备考985高校自主招生数学讲义第三讲+集合与函数

备考985高校自主招生数学讲义PAGEPAGE2第三讲．集合与函数知识要求1.注重理解集合的基础知识2.掌握柯西方法及柯西方程的转化3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用4.了解极限的概念典型例题1.已知集合，集合，且，求实数的取值范围.（2008年浙江大学）相关习题（1）已知集合，.若，则实数的最小值为（2009年上海交通大学）2.设，（1）求证：（2）当是一个上增函数时，是否有如果有，请证明.（2010年浙江大学）3.求有限集合，其中为互不相等的正整数，使得（2009年上海交通大学、2006年清华大学）相关习题（1）求所有满足的非直角.这里表示不大于的最大整数（例如，）.（2009年南京大学保送生）（2）方程的所有正整数解（2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）4.对于集合，称为开集，当且仅当，，使得判断集合与是否为开集，并证明你的结论.（2007年清华大学）相关习题（1）.称的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多少个奇子集？（2013年北京大学保送生）5.已知当时，函数（）的图象如图所示.（1）设，试用（）说明，当，时，不等式eq\o\ac(○,1)成立.（2）利用（1）中不等式证明：若，则对任意的正数、，不等式eq\o\ac(○,2)成立.（3）当、且时，求的最小值.（2010年华中师范大学）6.（柯西方程）设在上单调，对有eq\o\ac(○,1)则相关习题（1）.若函数满足且，求函数的解析式.（2000年上海交通大学）（2）若对每一个实数，，函数满足，若，试求满足的所有整数（2013年清华大学夏令营）7.已知函数满足：对实数，有，且，求证：.（可用以下结论：若，，为一常数，那么）（2006年清华大学）相关习题（1）.设对一切实数，满足：，且求函数（2007年南京大学）（2）求所有的，满足对所有的正整数，都成立.（2013年中国科技大学夏令营）8.方程，的解分别为，，则（）A.2B.4C.6D.8（2013年复旦大学）相关习题（1）实数，满足，，则_________（2009年上海交通大学）9.（1）已知函数不恒为0，且对，有，若存在常数，使得求证：是的一个周期，且（2013年华东师范大学）相关习题（1）已知函数满足，，则＝（2010年高考重庆卷）（2）定义在上的函数满足（），且，则（）A.2B.3C.6D.9（2008年陕西卷）10.已知函数在上可导，且满足，证明：当时，(2012山东大学)11.（1）设函数为实数，且，若满足：，试写出与的关系，并证明在这一类关系中存在满足（2002上海交通大学）相关习题（1）已知函数若、、互不相等，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.（2010年全国课标卷）（2）已知函数若，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.（2010年全国I卷）12.是否存在这样的实数，使得存在两切线相互垂直.（2011年北京大学保送生）13.求证：方程只有一个根.（2008年南开大学）14.设，（1）求证：；（2）若，求证：（2013年卓越）15.已知（1）求证：当时，；（2）若数列满足，，求证：数列单调递减，且