考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷1（共169题）

考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷1（共6套）（共169题）考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷第1套一、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、=_____.标准答案：3知识点解析：原式==3+0=3．2、设=_______.标准答案：12知识点解析：由题设及现利用等价无穷小因子替换3、设K，L，δ为正的常数，则[δK-x+(1-δ)L-x=________.标准答案：KδL1-δ知识点解析：属1∞型极限．原式=，而因此，原式=elnKθ+lnL1-δ=KδL1-δ．4、设f(x)=在点x=0处连续，则常数a=________．标准答案：-2知识点解析：f(x)在x=0连续=f(0)．由于因此a=-2．5、1+x2-ex2当x→0时是x的________阶无穷小(填数字)．标准答案：4知识点解析：由于因此当x→0时1+x2-ex2是x的4阶无穷小．6、已知=9，则a=______．标准答案：ln3知识点解析：7、=_________.标准答案：3知识点解析：本题属“∞0”型未定式．数列极限不能直接用洛必达法则．如用，得先转化成连续变量的极限，利用求得，但比较麻烦．事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即=(3.10)1=3．8、若=______.标准答案：5知识点解析：令2x3=y，则故=3+2=5．9、arctan(x-lnx.sinx)=_______．标准答案：知识点解析：x-lnx.sinx=，由于x→+∞时，.sinx→0，x-lnx.sinx→+∞，于是.10、xsinx=________．标准答案：1知识点解析：本题属“00”型未定式．利用基本极限xx=1及重要极限即得=11=1.11、=________.标准答案：0知识点解析：当x＞0时，＜1，于是有而=0，故由夹逼定理可知=0．12、设，则a=______，b=_________．标准答案：；1知识点解析：利用洛必达法则可得当a=0时又当a≠0时故13、函数f(x)=的连续区间是_________．标准答案：(-∞，1)∪(1，+∞)知识点解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(-∞，1)∪(1，+∞)．二、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、求下列极限：标准答案：(1)属型．利用洛必达法则．原式=(2)记pn=(-npn)=-t，因此，原式=e-t．(3)属∞-∞型．先通分，有原式=(4)原式=(5)属00型．故原式=而故原式=e-1．(6)属∞0型．原式=，而故原式=e0=1．(7)原式=(8)原式(9)属型．(12)被积函数中含有参数x，把因子e-x2提到积分号外后，易见所求极限为型未定式．应当想到洛必达法则，知识点解析：暂无解析15、设xn=ln(1+xn)，x1＞0，(Ⅰ)．求xn；(Ⅱ)求标准答案：(Ⅰ)注意：x＞ln(1+x)(x＞0)，于是xn+1-xn=ln(1+xn)-xn＜0(n=1，2，3，…){xn}↓有下界极限a=ln(1+a)．又a≥0时a＞In(1+a)，故a=0．(Ⅱ)原式知识点解析：暂无解析16、设a＞0为常数，xn=xn.标准答案：当0＜a＜1时0＜xn＜an，an=0；当a=1时xn==0；当a＞1时0＜xn＜=0．因此xn=0．知识点解析：暂无解析17、设(x-3sin3x+ax-2+b)=0，试确定常数a，b的值．标准答案：由题设知利用(*)，一方面有另一方面，直接计算又有这表明3+a=0a=-3．将a=-3代入(*)式，即得故b=．综合得a=-3，b=知识点解析：暂无解析18、讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：标准答案：(Ⅰ)这是初等函数，它在定义域(x2≠1)上连续．因此，x≠±1时均连续．x=±1时，故x=1是第一类间断点(跳跃的)．又，故x=-1也是第一类间断点(可去)．x≠±1时，｜x｜＜1与｜x｜＞1分别与某初等函数相同，故连续．x=±1时均是第一类间断点(跳跃间断点)．因左、右极限均，不相等．(Ⅲ)在区间(0，+∞)，[-1，0)上函数)，分别与某初等函数相同，因而连续．在x=0处y无定义，(Ⅳ)f(x)=是初等函数，在(0，2π)内f(x)有定义处均连续．仅在无定义处及=0处f(x)不连续．在(0，2π)内因此f(x)的间断点是：[*.为判断间断点类型，考察间断点处的极限：是第二类间断点(无穷型的)．又是第一类间断点(可去型的)．(Ⅴ)先求f[g(x)]表达式．当x＞1，x＜1时，f[g(x)]分别与某初等函数相同，因而连续．当x=1时，分别求左、右极限故x=1为第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析19、设0＜x0＜1，xn+1=xn(2-xn)，求证：{xn}收敛并求xn.标准答案：令f(x)=x(2-x)，则xn+1=f(xn)．易知f’(x)=2(1-x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1x1=x0(2-x0)=1-(x0-1)2∈(0，1)．若xn∈(0，1)xn+1=xn(2-xn)∈(0，1)．又x1-x0=x0(1-x0)＞0{xn}单调上升且有界xn=a．由递归方程得a=a(2-a)．显然a＞0a=1．因此xn=1．知识点解析：暂无解析20、证明：标准答案：令取对数化乘积为和差知识点解析：暂无解析21、设，且f(x)～f’(x)，g(x)～g’(x)(x→a)．(Ⅰ)当x→a时f(x)与g(x)可比较，不等价，求证：f(x)-g(x)～f’(x)-g’(x)(x→a)；(Ⅱ)当0＜｜x-a＜δ时f(x)与f’(x)均为正值，求证：(其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等)．标准答案：(Ⅰ)考察极限因此，f(x)-g(x)-f*(x)-g*(x)(x→a)．(Ⅱ)再证知识点解析：暂无解析22、设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn为任意n个正数，求证：∈(a，b)，使得标准答案：依题设n个函数值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨设min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(x2)}=f(x2)，则f(x1)≤αif(xi)≤f(xn)．记η=αif(xi)，若η=f(x1)，则=x1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)，则=xn∈(a，b)，f(ξ)=η．若f(x1)＜η＜f(xn)，在x1与xn之间，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[a，b]连续，且∈[a，b]，总∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：∈[a，b]，使得f(ξ)=0．标准答案：反证法．若在[a，b]上f(x)处处不为零，则f(x)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(x)＞0，x∈[a，b]，则x0∈[a，b]，f(x0)=．由题设，对此x0，∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤f(x0)=f(x0)＜f(x0)，与f(x0)是最小值矛盾．因此，∈[a，b]，使f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，+∞)连续，f(x)=A＞0，求证：∫0xf(t)dt=+∞．标准答案：因，由极限的不等式性质可知，，当x＞X时f(x)≥，则x＞X时有∫0xf(t)dt=∫0Xf(t)dt+∫Xxf(t)dt≥∫0Xf(t)dt+(x-X)，因此∫0xf(t)dt=+∞．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，+∞)连续，f(x)=A≠0，证明：∫01f(x)dx=A.标准答案：先作变量替换：∫01f(nx)dx=∫01f(nx)d(nx)∫0nf(t)dt．这是型数列极限．将它转化为型函数极限，便可用洛必达法则求之，即∫01f(nx)dx=∫0nf(t)dt=∫0xf(t)dt知识点解析：暂无解析考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、“f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的()条件．A、必要非充分B、充分非必要C、充要D、既非充分又非必要标准答案：B知识点解析：f(x)在x=a连续=>｜f(x)｜在x=a连续(｜｜f(x)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(x)－f(a)｜)．｜f(x)｜在x=a连续f(x)在x=a连续．如f(x)=｜f(x)｜=1，｜f(x)｜在x=a连续，但f(x)在x=a间断．因此，选B．2、设f(x)，g(x)在x=x0均不连续，则在x=x0处A、f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续．B、f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定．C、f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续．D、f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定．标准答案：D知识点解析：如：在x=0均不连续，但f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0在x=0均连续．又如：在x=0均不连续，而在x=0均不连续．因此选D．3、把当x→0+时的无穷小量α=tanx－x，β=∫0x(1－)dt，γ=－1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．标准答案：C知识点解析：即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除A与D．即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除B，即应选C．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)4、设有定义在(－∞，+∞)上的函数：则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是________；(Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是________．标准答案：B；D知识点解析：(Ⅰ)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=其中g(x)在(－∞，0]连续，h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])=>f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)=>f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))=>f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．B中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续=>g(x)在x=0连续．因此，B中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选B．(Ⅱ)关于A：由=>x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由=>x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证B中g(x)在x=0连续．因此选D．或直接考察D．由=>x=0是m(x)的第二类间断点．5、设=________．标准答案：12知识点解析：由题设及现利用等价无穷小因子替换6、1+x2－当x→0时是x的________阶无穷小(填数字)．标准答案：4知识点解析：由于因此当x→0时1+x2－是x的4阶无穷小．7、若=3，则=________．标准答案：5知识点解析：8、=________．标准答案：0知识点解析：当x＞0时，＜1，于是有而=0，故由夹逼定理可知=0．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)9、设f(x)=又a≠0，问a为何值时存在．标准答案：分别求右、左极限f(0+0)与f(0－0)，由f(0+0)=f(0－0)定出a值．由f(0+0)=f(0－0)，得a=π．因此，当且仅当a=π时，存在=π．知识点解析：暂无解析10、求标准答案：这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得ω==0×2=0．其中=0(用洛必达法则)．知识点解析：暂无解析11、求ω=标准答案：属型．先作恒等变形然后用等价无穷小因子替换：x→0时最后用洛必达法则得知识点解析：暂无解析12、求下列极限标准答案：(Ⅰ)注意：知识点解析：暂无解析13、求数列极限：(Ⅰ)(M＞0为常数)；(Ⅱ)设数列{xn}有界，求标准答案：(Ⅰ)存在自然数k，k≥M，使1＞＞…，当n＞k时，有即当n＞k时，有0＜是常数，且=0，由夹逼定理知=0．(Ⅱ)由于{xn}有界，故M＞0，对一切n有｜xn｜≤M．于是0＜，由题(Ⅰ)的结论及夹逼定理知知识点解析：暂无解析14、设x1=2，xn+1=2+，n=1，2，…，求标准答案：令f(x)=2+，则xn+1=f(xn)．显然f(x)在x＞0单调下降，因而由上面的结论可知{xn}不具单调性．易知，2≤xn≤．设=n，则由递归方程得a=2+，即a2－2a－1=0，解得a=，则由a≥2知a=+1＞2．现考察｜xn+1－a｜=因此，知识点解析：暂无解析15、设f(x)=，(Ⅰ)若f(x)处处连续，求a，b的值；(Ⅱ)若a，b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．标准答案：(Ⅰ)首先求出f(x)．注意到故要分段求出f(x)的表达式．当｜x｜＞1时，f(x)=当｜x｜＜1时，f(x)==ax2+bx．于是得其次，由初等函数的连续性知f(x)分别在(－∞，－1)，(－1，1)，(1，+∞)上连续．最后，只需考察f(x)在分界点x=±1处的连续性．这就要按定义考察连续性，分别计算：从而f(x)在x=1连续<=>(1+0)=f(1－0)=f(1)<=>a+b=1=(a+b+1)<=>a+b=1：f(x)在x=－1连续<=>(－1+0)=f(－1－0)=f(－1)<=>a－b=－1=(a－b－1)<=>a－b=－1．因此f(x)在x=±1均连续<=><=>a=0，b=1．当且仅当a=0，b=1时f(x)处处连续．(Ⅱ)当(a，b)≠(0，1)时，若a+b=1(则a－b≠－1)，则x=1是连续点，只有x=－1是间断点，且是第一类间断点；若a－b=－1(则a+b≠1)，则x=－1是连续点，只有间断点x=1，且是第一类间断点；若a－b≠－1目a+b≠1，则x=1，x=－1均是第一类间断点。知识点解析：暂无解析16、求极限ω=标准答案：属∞.0型．可化为型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限．知识点解析：暂无解析17、求标准答案：属型．先用等价无穷小关系arctan4x～x4(x→0)化简分母后再用洛必达法则得知识点解析：暂无解析18、已知=2，求a，b之值．标准答案：原式可改写成=2．由于该式成立，所以必有3－=0，即a=9．将a=9代入原式，并有理化得由此得b=－12．故a=9，b=－12．知识点解析：像这种类型(∞-∞)的极限，已知此待定式的极限存在且等于某一常数，要确定极限式中的参数a，b，一般有下列两种方法：方法1直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值；方法2。先提出∞因子，将∞-∞型化为∞.0型，然后由极限存在的条件定出极限式中所含参数之值．19、证明cosnxdx=0．标准答案：先对积分∫a1cosnxdx建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分．知识点解析：暂无解析20、求数列极限，其中xn=n[e(1+)－n－1]．标准答案：先用等价无穷小因子替换：于是现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得知识点解析：暂无解析21、设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限．证明：(Ⅰ)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得F(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)有界．标准答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形．(Ⅰ)由=A＜μ及极限的不等式性质可知，X1使得f(X1)＜μ．由=B＞μ可知，X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]连续，F(X1)＜μ＜f(X2)，由连续函数介值定理知(－∞，+∞)，使得F(ξ)=μ．(Ⅱ)因，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，X1使得当x∈(－∞，X1)时f(x)有界；X2(＞X1)使得当x∈(X2，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(－∞，+∞)上有界．知识点解析：暂无解析22、设xn+1=ln(1+xn)，x1＞0，标准答案：(Ⅰ)注意：x＞ln(1+x)(x＞0)，于是xn+1－xn=ln(1+xn)－xn＜0(n=1，2，3，…)=>{xn}↘有下界0=>极限=>a=ln(1+a)．又a＞0时a＞ln(1+a)，故a=0．知识点解析：暂无解析23、设=0，试确定常数a，b的值．标准答案：由题设知利用(*)，一方面有另一方面，直接计算又有这表明3+a=0<=>a=－3．将a=－3代入(*)式，即得知识点解析：暂无解析24、设0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求证：{xn}收敛并求标准答案：令f(x)=x(2－x)，则xn+1=f(xn)．易知f’(x)=2(1－x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1=>x1=x0(2－x0)=1－(x0－1)∈(0，1)．若xn∈(0，1)=>xn+1+1=xn(2－xn)∈(0，1)．undefined知识点解析：暂无解析25、设，且f(x)～f*(x)，g(x)～g*(x)(x→a)．(Ⅰ)当x→a时f(x)与g(x)可比较，不等价，求证：f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)；(Ⅱ)当0＜｜x－a｜＜δ时f(x)与f*(x)均为正值，求证：(其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等)．标准答案：(Ⅰ)考察极限因此，f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=0．标准答案：反证法．若在[a，b]上f(x)处处不为零，则f(x)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(x)＞0，x∈[a，b]，则．由题设，对此x0，y∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤＜f(x0)，与f(x0)是最小值矛盾．因此，ξ∈[a，b]，使f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[0，+∞)连续，=A≠0，证明：∫01f(nx)dx=A．标准答案：先作变量替换：这是型数列极限．将它转化为型函数极限，便可用洛必达法则求之，即知识点解析：暂无解析考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、A、0．B、－∞．C、+∞．D、不存在但也不是∞．标准答案：D知识点解析：因为，故要分别考察左、右极限．由于因此应选D．2、极限A、等于B、等于C、等于e－6．D、不存在．标准答案：A知识点解析：注意到=1，本题为1∞型．设f(x)=，则原极限=．而故原极限=，应选A．3、设数列xn，yn满足=0，则下列正确的是A、若xn发散，则yn必发散．B、若xn无界，则yn必有界．C、若xn有界，则yn必为无穷小．D、若为无穷小，则yn必为无穷小．标准答案：D知识点解析：直接考察．若为无穷小，则因此D成立．4、当n→∞时的A、高阶无穷小．B、低阶无穷小．C、等价无穷小．D、同阶但非等价无穷小．标准答案：D知识点解析：该题就是要计算极限因此选D．5、在中，无穷大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．标准答案：D知识点解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即．选D．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)6、设K，L，δ为正的常数，则=________．标准答案：KδL1－δ知识点解析：属1∞型极限．原式=，而因此，原式=7、已知=9，则a=________．标准答案：ln3知识点解析：8、arctan(x－lnx.sinx)=________．标准答案：知识点解析：x－lnx.sinx=，由于x→+∞时，，x－lnx.sinx→+∞，于是9、设=4，则a=________，b=________．标准答案：；1知识点解析：利用洛必达法则可得又当a≠0时三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)10、求极限标准答案：属1∞型．ω==2e．知识点解析：暂无解析11、求标准答案：属∞-∞型．先通分化成型未定式，则有ω=直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明ln(x+)～x(x→0)．因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用ln(1+x)～x(x→0)就有知识点解析：暂无解析12、求数列极限标准答案：由(n→∞)．用等价无穷小因子替换得引入函数f(x)=(x＞0)，则知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[0，1]上连续，求∫01xnf(x)dx．标准答案：因为∫01xnf(x)dx=，且连续函数｜f(x)｜在[0，1]存在最大值记为M，于是知识点解析：暂无解析14、求ω=标准答案：x→0时，t=(1+x)x－1=0，则(1+x)x－1=t～ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得ω==1．知识点解析：暂无解析15、求极限．标准答案：恒等变形：分子、分母同乘，然后再同除x2，得知识点解析：暂无解析16、求极限ω=标准答案：属∞-∞型．先作变量替换并转化成型未定式，然后用洛必达法则．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，+∞)连续，且满足标准答案：先作恒等变形转化为求型极限，然后用洛必达法则．知识点解析：暂无解析18、确定常数a，b，c的值，使=4．标准答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1－e－2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=－2，c=0．知识点解析：暂无解析19、求标准答案：记是f(x)=tanx在[0，1]区间上的一个积分和．由于f(x)在[0．1]上连续，故可积，于是因此，我们对xn用适当放大缩小法，将求转化为求积分和的极限．因又于是由夹逼定理得=－lncos1．知识点解析：暂无解析20、当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：(Ⅰ)(Ⅱ)(1+tan2x)sinx－1；(Ⅲ)(Ⅳ)∫0xsint.sin(1－cost)2dt．标准答案：(Ⅰ)－1～x4－2x2～－2x2(x→0)，即当x→0时－1是x的2阶无穷小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx－1～ln[(1+tan2x)sinx－1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x.x2=x3(x→0)，即当x→0时(1+tan2x)sinx－1是x的3阶无穷小，故n=3．(Ⅲ)由是x的4阶无穷小，即当x→0时是x的4阶无穷小，故n=4．即当x→0时∫0xsintsin(1－cost)2dt是x的6阶无穷小，故n=6．知识点解析：暂无解析21、设讨论y=f[g(x)]的连续性，若有间断点并指出类型．标准答案：先写出f[g(x)]的表达式，考察g(x)的值域：当x≠1，2，5时f[g(x)]分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续．当x=2，5时，分别由左、右连续得连续．当x=1时，，从而f[g(x)]在x=1不连续且是第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析22、设a＞0为常数，xn=标准答案：当0＜a＜1时0＜xn＜an，=0；当a=1时当a＞1时0＜xn＜因此=0．知识点解析：暂无解析23、讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：标准答案：(Ⅰ)这是初等函数，它在定义域(x2≠1)上连续．因此，x≠±1时均连续．x=±1时，故x=1是第一类间断点(跳跃的)．又，故x=－1也是第一类间断点(可去)．(Ⅱ)先求极限函数．注意x≠±1时，｜x｜＜1与｜x｜＞1分别与某初等函数相同，故连续．x=±1时均是第一类间断点(跳跃间断点)．因左、右极限均，不相等．(Ⅲ)在区间(0，+∞)，[－1，0)上函数y分别与某初等函数相同，因而连续．在x=0处y无定义，=>x=0是第一类间断点(可去间断点)．(Ⅳ)f(x)=是初等函数，在(0，2π)内f(x)有定义处均连续．仅在无定义处及=0处f(x)不连续。(Ⅴ)先求f[g(x]表达式．当x＞1，x＜1时，f[g(x)]分别与某初等函数相同，因而连续．当x=1时，分别求左、右极限故x=1为第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析24、证明：标准答案：取对数化乘积为和差知识点解析：暂无解析25、设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn为任意n个正数，求证：ξ∈(a，b)，使得标准答案：依题设n个函数值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨设min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(xn)}=f(xn)，若f(x1)＜η＜f(xn)，ξ在x1与xn之间，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，+∞)连续，=A＞0，求证：∫0xf(t)dt=+∞．标准答案：因，由极限的不等式性质可知，，则x＞X时有∫0xf(t)dt=∫0Xf(t)dt+∫Xxf(t)dt≥∫0Xf(t)dt+(x－X)，因此∫0xf(t)dt=+∞．知识点解析：暂无解析考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷第4套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设有定义在(-∞，+∞)上的函数：则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是________.A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：(Ⅰ)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=其中g(x)在(-∞，0]连续，h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(-∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx-1)｜x=0，又sinx，cosx-1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(-∞，+∞)连续．应选(B)．2、设有定义在(-∞，+∞)上的函数：以x=0为第二类间断点的函数是________．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由x=0是m(x)的第二类间断点．3、极限A、等于B、等于C、等于e-6．D、不存在．标准答案：A知识点解析：注意到，本题为1∞型．设f(x)=[*，则原极限=．而故原极限=，应选(A)．4、设f(x)在x=a处连续，φ(x)在x=a处间断，又f(a)≠0，则A、φ[f(x)]在x=a处间断．B、f[φ(x)]在x=a处间断．C、[φ(x)]2在x=a处间断．D、在x=a处间断．标准答案：B知识点解析：连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对．不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选(D)．5、“f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的()条件．A、必要非充分.B、充分非必要.C、充分必要.D、既非充分又非必要.标准答案：B知识点解析：f(x)在x=a连续｜f(x)｜在x=a连续(｜｜f(x)｜-｜f(a)｜｜≤｜f(x)-f(a)｜)．｜f(x)｜在x=a连续f(x)在x=a连续．如f(x)=｜f(x)｜=1，｜f(x)｜在x=a连续，但f(x)在x=a间断．因此，选(B)．6、设数列xn，yn满足xnyn=0，则下列正确的是A、若xn发散，则yn必发散．B、若xn无界，则yn必有界．C、若xn有界，则yn必为无穷小．D、若为无穷小，则yn必为无穷小．标准答案：D知识点解析：举例说明(A)，(B)，(C)不正确．xn：0，1，0，2，0，3，……发散，yn：0，0，0，0，0，0，……收敛，xnyn=0．(A)不正确．xn：0，1，0，2，0，3，……无界，yn：1，0，2，0，3，0，……无界，xnyn=0．(B)不正确．xn：0，1，0，1，0，1，……有界，yn：1，0，1，0，1，0，……不是无穷小，xnyn=0．(C)不正确．因此，选(D)．7、f(x)=xsinxA、在(-∞，+∞)内有界．B、当x→+∞时为无穷大．C、在(-∞，+∞)内无界．D、当x→∞时有极限．标准答案：C知识点解析：取xn=2nπ+∈(-∞，+∞)(n=1，2，3，…)，则f(xn)=→+∞(n→∞)．因此f(x)在(-∞，+∞)无界．选(C)．8、设f(x)，g(x)在x=x0均不连续，则在x=x0处A、f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续．B、f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定．C、f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续．D、(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定．标准答案：D知识点解析：如：在x=0均不连续，但f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0在x=0均连续．又如：在x=0均不连续，而f(x)+g(x)=在x=0均不连续．因此选(D)．9、当n→∞时的A、高阶无穷小．B、低阶无穷小．C、等价无穷小．D、同阶但非等价无穷小．标准答案：D知识点解析：该题就是要计算极限因此选(D)．10、设f(x)=，则下列结论(1)x=1为可去间断点．(2)x=0为跳跃间断点．(3)x=-1为无穷间断点．中正确的个数是A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：D知识点解析：f(x)=，c=0，±1是f(x)的间断点，按题意，要逐一判断这些间断点的类型．计算可得由于f(0+0)与f(0-0)存在但不相等，故x=0是f(x)的跳跃间断点．x=1是f(x)的可去间断点，又x=-1是f(x)的无穷间断点，因此选(D)．11、把x→0+时的无穷小量α=tanx-x，β=∫0x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小一，则正确的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．标准答案：C知识点解析：因即当x→+0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除(A)与(D)．又因即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除(B)，即应选(C)．12、在中，无穷大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．标准答案：D知识点解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选择该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即选(D)．二、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)13、设f(x)在[0，+∞)连续，且满足标准答案：先作恒等变形转化为求型极限，然后用洛必达法则．知识点解析：暂无解析14、(Ⅰ)设f(x)，g(x)连续，且，求证：无穷小∫0φ(x)f(t)dt～∫0φ(x)g(t)dt(x→a)；(Ⅱ)求w={∫0x3ln(1+2sint)dt／[f0xln(1+2sint)dt]3}．标准答案：(Ⅰ)由∫0φ(x)f(t)dt～∫0φ(x)g(t)dt(x→a).(Ⅱ)因ln(1+2sinx)～2sinx～2x(x→0)，由题(Ⅰ)∫0x3ln(1+2sint)dt～∫0x32tdt=t2｜0x3=x6，∫0xln(1+2sint)dt～∫0x2tdt=x2.因此，利用等价无穷小因子替换即得知识点解析：暂无解析15、已知，求a，b之值．标准答案：原式可改写成由于该式成立，所以必有，即a=9．将a=9代入原式，并有理化得由此得b=-12．故a=9，b=-12．知识点解析：暂无解析16、确定常数a，b，c的值，使=4．标准答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1-e-2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母∫cxdt→0，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=-2，c=0．知识点解析：暂无解析17、求xn，其中xn=标准答案：作恒等变形后再作放大与缩小：于是又故由夹逼定理知知识点解析：暂无解析18、证明∫0ex2cosnxdx=0．标准答案：先对积分∫01ex2cosnxdx建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分．∫01ex2cosnxdx=∫01d(sinnx)=ex2sinnx｜01-∫012xex2sinnxdx=∫012xex2sinnxdx，于是｜∫01ex2cosnxdx｜≤∫01｜2xex2sinnx｜dx≤∫012edx因此∫01ex2cosnxdx=0．知识点解析：暂无解析19、求标准答案：记xn=是f(x)=tanx在[0，1]区间上的一个积分和．由于f(x)在[0，1]上连续，故可积，于是因此，我们对xn用适当放大缩小法，将求xn转化为求积分和的极限．因又于是由夹逼定理得xn=-lncos1．知识点解析：暂无解析20、设xn=xn.标准答案：先取对数化为和式的极限lnxn=ln(n2+i2)-4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则它是f(x)=ln(1+x2)在[0，2]区间上的一个积分和(对[0，2]区间作2n等分，每个小区间长)，则=∫02ln(1+x2)dx=xln(1+x2)｜02-∫02=2ln5-4+2arctan2．因此elnxn=e2ln5-4+2aretan2=25e-4+2arctan2．知识点解析：暂无解析21、求数列极限xn，其中xn=标准答案：先用等价无穷小因子替换：于是现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得知识点解析：暂无解析22、当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：(Ⅰ)ex4-2x2-1；(Ⅱ)(1+tan2x)sinx-1；(Ⅲ)(Ⅳ)∫0xsint.sin(1-cost)2dt．标准答案：(Ⅰ)ex4-2x2-1～x4-2x2～-2x2(x→0)，即当x→0时ex4-2x2-1是x的2阶无穷小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx-1～ln[(1+tan2x)sinx-1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x.x2=x3(x→0)，即当x→0时(1+tan2x)sinx-1是x的3阶无穷小，故n=3．(Ⅲ)由是x的4阶无穷小，即当x→时是x的4阶无穷小，故n=4．(Ⅳ)即当x→0时∫02sintsin(1-cost)2dt是x的6阶无穷小，故n=6.知识点解析：暂无解析23、设α＞0，β＞0为任意正数，当x→+∞时将无穷小量：，e-x按从低阶到高阶的顺序排列．标准答案：先考察再考察因此，当x→+∞时，按从低阶到高阶的顺序排列为，e-x．知识点解析：暂无解析24、设讨论y=f[g(x)]的连续性，若有间断点并指出类型．标准答案：先写出f[g(x)]的表达式．考察g(x)的值域：当x≠1，2，5时f[g(x)]分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续．当x=2，5时，分别由左、右连续得连续．当x=1时，，从而f[g(x)]在x=1不连续且是第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，1]连续，且f(0)=f(1)，证明：在[0，1]上至少存在一点ξ，使得标准答案：即证：存在零点．因f(x)在[0，1]连续，所以F(x)=f(x)-连续．事实上，我们要证：F(x)在存在零点(只需证F(x)在有两点异号)．考察于是中或全为0，或至少有两个值是异号的，于是由连续函数介值定理，，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=知识点解析：暂无解析26、设f(x)在(-∞，+∞)连续，存在极限证明：(Ⅰ)设A＜B，则对∈(A，B)，∈(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(-∞，+∞)有界．标准答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形．(Ⅰ)由f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，X1使得f(X1)＜μ．由f(x)=B＞μ可知，X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]连续，f(X1)＜μ＜f(X2)，由连续函数介值定理知∈(X1，X2)(-∞，+∞)，使得f(ξ)=μ．(Ⅱ)因，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，X1使得当∈(-∞，X1)时f(x)有界；X2(＞X1)使得当x∈(X2，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(-∞，+∞)上有界．知识点解析：暂无解析考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷第5套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、A、0．B、-∞．C、+∞．D、不存在但也不是∞．标准答案：D知识点解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选D．2、设f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A、高阶无穷小．B、低阶无穷小．C、同阶非等价无穷小．D、等阶无穷小．标准答案：C知识点解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选C．二、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)3、(Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限xn=A，yn=B，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．标准答案：(Ⅰ)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜B．例如，xn=，yn=，则xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U0(c，δ)={x｜0＜｜x-c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为，由存在极限的函数的局部有界性使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．知识点解析：暂无解析4、设f(x)=又a≠0，问a为何值时存在．标准答案：f(0+0)==π．f(0-0)==1.a.1=a(a≠0)，由f(0+0)=f(0-0)，得a=π．因此，当且仅当a=π时，存=π．知识点解析：暂无解析5、证明：(Ⅰ)不存在；(Ⅱ)设f(x)=不存在．标准答案：(Ⅰ)取xn=，yn=，则均有xn→0，yn→0(n→∞)，但不存在．(Ⅱ)已知f(x)=，其中g(x)=∫0xcost2dt，由于而不存在．知识点解析：暂无解析6、求标准答案：这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得其中(用洛必达法则)．知识点解析：暂无解析7、求极限标准答案：属1∞型．w==2.e20=2e．知识点解析：暂无解析8、求下列极限：标准答案：(Ⅰ)注意x→0时，x2(1-cosx)～x4，ex4-1～x4w==4．(Ⅱ)因为x3(x→0)，ln(1+2x3)～2x3(x→0)，所以知识点解析：暂无解析9、求标准答案：属型．先作恒等变形然后用等价无穷小因子替换：x→0时sin3x3～x3，x2-sin2x．于是最后用洛必达法则得知识点解析：暂无解析10、求标准答案：属∞-∞型．先通分化成型未定式，则有直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明～x(x→)．因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用ln(1+x)～x(x→0)就有知识点解析：暂无解析11、求标准答案：这是1∞型的．对于幂指数型未定式，总可先用公式uv=evlnu，然后再用洛必达法则，并注意arctanx～x(x→0)．由于，而因此知识点解析：暂无解析12、求下列极限f(x)：标准答案：(Ⅰ)注意：因此(Ⅱ)由于因此知识点解析：暂无解析13、求数列极限标准答案：由(n→∞)．用等价无穷小因子替换得引入函数f(x)=(x＞0)，则知识点解析：暂无解析14、设xn=xn.标准答案：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小．注意，已知因此xn=1．知识点解析：暂无解析15、求数列极限：(Ⅰ)(M＞0为常数)；(Ⅱ)设数列{xn}有界，求标准答案：(Ⅰ)存在自然数k，k≥M，使，当n＞k时，有即当n＞k时，有是常数，且，由夹逼定理知(Ⅱ)由于{xn}有界，故M＞0，对一切n有｜xn｜≤M．于是，由题(Ⅰ)的结论及夹逼定理知知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上连续，求∫01xnf(x)dx．标准答案：因为∫01xndx=，且连续函数｜f(x)｜在[0，1]存在最大值记为M，于是｜∫01xnf(x)dx｜≤∫01xn｜f(x)｜dx≤M∫01xndx=又∫01xnf(x)dx=0．知识点解析：暂无解析17、设a1＞0，an+1=(n=1，2，…)，求an.标准答案：显然，0＜an＜3(n=2，3，…)，于是{an}有界．令f(x)=，则an+1=f(an)，f’(x)=(x＞0)．于是f(x)在x＞0单调上升，从而{an}是单调有界的，故极限an存在．令an=A，对递归方程取极限得知识点解析：暂无解析18、设x1=2，xn+1=2+，n=1，2，…，求xn.标准答案：令f(x)=2+，则xn+1=f(xn)．显然f(x)在x＞0单调下降，因而由上面的结论可知{xn}不具单调性．易知，2≤xn≤xn=a，则由递归方程得a=2+，即a2-2a-1=0，解得现考察因此知识点解析：暂无解析19、求标准答案：x→0时，t=(1+x)x-1→0，则(1+x)x-1=t～ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得知识点解析：暂无解析20、设(x)=(Ⅰ)若f(x)处处连续，求a，b的值；(Ⅱ)若a，b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．标准答案：(Ⅰ)首先求出f(x)．注意到故要分段求出f(x)的表达式．当｜x｜＞1时，当｜x｜＜1时，=ax2+bx．于是得其次，由初等函数的连续性知f(x)分别在(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)上连续．最后，只需考察f(x)在分界点x=±1处的连续性．这就要按定义考察连续性，分别计算：从而f(x)在x=1连续f(1+0)=f(1-0)=f(1)a+b=1=(a+b+1)a+b=1；f(x)在x=-1连续f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1)a-b=-1=(a-b-1)a-b=-1．因此f(x)在x=±1均连续a=0，b=1．当且仅当a=0，b=1时f(x)处处连续．(Ⅱ)当(a，b)≠(0，1)时，若a+b=1(则a-b≠-1)，则x=1是连续点，只有x=-1是间断点，且是第一类间断点；若a-b=-1(则a+b≠1)，则x=-1是连续点，只有间断点x=1，且是第一类间断点；若a-b≠-1且a+b≠1，则x=1，x=-1均是第一类间断点．知识点解析：暂无解析21、求极限.标准答案：恒等变形：分子、分母同乘然后再同除x2，得知识点解析：暂无解析22、求极限标准答案：这是求型极限，用洛必达法则得知识点解析：暂无解析23、求极限标准答案：属∞.0型．可化为型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限．知识点解析：暂无解析24、求极限标准答案：属∞-∞型．先作变量替换并转化成型未定式，然后用洛必达法则．知识点解析：暂无解析25、求下列极限：标准答案：(Ⅰ)属00型.一般方法．因此=e0=1．其中(Ⅱ)属∞0型．因此e=e-1．(Ⅲ)属∞0型．利用恒等变形及基本极限可得=1．20=1．知识点解析：暂无解析26、求标准答案：属型．先用等价无穷小关系arctan4x～x(x→0)化简分母后再用洛必达法则得知识点解析：暂无解析考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷第6套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A、高阶无穷小．B、低阶无穷小．C、同阶非等价无穷小．D、等阶无穷小．标准答案：C知识点解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选C．2、设f(x)在x=a处连续，φ(x)在x=a处间断，又f(a)≠0，则A、φ[f(x)]在x=a处间断．B、f[φ(x)]在x=a处间断．C、[φ(x)]2在x=a间断．D、在x=a处间断．标准答案：D知识点解析：连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故A，B不对．不连续函数的相乘可能连续，故C也不对，因此，选D．3、f(x)=xsinxA、在(－∞，+∞)内有界．B、当x→+∞时为无穷大．C、在(－∞，+∞)内无界．D、当→∞时有极限．标准答案：C知识点解析：取xn=2nπ+∈(－∞，+∞)(n=1，2，3，…)，则f(xn)=→+∞(n→∞)．因此f(x)在(－∞，+∞)无界．选C．4、设f(x)=，则下列结论(1)x=1为可去间断点．(2)x=0为跳跃间断点．(3)x=－1为无穷间断点．中正确的个数是A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：D知识点解析：f(x)=，x=0，±1是f(x)的间断点，按题意，要逐一判断这些间断点的类型．计算可得由于f(0+0)与f(0－0)存在但不相等，故x=0是f(x)的跳跃间断点．x=1是f(x)的可去间断点，又x=－1是f(x)的无穷间断点，因此选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、标准答案：3知识点解析：原式==3+0=3．6、设f(x)=在点x=0处连续，则常数a=________．标准答案：－2知识点解析：f(x)在x=0连续<=>=f(0)．由于因此a=－2．7、=________．标准答案：3知识点解析：本题属“∞0”型未定式．数列极限不能直接用洛必达法则．如用，得先转化成连续变量的极限，利用求得，但比较麻烦．事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即8、=________．标准答案：1知识点解析：本题属“00”型未定式．利用基本极限=1及重要极限=1即得9、函数f(x)=的连续区间是________．标准答案：(－∞，1)∪(1，+∞)知识点解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区