6.4.3.2正弦定理教学设计课件高一下学期数学人教A版

正弦定理教学设计内容教学目的1.通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的角和定理解斜三角形的两类问题。2.引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜测，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为的解决问题的能力。教学重点难点教学重点：1.正弦定理的探索和证明及其根本应用。教学难点：1.正弦定理的证明。

2.了解两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。教学过程一、情境导入思考一下：（1）在△ABC中，若A＝30°，B＝45°，AC＝4，你还能直接运用余弦定理求出边BC吗？（2）在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？我们看一段动画来了解一下边与角之间的关系吧！（播放动画）二、定理推导因此我们由那视频可以得出：sinA=ac；sinB=bc显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立。观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得：asinA=又因为sinC=sin90°=1，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即：asinA=bsin思考一下：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦。如何实现转化?由诱导公式cos(π/2a)=sina可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系。接下来我们一起推导一下吧！利用向量法证明正弦定理如图，△ABC为锐角三角形，过点A作与eq\o(AC,\s\up15(→))垂直的单位向量j，则j与eq\o(AB,\s\up15(→))的夹角为eq\f(π,2)－A，j与eq\o(CB,\s\up15(→))的夹角为eq\f(π,2)－C。因为eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))，所以j·(eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→)))＝j·eq\o(AB,\s\up15(→))。由分配律，得j·eq\o(AC,\s\up15(→))＋j·eq\o(CB,\s\up15(→))＝j·eq\o(AB,\s\up15(→))，即|j||eq\o(AC,\s\up15(→))|coseq\f(π,2)＋|j||eq\o(CB,\s\up15(→))|cos(eq\f(π,2)－C)＝|j||eq\o(AB,\s\up15(→))|cos(eq\f(π,2)－A)，也即asinC＝csinA，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)。同理，过点C作与eq\o(CB,\s\up15(→))垂直的单位向量m，可得eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)。因此eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).在钝角三角形中的这个边角关系成立吗？【提示】成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝角。过点A作与eq\o(AC,\s\up15(→))垂直的单位向量j,则j与eq\o(AB,\s\up15(→))的夹角为Aπ/2,j与eq\o(CB,\s\up15(→))的夹角为π/2C.仿照上述方法，同样可得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).正弦定理：条件：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)文字叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方法吗？利用三角形的高证明正弦定理当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有CD=asinB，CD=bsinA。由此，得a/sinA=b/sinB，同理可得c/sinC=b/sinB，故有a/sinA=b/sinB=c/sinC.从而这个结论在锐角三角形中成立。(2)当△ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有CD=asin∠CBD=asin∠ABC，CD=bsinA。由此，可得a/sinA=b/sin∠ABC=c/sinC.由（1）（2）可知，在△ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC成立。从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC我们除了以上两种方法，还有哪些证明方法呢？1.利用三角形的面积证明正弦定理。2.利用三角形的外接圆证明正弦定理。练一练在△ABC中，若A＝30°，B＝45°，AC＝4，请你用正弦定理来求出边BC的长？解：已知：A＝30°