1.6-倒点阵和倒格子概述

固体物理学

SolidStatePhysics卫来联系方式lweiphy@物理科学与技术学院2015年3月※为什么要研究倒空间（reciprocalspace)?◆

一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写:坐标表象r，动量表象k◆为什么选择不同的表象？*适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单※量子力学中※为什么要研究倒空间（reciprocalspace)?※

晶格的周期性描写方式◆任何基本粒子都具有波粒二象性。亦即具有一定能量和动量的微观粒子，同时也是具有一定的波长和频率的波，波也是物质存在的一种基本形式。正（坐标）空间的格矢（R）描写周期性，同样在倒（动量）空间，倒格矢K也是描写周期性。这两个空间是等价的，只是存在一个变换（傅里叶变换）◆坐标空间（空间）的布拉伐格子表示

晶体结构的周期性，可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述。◆波矢空间（空间）的倒格子表示

◆波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结构的周期性是否也可以用

波矢k来描述呢？如果可以，在波矢k空间，k应满足什么条件呢？倒易点阵的概念是Ewald1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。是理解晶格X射线衍射、处理晶格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。※为什么要研究倒空间（reciprocalspace)?◆晶体中原子和电子的运动状态，以及各种微观粒子的相互作用→都是在波矢空间进行描写的。

周期势场中运动的单电子波函数可展开为波矢为的平面波的线性迭加（第4章能带论）对同一能带，当用波矢标志电子状态时，相差一个倒格矢的两个状态是等价的，据此可引入简约布里渊区的概念（第4章能带论）5◆任意周期函数都可在该函数所定义的倒格子空间展开为傅里叶级数

布拉维格子具有平移对称性，因而相应的只与位置有关的物理量，由于布拉维格点的等价性，均应是布拉维格矢R的周期函数，如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。不失一般性，上述函数可统一写为：布拉维格矢Δ周期函数的傅里叶展开

由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：展开系数展开系数原胞体积因为：所以：令则：则不合要求，应舍去所以成立也就是说，一定存在某些g使得当成立时，

由于g与R存在上述对应关系,R可以描述布拉维格子，自然g也可以描述同样的布拉维格子，且g与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似，因而，凡是波矢和布拉维格矢满足的波矢，一定也可以描述布拉维格子。这就是倒格子的由来。利用倒格矢，满足的傅里叶展开为:把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间，且只存在波矢为倒格矢的分量。T:平移操作10◆晶格的傅立叶变换（Fouriertransformation）正格子位矢：数学上用函数来描写点阵的格点11对点阵做傅里叶变换可得到是一个矢量,利用晶体的平移对称性确定只要晶体有平移周期性，那么在傅里叶空间中就一定存在K矢量满足这个关系！12所有的也组成一个点阵----倒点阵所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。

当矢量Kh与Rl乘积是2π的整数倍时，在坐标空间Rl处的

δ函数的傅里叶变换为在动量空间以Kh为中心的δ函数！坐标空间里，δ(r-Rl)函数表示在Rl的格点，当满足上述

条件时，其傅里叶变换也是δ(k-Kh)函数，表示的是倒空

间里的一个点！13◆倒格矢与布拉格反射面间具有一一对应关系，利用倒格子概念可简化对衍射图案分析1901诺贝尔物理学奖W.C.伦琴(德国)发现伦琴射线(X射线)M.V.劳厄发现X射线通过晶体时的衍射，决定了X射线波长，证明了晶体的原子点阵结构1914诺贝尔物理学奖W.H.布拉格W.L.布拉格用X射线分析晶体结构1915诺贝尔物理学奖QP

A

TAP

Q

Sd入射线与反射线之间的光程差：

=SA+AT=2dsin把晶体对X射线的衍射看成是晶面对X射线的反射

布拉格假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小

部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大只有入射的10-3~10-5部分被每个面反射，大部分穿透，要有足够多的

原子面参与反射满足衍射方程：2dh1h2h3sin=n※布拉格定律(Bragglaw)对于给定的d和

，由布拉格定律就能确定

角，是仅有的能发生X射线衍射的角度。且n为衍射级数，级数增加，强度减弱。布拉格定律的条件衍射波长条件要求波长必须小于2d，否则不可能发生衍射推论1：不是所有的晶面都能发生衍射推论2：可见光波不能用于晶体衍射布拉格定律的局限只能得到晶面间距，对于分析晶体材料还不够晶胞结构？不清楚晶粒大小？不清楚d,

待求，衍射条件的计算较复杂CO=-Rl·S0OD=Rl·S衍射加强：Rl·（S－S0）=n由：ko=(2/)S0k=(2/)Sk即X射线的波矢得：Rl·（k－k0）=2n因为：Rl·Kh=2n物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个Kh（倒格矢）

时，满足衍射加强条件，n为衍射级数。CRlD衍射单位矢量SOA入射单位矢量S0晶面k0k0kk把位于格点上的原子看作是散射中心，劳厄衍射是散射中心对入射X射线的衍射k－k0=nKh劳厄公式※劳埃方程

|k－k0|=2

|S/

-S0/

|

=(2/)2sin2sin=n/dh1h2h3|k－k0|

=|nKh|=2n/dh1h2h3

|

Kh|=2/dh1h2h3

k－k0kk0晶面(h1h2h3)-kKh倒格矢与晶面相互对应※爱瓦尔德构图根据公式：k－k0=nKh,建立反射球入射线的波矢k0反射线的波矢k倒格矢KhOCA晶面反射球（h1h2h3）(h1´

h2´

h3´)建立反射球的意义通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点直接联系起来。所有落在此球上的倒格点都满足关系式:k－k0=nKh即满足衍射加强条件。

利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向（若反射球上的A点是一个倒格点，则CA就是以OA为倒格矢的一族晶面(h1h2h3)的衍射方向S）。衍射线束的方向是倒格点与球心C的连线方向※爱瓦尔德构图应用举例：晶体电子衍射花样的标定21需要学习倒格子和布里渊区！

如果已知晶格的基矢和法线的取向，即得晶面的Miller指数,从而晶面族中最靠近原点的晶面的截距和面间距都可得出，晶面族就完全决定。

反之，晶格的基矢是未知的，现在只有一些周期性分布的点子同所讨论的晶格中的每族晶面有一一对应的关系，通过对应关系原则上可以把晶格的基矢确定出来。

倒格子，就是类似于上面所设想的那些与晶面族对应的点子所组成的格子。一、倒点阵和倒格子1、倒点阵和倒格子

是格点的位矢（平移矢量），也称为正格矢。是正格矢的倒矢量，称为倒格矢。对于布拉菲格子中所有的格矢Rl，有一系列动量空间矢量Kh

，满足倒点阵和倒格子的定义：的全部端点的集合，构成该布拉菲格子的倒格子或倒点阵，这些点称为倒格点，Kh为倒格矢。2）倒格子空间

正格子基矢在空间平移构成正格子，倒格子基矢在空间平移构成倒格子；由正格子组成的空间是位置空间，称为坐标空间。而由倒格子组成的空间则为状态空间，称为倒格子空间，或K空间。

正格子基矢组成的平行六面体为正格子原胞，由倒格子基矢组成的平行六面体则称为倒格子原胞。3）倒格点的选取

◆

从坐标原点O引晶面族ABC的法线ON◆在法线上截取一段OP=ρ,使ρd=2π,(其中d为晶面族ABC的面间距）◆以OP为该方向的周期，作无限平移，就得到一系列新的点子。◆对于每一个晶面族，我们都能得到这样一系列点子，从而得到了一个新的点阵。◆把这个新的点阵称为原点阵的倒易点阵。◆将倒易点阵连成格子称之为倒格子，而原来的晶格则称为正格子。4）倒格子的基矢

正格矢是正格子基矢的线性组合，根据定义式，我们可设倒格矢亦为线性组合，并写成

晶格的原胞基矢为a1,a2,a3，原胞体积为Ω=a1·（a2×a3），从正格子基矢出发，建立其倒格子基矢：正格子原胞的体积上式表示正格子与倒格子的关系，除因子2π外，互为倒数，有了正格子基矢就能得出倒格子基矢，反之亦然。注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有相同的量纲。本是倒格矢，但可理解为波矢，因为常用波矢来描述运动状态，故可以将倒格子所组成的空间（空间）理解为状态空间，正格子组成的空间是位置空间或坐标空间。

正格子与倒格子结构对比：

正格子与倒格子结构对比。

正格子与倒格子结构对比：第1章晶体结构※正交晶系晶胞的正格子和倒格子abc二、倒点阵的性质1.正、倒点阵的基矢相互正交证明：

a1·b1=

a1·2

(a2

a3)/a1·(a2

a3)=2

a1·b2=

a1·2

(a1

a3)/a2·(a1

a3)=0

同理可证明下角标不同的其它正、倒格基矢验证：选择：为倒格子的基矢为任意整数2.倒点阵原胞的体积反比于正点阵原胞的体积3.倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面(h1h2h3)垂直如图所示ABC是晶面(h1h2h3)族中离原点最近的晶面正格子晶面指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标4.晶面族（h1h2h3)的面间距d为证明：由前面的证明可知，原点到面ABC的距离即为所求面间距(设为d)。ABCOa1a2a3a1/h1a2/h2a3/h3Khd34355.布里渊区1）定义

倒易空间中的WS原胞称为第一布里渊区。▼在倒格子空间中,做某一倒格点到它最近邻和次近邻倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的多面体的体积等于倒格子原胞的体积；该多面体所围成的区域称为第一布里渊区，第一布里渊区也称为简约布里渊区。▼第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围的区域，称为第二布里渊区，依次得第三、…布里渊区。

布里渊区界面是某倒格矢K的垂直平分面，若用k表示倒格空间的矢量，则如果它的端点落在布里渊区界面上，必须满足2）布里渊区的界面方程即：在倒格子空间中，凡满足上式的矢量端点的集合构成布里渊区。

上式被称为布里渊区的界面方程。B-格子类型相同，倒格子类型就相同，B.Z.形状也相同。如fcc的金刚石和氯化钠，B.Z.形状相同。布里源区有多个，各布里源区“体积”都相等，第一布里源区在最里面，逐个向外，第二以上的布里源区由若干个不相连的区域组成。由布里渊区的构成可知：各个布里渊区的形状都对原点对称。各高布里渊区经过平移一个或多个倒格矢，都可以移到第一布里渊区，且与第一布里渊区重合。因此，每个布里渊区的体积均相等，且等于倒格子原胞体积。

对高布里渊区，某个布里渊区被分成n个部分，则各部分也对原点对称。倒格子

3)布里渊区的特点由于倒格子基矢根据正格子基矢定义，所以布里渊区的形状完全取决于晶体的布拉菲格子，与具体的原子无关。4)举例取正格子基矢为※一维晶格点阵的布里渊区可求出倒格子基矢为倒格矢的垂直平分面构成第一布里渊区O一维晶格点阵O倒格子点阵-π/aπ/a※二维晶格点阵的布里渊区取正格子基矢为作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒格子平面分割成许多区域可求出倒格子基矢为二维正方格子的第一、二、三布里渊区③①②O二维正方格子布里渊区图示（演示）第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区①②①②※三维晶格点阵的布里渊区简单立方格子的第一布里渊区是简单立方格子面心立方格子的第一布里渊区是截角八面体(十四面体)体心立方格子的第一布里渊区是棱形十二面体简单立方晶体正格子基矢为

倒格子基矢为

其倒格子仍为简单立方结构与原点相近邻的倒格点所对应的倒格矢为这些倒格矢的垂直平分面构成简单立方体，即：简单立方晶体的第一布里渊区为简立方晶格体心立方晶格布里渊区体心立方晶格这些倒格矢的中垂面围成菱形十二面体，构成体心立方格子的第一布里渊区---面心立方结构典型对称点体心立方晶体面心立方晶格布里渊区面心立方晶格第一布里渊区中典型对称点的坐标为

其布里渊区的形状为，截角八面体----第一布里渊区为体心立方结构。面心立方晶格493.正点阵是它本身倒点阵的倒点阵506.倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性证明：设为正格子的一个点群的任取对称操作，亦即为正格矢时，亦为正格矢(点群对称操作不会改变原有格点之间的距离)。按照群的定义，当为点群对称操作时，亦为同一点群的对称操作，则亦为正格矢。由点群对称操作不会改变原有格点之间的距离可知：当和接受同一点群对称操作时，空间任意两点之间的距离不变。所以，对点群中任一而言，亦为倒格矢，亦即，对应正格子的群中的任一操作，相应的也是倒格子的对称操作。因而同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性。倒格子空间中的WS原胞，亦即第一布里渊区，也就是所谓的简约布里渊区，具有晶格点群的全部对称性。主要因为WS原胞本身就是对称化原胞之故所以，第一布里渊区具有特别重要的意义

由于晶体的周期性，晶体中任何一点的物理量也具有周期性,在数学上,它可表

述为：－其中，为正格矢，它代表了晶体的周期性.将和同时展开为Fourier级数，则：7.正点阵的周期函数可以按倒格矢展开为傅里叶级数我们暂不定义代表的物理意义，只是把它当成Fourier变换中的一个参量。由得：则(μ为整数)☉和一种晶体结构相联系的有两种点阵：晶体点阵和倒易点阵。⊕晶体点阵是真实空间的点阵，具有[长度]的量纲。⊕倒易点阵是与真实空间相联系的傅里叶空间中的点阵，具有[长度]-1的量纲。→把一个具有晶体点阵周期的周期函数展成傅氏级数后，在傅里叶空间中表现为一系列规则排列的点，把这些点的列阵称为倒易点阵。小结晶体的显微图象真实晶体结构的映象；晶体的衍射图象倒格子（倒易点阵）的映象；晶体点阵(正格子)的格点对应原子、分子或其集团倒格子中的格点对应晶体中的一族晶面晶体点阵(正格子)的格点位于位置空间或坐标空间内的,其线度的量纲为[长度]倒格子中的格点在与真实空间相联系的倒易空间或傅里叶空间内的55晶体结构

倒格子2.与晶体中原子位置相对应；2.与晶体中一族晶面相对应；3.是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性排列；3.是真实空间中点的周期性排列；4.线度量纲为[长度]4.线度量纲为[长度]-1已知晶体结构如何求其倒格子呢？晶体结构正格子正格子基矢倒格子基矢倒格子练习1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。倒格是边长为的正方形格子。练习2：证明体心立方的倒格子是面心立方。解：体心立方的原胞基矢：倒格矢：同理得：体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方。例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为证明：由得：简立方：法一：法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，ABC在基矢上的截距分别为，则对于立方晶系：且：倒格矢：同理得：体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方