，EF为三角形中位线，所以EF//BD1，又EF平面ABC1D1

，

BD1

平面ABC1D1所以BD1//平面ABC1D1例如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.解：直线BD1//平面AEC，证明如下:如图，连接BD交AC于O，再连接OE在△DBD1中，OE为三角形中位线，所以OE//BD1，又BD1

平面AEC，OE平面AEC，故BD1//平面AEC.P562如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点.试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.O注意：在直观图中，线段平行关系不变，可利用此特性先直观地找出平行线的可能所在.练习如图，已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1DD1,面ABCD的中心.求证PQ//平面AA1B1B,并求线段的PQ长.解:（1）连接AB1，在△AB1D1中，显然P，Q分别是AD1，D1B1的中点，所以，PQ//AB1，且PQ=CD1又因为PQ平面AA1B1BCD1

平面AA1B1B所以PQ//平面AA1B1B（2）AB1=，PQ=问：PQ//平面DD1C1C？∵PQ//C1D练习C1ACB1BMNA1F证明：取A1C1中点F，连结NF，FC．∵N为A1B1中点，M是BC的中点，∴NFCM为平行四边形，故MN∥CFB1C1∴NF＝∥＝∥又∵BCB1C1，即MCNF＝∥∴MN∥平面AA1C1C.例如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN∥平面AA1C1C∴MC＝∥B1C1练习练1：三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC1上的点，F是CB1上的中点，求证：A1B//平面ADC1.法一：线面平行判定定理

连接BC1，则DE为△ABC1中位线，

所以EF//AB,

又EF平面ABC，AB平面ABC，

故EF//平面ABC.法二：由面面平行判定线面平行

取CC1的中点G，连接GE和GF，

则GE为△ACC1中位线，

所以GE//AC,

又GE平面ABC，AC平面ABC，

故GE//平面ABC.G同理可证GF//平面ABC.又GE∩GF=G，所以面GEF//面ABC.

ml

证明：又因m在α内，∵

∥α，∴

和α没有公共点；∴

和m也没有公共点；又

和m都在平面β内，且没有公共点，∴

∥m．解：依题意点D为边BC的中点.连接A1C交AC1于E，连接DE.在△ADC1中，DE为三角形中位线，所以DE//A1B,又DE平面ADC1

，A1B平面ADC1故A1B//平面ADC1练2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，D是BC上的点，若AD⊥BC，求证：A1B//平面ADC1.E练习例如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是AB，PC的中点,求证：MN//平面PAD.HG法二：取DC的中点G，连接GN，GM，往证面GMN//面PAD即可.证明：取PD的中点H，连接HN，AH，在三角形△PDC中，HN为三角形中位线，所以HN//DC且HN=DC又因为底面为正方形，且M为AB中点，所以AM//DC且AM=DC∴AM//HN且AM=HN即AMNH为平行四边形，故MN//AH又AH平面PAD，MN平面PAD，故MN//平面PAD.练：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，E，F分别是PC，BD的中点，求证：EF//平面PAD.证明：分别取PD，AD的中点G，H，连接GE，HF，GH在△PDC中，GE为三角形中位线，所以GE//DC且GE=DC同理，HF//AB且HF=AB又∵底面为正方形，∴AM//DC且AM=DC∴GE//HF且GE=HF即HFEG为平行四边形，故EF//GH又GH平面PAD，EF平面PAD，故EF//平面PAD.GH练习例如图，点B为△ACD所在平面外一点，M，N分别为△ABC，△ABD的重心.

(1)求证：MN//平面ACD.

(2)若底面边长为1为正三角形，求线段的MN的长度.解:(1)分别连接BM，BF交AC，AD于点E，F.

因为M，N分别为对应三角形的重心，

故E，F为相应边的中点，且有

BM:ME=2:1，BN:NF=2:1∴MN//EF且MN=EF.又因为MN平面ACD，EF平面ACD

所以MN//平面ACD.EF(2)又因为在△ACD中，EF是三角形的中位线，所以，EF//CD且EF=CD.∴MN=，CD=线段成比例也是常用的找平行线的方法.练如图点B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心.

(1)求证：平面MNG//平面ACD.(2)求的值.EFH同理，连接BG交CD于中点H，可证NG//平面ACD且NG=FH.

又因为MN∩NG=N，所以面MNG//面ACD.练习解:(1)分别连接BM，BF交AC，AD于点E，F.

因为M，N分别为对应三角形的重心，

故E，F为相应边的中点，且有

BM:ME=2:1，BN:NF=2:1∴MN//EF且MN=EF.又因为MN平面ACD，EF平面ACD

所以MN//平面ACD.同理可证明NG=AC且NG//AC，MG=AD且