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2023-2024学年湖北省襄阳市襄阳四中学中考联考数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列各式中的变形,错误的是(()A.2-3x=-23x B.-b2.如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为()A. B. C. D.3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=35°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=()A.35° B.60° C.70° D.70°或120°4.下列手机手势解锁图案中,是轴对称图形的是()A. B. C. D.5.计算tan30°的值等于()A.3B.33C.336.一列动车从A地开往B地,一列普通列车从B地开往A地,两车同时出发,设普通列车行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),如图中的折线表示y与x之间的函数关系.下列叙述错误的是()A.AB两地相距1000千米B.两车出发后3小时相遇C.动车的速度为D.普通列车行驶t小时后,动车到达终点B地,此时普通列车还需行驶千米到达A地7.如图所示,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么∠EFC′的度数为()A.115° B.120° C.125° D.130°8.如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE,若∠ABC=30°,则∠D为()A.85° B.75° C.60° D.30°9.已知圆锥的侧面积为10πcm2,侧面展开图的圆心角为36°,则该圆锥的母线长为()A.100cm B.cm C.10cm D.cm10.已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从A出发,沿AD边以1cm/s的速度运动,动点Q从B出发,沿BC,CD边以2cm/s的速度运动,点P,Q同时出发,运动到点D均停止运动,设运动时间为x(秒),△BPQ的面积为y(cm2),则y与x之间的函数图象大致是()A. B. C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.若|a|=2016,则a=___________.12.已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2,则x1+x2﹣x1•x2的值为______.13.一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为-1,则另一个根为.14.若x2+kx+81是完全平方式,则k的值应是________.15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其顶点坐标为(,﹣2);⑤当x<时,y随x的增大而减小;⑥a+b+c>0中,正确的有______.(只填序号)16.已知x1,x2是方程x2-3x-1=0的两根,则=______.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=mx+b(m≠0)交于点A(1,2k﹣1).求反比例函数的解析式;若一次函数与x轴交于点B,且△AOB的面积为3,求一次函数的解析式.18.(8分)如图,在Rt△ABC中,CD,CE分别是斜边AB上的高,中线,BC=a,AC=b.若a=3,b=4,求DE的长;直接写出:CD=(用含a,b的代数式表示);若b=3,tan∠DCE=,求a的值.19.(8分)如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,垂足为点B,连接CO并延长交⊙O于点D、E,连接AD并延长交BC于点F.(1)试判断∠CBD与∠CEB是否相等,并证明你的结论;(2)求证:(3)若BC=AB,求tan∠CDF的值.20.(8分)某校学生会准备调查六年级学生参加“武术类”、“书画类”、“棋牌类”、“器乐类”四类校本课程的人数.(1)确定调查方式时,甲同学说:“我到六年级(1)班去调查全体同学”;乙同学说:“放学时我到校门口随机调查部分同学”;丙同学说:“我到六年级每个班随机调查一定数量的同学”.请指出哪位同学的调查方式最合理.类别频数(人数)频率武术类0.25书画类200.20棋牌类15b器乐类合计a1.00(2)他们采用了最为合理的调查方法收集数据,并绘制了如图所示的统计表和扇形统计图.请你根据以上图表提供的信息解答下列问题:①a=_____,b=_____;②在扇形统计图中,器乐类所对应扇形的圆心角的度数是_____;③若该校六年级有学生560人,请你估计大约有多少学生参加武术类校本课程.21.(8分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点O是BC上一点.尺规作图:作⊙O,使⊙O与AC、AB都相切.(不写作法与证明,保留作图痕迹)若⊙O与AB相切于点D,与BC的另一个交点为点E,连接CD、DE,求证:DB22.(10分)如图所示,PB是⊙O的切线,B为切点,圆心O在PC上,∠P=30°,D为弧BC的中点.(1)求证:PB=BC;(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.23.(12分)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.(1)求证:四边形ABED是菱形;(2)若∠ABC=60°,CE=2BE,试判断△CDE的形状,并说明理由.24.现有四张分别标有数字1、2、2、3的卡片,他们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀,从中随机抽出一张后放回,再背朝上洗匀,从中随机抽出一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率()A. B. C. D.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】
根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数(整式),分式的值不变,可得答案.【详解】A、2-3B、分子、分母同时乘以﹣1,分式的值不发生变化,故B正确;C、分子、分母同时乘以3,分式的值不发生变化,故C正确;D、yx≠y故选:D.【点睛】本题考查了分式的基本性质,分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数(整式),分式的值不变.2、D【解析】
过C点作CD⊥AB,垂足为D,根据旋转性质可知,∠B′=∠B,把求tanB′的问题,转化为在Rt△BCD中求tanB.【详解】过C点作CD⊥AB,垂足为D.根据旋转性质可知,∠B′=∠B.在Rt△BCD中,tanB=,∴tanB′=tanB=.故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质,旋转后对应角相等;三角函数的定义及三角函数值的求法.3、D【解析】
①当点B落在AB边上时,根据DB=DB1,即可解决问题,②当点B落在AC上时,在RT△DCB2中,根据∠C=90°,DB2=DB=2CD可以判定∠CB2D=30°,由此即可解决问题.【详解】①当点B落在AB边上时,∵DB=DB∴∠B=∠DB∴m=∠BDB②当点B落在AC上时,在RT△DCB∵∠C=90°,DB∴∠CB∴m=∠C+∠CB故选D.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质,解题关键是考虑多种情况,进行分类讨论.4、D【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断.【详解】A.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,所以A错误;B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,所以B错误;C.是中心对称图形,不是轴对称图形,所以C错误;D.是轴对称图形,不是中心对称图形,所以D正确.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义,熟练掌握定义是本题解题的关键.5、C【解析】tan30°=336、C【解析】
可以用物理的思维来解决这道题.【详解】未出发时,x=0,y=1000,所以两地相距1000千米,所以A选项正确;y=0时两车相遇,x=3,所以B选项正确;设动车速度为V1,普车速度为V2,则3(V1+V2)=1000,所以C选项错误;D选项正确.【点睛】理解转折点的含义是解决这一类题的关键.7、C【解析】分析:由已知条件易得∠AEB=70°,由此可得∠DEB=110°,结合折叠的性质可得∠DEF=55°,则由AD∥BC可得∠EFC=125°,再由折叠的性质即可得到∠EFC′=125°.详解:∵在△ABE中,∠A=90°,∠ABE=20°,∴∠AEB=70°,∴∠DEB=180°-70°=110°,∵点D沿EF折叠后与点B重合,∴∠DEF=∠BEF=∠DEB=55°,∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DEF+∠EFC=180°,∴∠EFC=180°-55°=125°,∴由折叠的性质可得∠EFC′=∠EFC=125°.故选C.点睛:这是一道有关矩形折叠的问题,熟悉“矩形的四个内角都是直角”和“折叠的性质”是正确解答本题的关键.8、B【解析】分析:先由AB∥CD,得∠C=∠ABC=30°,CD=CE,得∠D=∠CED,再根据三角形内角和定理得,∠C+∠D+∠CED=180°,即30°+2∠D=180°,从而求出∠D.详解:∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC=30°,又∵CD=CE,∴∠D=∠CED,∵∠C+∠D+∠CED=180°,即30°+2∠D=180°,∴∠D=75°.故选B.点睛:此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理,解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C,再由CD=CE得出∠D=∠CED,由三角形内角和定理求出∠D.9、C【解析】
圆锥的侧面展开图是扇形,利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长.【详解】设母线长为R,则圆锥的侧面积==10π,∴R=10cm,故选C.【点睛】本题考查了圆锥的计算,熟练掌握扇形面积是解题的关键.10、B【解析】
根据题意,Q点分别在BC、CD上运动时,形成不同的三角形,分别用x表示即可.【详解】(1)当0≤x≤2时,BQ=2x当2≤x≤4时,如下图由上可知故选:B.【点睛】本题是双动点问题,解答时要注意讨论动点在临界两侧时形成的不同图形,并要根据图形列出函数关系式.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、±1【解析】试题分析:根据零指数幂的性质(),可知|a|=1,座椅可知a=±1.12、1【解析】解:根据题意可得x1+x2==5,x1x2==2,∴x1+x2﹣x1x2=5﹣2=1.故答案为:1.点睛:本题主要考查了根据与系数的关系,利用一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系:x1+x2=,x1x2=是解题的关键.13、-1.【解析】
因为一元二次方程的常数项是已知的,可直接利用两根之积的等式求解.【详解】∵一元二次方程x2+mx+1=0的一个根为-1,设另一根为x1,由根与系数关系:-1•x1=1,解得x1=-1.故答案为-1.14、±1【解析】试题分析:利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值.解:∵x2+kx+81是完全平方式,∴k=±1.故答案为±1.考点:完全平方式.15、①②③⑤【解析】
根据图象可判断①②③④⑤,由x=1时,y<0,可判断⑥【详解】由图象可得,a>0,c<0,b<0,△=b2﹣4ac>0,对称轴为x=∴abc>0,4ac<b2,当时,y随x的增大而减小.故①②⑤正确,∵∴2a+b>0,故③正确,由图象可得顶点纵坐标小于﹣2,则④错误,当x=1时,y=a+b+c<0,故⑥错误故答案为:①②③⑤【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.16、﹣1.【解析】试题解析:∵,是方程的两根,∴、,∴===﹣1.故答案为﹣1.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)y=;(2)y=﹣或y=【解析】试题分析:(1)把A(1,2k-1)代入y=即可求得结果;
(2)根据三角形的面积等于3,求得点B的坐标,代入一次函数y=mx+b即可得到结果.试题解析:(1)把A(1,2k﹣1)代入y=得,2k﹣1=k,∴k=1,∴反比例函数的解析式为:y=;(2)由(1)得k=1,∴A(1,1),设B(a,0),∴S△AOB=•|a|×1=3,∴a=±6,∴B(﹣6,0)或(6,0),把A(1,1),B(﹣6,0)代入y=mx+b得:,∴,∴一次函数的解析式为:y=x+,把A(1,1),B(6,0)代入y=mx+b得:,∴,∴一次函数的解析式为:y=﹣.所以符合条件的一次函数解析式为:y=﹣或y=x+.18、(1);(2);(3).【解析】
(1)求出BE,BD即可解决问题.(2)利用勾股定理,面积法求高CD即可.(3)根据CD=3DE,构建方程即可解决问题.【详解】解:(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB=91°,a=3,b=4,∴.∵CD,CE是斜边AB上的高,中线,∴∠BDC=91°,.∴在Rt△BCD中,(2)在Rt△ABC中,∵∠ACB=91°,BC=a,AC=b,故答案为:.(3)在Rt△BCD中,,∴,又,∴CD=3DE,即.∵b=3,∴2a=9﹣a2,即a2+2a﹣9=1.由求根公式得(负值舍去),即所求a的值是.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,直角三角形斜边中线的性质,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.19、(1)∠CBD与∠CEB相等,证明见解析;(2)证明见解析;(3)tan∠CDF=.【解析】试题分析:(1)由AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,可得∠ADB=∠ABC=90°,由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°,从而可得∠A=∠CBD,结合∠A=∠CEB即可得到∠CBD=∠CEB;(2)由∠C=∠C,∠CEB=∠CBD,可得∠EBC=∠BDC,从而可得△EBC∽△BDC,再由相似三角形的性质即可得到结论;(3)设AB=2x,结合BC=AB,AB是直径,可得BC=3x,OB=OD=x,再结合∠ABC=90°,可得OC=x,CD=(-1)x;由AO=DO,可得∠CDF=∠A=∠DBF,从而可得△DCF∽△BCD,由此可得:==,这样即可得到tan∠CDF=tan∠DBF==.试题解析:(1)∠CBD与∠CEB相等,理由如下:∵BC切⊙O于点B,∴∠CBD=∠BAD,∵∠BAD=∠CEB,∴∠CEB=∠CBD,(2)∵∠C=∠C,∠CEB=∠CBD,∴∠EBC=∠BDC,∴△EBC∽△BDC,∴;(3)设AB=2x,∵BC=AB,AB是直径,∴BC=3x,OB=OD=x,∵∠ABC=90°,∴OC=x,∴CD=(-1)x,∵AO=DO,∴∠CDF=∠A=∠DBF,∴△DCF∽△BCD,∴==,∵tan∠DBF==,∴tan∠CDF=.点睛:解答本题第3问的要点是:(1)通过证∠CDF=∠A=∠DBF,把求tan∠CDF转化为求tan∠DBF=;(2)通过证△DCF∽△BCD,得到.20、(1)见解析;(2)①a=100,b=0.15;②144°;③140人.【解析】
(1)采用随机调查的方式比较合理,随机调查的关键是调查的随机性,这样才合理;
(2)①用喜欢书画类的频数除以喜欢书画类的频率即可求得a值,用喜欢棋牌类的人数除以总人数即可求得b值.②求得器乐类的频率乘以360°即可.③用总人数乘以喜欢武术类的频率即可求喜欢武术的总人数.【详解】(1)∵调查的人数较多,范围较大,∴应当采用随机抽样调查,∵到六年级每个班随机调查一定数量的同学相对比较全面,∴丙同学的说法最合理.(2)①∵喜欢书画类的有20人,频率为0.20,∴a=20÷0.20=100,b=15÷100=0.15;②∵喜欢器乐类的频率为:1﹣0.25﹣0.20﹣0.15=0.4,∴喜欢器乐类所对应的扇形的圆心角的度数为:360×0.4=144°;③喜欢武术类的人数为:560×0.25=140人.【点睛】本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.21、(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】
(1)利用角平分线的性质作出∠BAC的角平分线,利用角平分线上的点到角的两边距离相等得出O点位置,进而得出答案.(2)根据切线的性质,圆周角的性质,由相似判定可证△CDB∽△DEB,再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解:(1)如图,⊙O及为所求.(2)连接OD.∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB,∴∠ODB=90°,即∠1+∠2=90°,∵CE是直径,∴∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3,∵OC=OD,∴∠4=∠3,∴∠1=∠4,又∠B=∠B∴△CDB∽△DEB∴DB∴DB【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作
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