专题8.7空间向量及其运算和空间位置关系2

专题8.7空间向量及其运算和空间位置关系【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．知识点知识点一平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合平行于同一个平面的向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，向量a为直线l的方向向量或在直线l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))知识点知识点二数量积的性质设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；θ＝π时，a与b反向．②a⊥b⇔θ＝eq\f(π,2)⇔a·b＝0．③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π．④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝π时，a·b＝－|a|·|b|．⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出a⊥(b－c)．⑥a·b＝0eq\o(⇒,/)a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝0．⑦不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)c≠a(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线．知识点知识点三空间向量基本定理(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．(2)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标不同，在同一基底下的坐标相同．知识点知识点四空间向量的正交分解及其坐标表示设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz．对于空间任意一个向量p一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3．我们把x、y、z称作向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．知识点知识点五用向量描述空间平行关系设空间两条直线l、m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，两个平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l∥ma∥ba＝kb，k∈Ra1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3l∥αa⊥ua·u＝0a1u1＋a2u2＋a3u3＝0u∥vα∥βu∥vu＝kv，k∈Ru1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3知识点知识点六用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.知识点知识点七共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．常考题型剖析常考题型剖析题型一：空间向量的运算【典例分析】例11．（2001·全国·高考真题）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）．A． B．C． D．例12.（2023秋·广东广州·高二广州市第一中学校考阶段练习）如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（

）A． B．C． D．【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．【变式训练】变式11.（安徽·高考真题）在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则．（用、、表示）变式12.（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥O­ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（）A． B．C． D．题型二：共线(共面)向量定理的应用例21.【多选题】（2023秋·河北沧州·高二校联考阶段练习）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（

）A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C．若，，则D．若所在直线两两共面，则共面例22.（2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱柱中，，．(1)当时，试用表示；(2)证明：四点共面；【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))【变式训练】变式21.（2022·全国·高三专题练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有．①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则；②若非零向量、、满足，，则有；③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面；④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底．变式22.（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．题型三：空间向量数量积及其应用【典例分析】例31.【多选题】（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（

）A．、、、四点可以共面B．C．D．例32.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.（1）试用，，表示向量；（2）求BM的长.【规律方法】空间向量数量积的应用【变式训练】变式31.（2023·江苏淮安·统考模拟预测）在四面体中，，，，，则的值为（

）A．7 B．9 C．11 D．13变式32.【多选题】（2023秋·福建莆田·高三莆田八中校考阶段练习）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．题型四：空间向量的坐标运算例41.【多选题】（2021·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面例42.（江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．【变式训练】变式41.（宁夏·高考真题（理））已知向量，且，则____________．变式42.（2017·全国·高考真题）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________题型五：利用空间向量证明平行【典例分析】例51.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（

）A．对任意点，则有、、、四点共面B．存在点，使得、、、四点共面C．对任意点，则有平面D．存在点，使得平面例52.（2022·全国·高三专题练习）如图，已知为空间的9个点，且，，求证：（1）四点共面，四点共面；（2）；（3）.【规律方法】利用空间向量证明平行的方法1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题【变式训练】变式51.已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．变式52.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.题型六：利用空间向量证明垂直【典例分析】例61.（2022·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面例62.（河南省部分地区联考20232024学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题）已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（

）A． B．C． D．【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示【变式训练】变式61.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面变式62．（2023·全国·高二随堂练习）在空间四边形ABCD中，已知，，求证：．题型七：空间距离、角的简单计算【典例分析】例71.（2001·全国·高考真题）正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（

）A．60° B．90° C．45° D．120°例72.（2023秋·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为.【变式训练】变式71.（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（

）A． B． C． D．变式72．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为．一、单选题1.（2023秋·福建莆田·高三校考开学考试）设，向量，，且，则（

）A． B． C．3 D．42（2022·全国·高三专题练习）正方体分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2023秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考阶段练习）已知空间向量两两夹角均为，且两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（

）A． B． C．0 D．二、多选题5．（2023秋·四川眉