《对数函数的图像和性质》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数

《4.4.2对数函数的图像和性质》教学设计

【教材分析】

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章

第4.4.2节《对数函数的图像和性质》是高中数学在指数函数之后的重要初等函

数之一。对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及

性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感。

在类比推理的过程中，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想

象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养和

发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

1、掌握对数函数的图像和性质；能利用对数a.数学抽象：对数函数的性质；

函数的图像与性质来解决简单问题；b.逻辑推理：对数函数与指数函数的

2、经过探究对数函数的图像和性质，对数函关系；

数与指数函数图像之间的联系，对数函数内部C.数学运算：运用对数函数的性质比

的的联系。培养学生观察问题、分析问题和归较大小；

纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类d.直观想象：对数函数的图像；

比等基本数学思想方法。e.数学建模：运用对数函数解决实际

3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识问题；

事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学

应用的意识，探索数学。

【教学重难点】

教学重点：掌握对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系,

不同底数的对数函数图象之间的联系。

教学难点：对数函数的图像与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的

联系。

【教学过程】

教学过程设计意图

（一）、问题探究

思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？温故知

问题1.利用“描点法”作函数尸唾2》和y=1°g「的图像.新，通过对上

节指数函数问

\_题的回顾，提

X・・・124・・・

42

出新的问题，

・・・•••

y=iog2x2:-1012提出研究对数

函数图像与性

・・・-2・・・

2210-1

质的方法。培

函数的定义域为（0，­），取才的一些值，列表如下:

养和发展逻辑

推理和数学抽

象的核心素

养。

问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关

于y轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数，比如丫=1。82工

和‘=”的图像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可

否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？

发现：函数产log,X和八摩！X的图像都在y轴的右边,关

2

于X轴对称

问题3：底数a（a>0,且aW1）的若干个不同的值，在

同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象

的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性

由此你能概括出对数函数y=（a>0,且aWl）的

值域和性质吗？

结论1.函数y=iog2》和y=的图像都在y轴的右边；

2通过画出

2.图像都经过点（1,0）；特殊的对数函

3.函数y=k）g2x的图像自左至右呈上升趋势；函数数的图形，观

察归纳出对数

y=log』x的图像自左至右呈下降趋势.

2函数的性质，

观察两幅图象，得到a>l和0〈a〈l时对数函数的图象和性

发展学生逻辑

质。

推理，数学抽

对数函数的图象及性质：

a>10<a<1象、数学运算

y!

图y?

>，=10gaX：尸脸工等核心素养；

问...y=l...........

象

0件1X0

定义域'：XE（0,+M

性

值歧：yGR

质两点：定点（1,0）.特征点（a,1）;两线：x=1与y=1

在（0,+oo）上是增函数在—CO.故［上是减函数

对数函数的性质的助记口诀:对数增减有思路，函数图象看

底数;底数只能大于0,等于1来也不行;底数若是大于1,图象从

下往上增;底数0到1之间，图象从上往下减;无论函数增和减，

图象都过（1,0）点.

（二）、典例解析

例1比较下面两个值的大小

（l）lo&,log2;⑵log。,，log.3⑶log.，log.（a>o,a#l）

通过典例

解析：（1）：用对数函数的单调性，考察函数y=log2xVa=2>l,

.•・函数在区间（0,+8）上是增函数；V3.4<8.5,A问题的分析，

让学生进一步

log23.4<log28.5（2）：考察函数y=logo.3x,Va=0.3G,...函数在

区间(0,+8)上是减函数；•.-1.8<2.7.-.log0.：)1.8>log0:i2.7熟悉对数函数

(3)：考察函数loga5.1与loga5.9可看作函数y=logax的的图像与性

两个函值，对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1,质。培养逻辑

因此需要对底数a进行讨论；当a>l时，因为y=logax是增函数，推理核心素

且5.K5.9,所以log„5.Kloga5.9；当0<a<l时,因为y=logax养。

是减函数，且5.K5.9,所以loga5.I>loga5.9；

归纳总结：L当底数相同时，利用对数函数的单调性比较大

小.

2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.

跟踪训练1.比较下列各题中两个值的大小：

⑴1ogu)61ogm8；(2)logo.561ogo.54

(3)log0,iO.510go,O6；(4)logi.6l.61ogi.5l.4

答案：v；v；>;>

跟踪训练2：已知下列不等式，比较正数m,n的大小：

(1)log3m<log3n；(2)log0.3ni>logo.3n

(3)logam<logan(0<a<l)；(4)logam>logan(a>l)

答案：m<n；m<n；m>n；m>n

+

例2.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的的计算公式为：PH=-lgiw],

其中[“*]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度

与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[/T]=10'摩尔/升，计算纯

净水的/汨值.运用对数

函数的性质解

解：⑴根据对数的运算性质得pH=-lg|W]=lg|//*]-'=lg-

[i球比较大小问

题，发展学生

在(0,+?)上,增大，/木减小，lg会也减小，即P”减小.数学运算、逻

辑推理的核心

所以,[H+]增大,pH减小,

素养；

即溶液中氢离子的浓度越大，其酸碱度就越小.

(2)当[H+]=10-7时，pH=-IglO,=7.即纯净水的pH是7.

已知函数y=2*(xGR,ye(0,+-))可得到x=log/，对

于任意一个y£(0,+8),通过式子x=log2‘，x在R中都有唯

一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为通过对应

y的函数，这是我们就说x=logz'(yG(0,+8))是函数y=2*用问题的解

(xGR)的反函数。决，发展学生

但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我数学建模的核

心素养;

们常常对调函数x=log「中的字母x,y,把它写成y=log2x,这样,

对数函数y=log2X(xG(0,+8))是指数函数y=2'(xGR)的

反函数。

因此，函数y=lognx(a>0,且a#1)与指数函数y=a”互为反

函数「它们的定义域和值域恰好相反。

三、当堂达标通过练习

1.函数y=log”的图象如图所示，则实数a的可能取值为巩固本节所学

知识，巩固对

数函数的概

念，增强学生

的数学抽象、

数学运算、逻

111辑推理的核心

-

A.5B.TC.D.~

5e2素养。

【答案】A[由图可知，a>l,故选A.]

2.当a>l时，在同一坐标系中，函数产=@一'与y=log.x的

图象为()

【答案[C[⑴•••2>—•尸是减函数,y

=10gaX是增函数，故选C.]

3.已知f(x)=logjx|,满足f(—5)=1,试画出函数f(x)

的图象.

解析：f(x)=logj^|,—5)=log„5=l,即a=5,

f(x)=log5|-Y|,

是偶函数，其图象如图所示.

4.函数f(x)=log,,(2x—5)的图象恒过定点.

【答案】(3,0)[由2*-5=1得x=3,⑶=log/=

0.即函数Hx)恒过定点(3,0).]

5.比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log67,log76(2)loglog20.8

解：⑴Iog67>log66=l,log；6<log77=l,/.log67>

log76

(2)Vlog3^>log3l=0,log20.8<log2l=0,.".log3

log20.8

logl(2x+l)>log12

6:解不等式：25

11

J2x+1>0/.--<X<—

解：原不等式可化为：22

・•・原不等式的解集是1;,;)

四、小结学生根据

1.对数函数的图象及性质课堂学习，自

a的范围0<a<l3>1主总结知识要

点，及运用的

思想方法。注

意总结自己在

%X=1

1yX=1学习中的易错

；尸

10goMa>l)

3(1,0)./占、、、，・

图象

00/：(1，0)工

y=lo&与(0〈必I)

।1

1

1

定义域(0,+°°)

值域R

定

(1,0),即x=L时，y=0

点

性

单

质在(0,+8)上是增函

调在(0,+8)上是减函数

数

性

2.反函数

指数函数尸a"(a〉O,且aWl)和对数函数y=logx(a>0且

aWl)互为反函数.

3.思想方法类比：类比的思想方法；类比指数函数的研究

方法；数形结合思想方法是研究函数图像和性质；

五、作业

1.课时练2.预习下节课内容

《4.4.2对数函数的图像和性质》导学案

【学习目标】

1.掌握对数函数的图像及性质；

2.会运用对数函数的图像与性质解决简单问题.

【重点难点】

重点：探究对数函数的图像及性质.

难点：会求对数函数的定义域.

【知识梳理】

【课堂小结】

1.对数函数的图象及性质

2.反函数

指数函数v=a'（n>0,且存1）和对数函数v=k）gx（a>0£L存1）互为反函数.

【学习过程】

一、问题探究

思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？

问题1.利用“描点法”作函数y=唾2x和y=1°g/的图像.

函数的定义域为（0，­），取x的一些值，列表如下：

X・・・124

42•••

y=log2x・・•2[-1012・・・

y=log,x210-1-2

2

问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.对

于底数互为倒数的两个对数函数，比如y=i°g2x和’2的图像，它们的

图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数

的图象？

发现：函数y=bg2x和大的图像都在y轴的右边，它们关于轴对称

问题3：底数a（a>0,且存1）的若干个不同的值，在同一直角坐标系

内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们

有哪些共性？

由此你能概括出对数函数y=log“x（a>0,且a#l）的值域和性质吗？

结论1.函数y=bg2x和>=嚏/的图像都在y轴的右边；

2.图像都经过点（1,0）；

3.函数y=log2x的图像自左至右呈上升趋势；函数>=的图像自,左至

2

右呈下降趋势.

观察两幅图象，得到a〉l和0<a<l时对数函数的图象和性质。

对数函数的图象及性质:

a>1

图

y=iog&x

象

定义域',x£~(0,+00)

性

值域：yGR

质两点：定点（1,0）,特征点（a,1）;两线：x=l与y=l

在（0,+8）上是增函数|在（o.+8）上是减函数

对数函数的性质的助记口诀:

对数增减有思路，函数图象看底数;底数只能大于0,等于1来也不行；

底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间，图象从上往下减;

无论函数增和减，图象都过（1,0）点.

二、典例解析

例1比较下面两个值的大小

f3.418.511.812.75.1.5.9

t

⑴log?，log2;⑵log03,log03⑶log.，log.（a>0,a封）

归纳总结：1.当底数相同时,利用对数函数的单调性比较大小.

2.当底数不确定时，要对底数a与1的大小进行分类讨论.

跟踪训练1:比较下列各题中两个值的大小：

⑴log6log8；(2)log6log4

10100.50.5

⑶log0.5log0.6；(4)log1.6log1.4

0.10.11.51.5

跟踪训练2：已知下列不等式，比较正数m,n的大小：

(1)logm<logn；(2)logm>logn

330.30.3

(3)logm<logn(0<a<l)；(4)logm>logn(a>l)

aaaa

例2.溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为：pH=1g田1

其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

⑴根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度

与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

⑵已知纯净水中氢离子的浓度为[〃+]=10"摩尔/升，计算纯

净水的pH值.

反函数：已知函数y=2(xSR,yC(0,+oo))可得到xnog2：对于

y

任意一个y£(0,+oo),通过式子x=log2,x在R中都有唯一确定的值和它

对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log；

(yG(0,+oo))是函数y=2X(x£R)的反函数。

但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对

调函数x=log2'中的字母x,y,把它写成丫=1(玛*，这样，对数函数yuk^x(x

G(0,+oo))是指数函数y=2*(xWR)的反函数。

X

因此，函数y=logx(a>0,且a，l)与指数函数y=a互为反函数。它们的定

a

义域和值域恰好相反。

【达标检测】

1.函数y=log〃x的图象如图所示，则实数a的可能取值为()

3.已知y(x)=k)g仇|,满足5)=1,试画出函数7U)的图象.

a

4.函数=loga(2x—5)的图象恒过定点.

5.比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log67,log76(2)log3^r,log20.8

k)gi(2x+l)>log12

6：解不等式：25

【课堂小结】

2.反函数

指数函数y=a'（a>Q,且存1）和对数函数v=log4a>0且存1）互为反函数.

3.思想方法类比：类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；数形结合

思想方法是研究函数图像和性质；

参考答案：

学习过程

典例1解析：（1）:用对数函数的单调性，考察函数y=log,xVa=2>l,

，函数在区间（0,+oo）上是增函数；V3.4<8.5,Z.log3.4<log8.5

(2)：考察函数y=logx,,.,a=0.3<1,...函数在区间(0,+oo)上是减

0.3

函数；

V1.8<2.7，log1.8>log2.7

0.30.3

(3)：考察函数log5.1与log5.9可看作函数y=logx的两个函值，对

aaa

数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1,因此需要对底数a进行讨论

当a>l时，因为y=logx是增函数，且5.1<5.9,所以log5.1<log5.9；

aaa

当0<a<l时，因为y=logx是减函数，且5.1<5.9,所以log5.1>log5.9；

aaa

跟踪训练1答案：V；V；>;>

跟踪训练2答案：m<n；m<n；m>n；m>n

例2.解：⑴根据对数的运算性质得pH=-lg[W+l=lg[W+r'=lg—

[H]

在(0,+?)上,阳*]增大，宗减小,1g总也减小，即p”减小.

所以增大,pH减小，

即溶液中氢离子的浓度越大，其酸碱度就越小.

(2)当[”+]=10々时，p"=-1gId7=7即纯净水的p"是7.

三、达标检测

1.【答案】A[由图可知，a>\,故选A.]

2.解析：C...(Xvl,.•.)，=&*是减函数，y=logx是增函数，

a

故选C.]

3.解析:；/(x)=logJx|,/./(—5)=logfl5=b即a=5,.7/(x)=k)g5|x|,

•.../U)是偶函数，其图象如图所示.

4.【答案】(3,0)[由2尤一5=1得x=3,.\/(3)=log“l=0.即函数人x)恒过定

点(3,0).]

5解:(1)；10867>1。866=1,10876<10877=1,/.10§67>^76

(2)Vlog37r>log31=0,log20.8<log21=0,.,.log3^>log20.8

2x+1>011

——<x<—

6.解：原不等式可化为:2x+1v2,22

二原不等式的解集是

《4.4.2对数函数的图像和性质》同步练习一

基础巩固

1.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称，则当xe(0,+-)

时,f(x)=Ilog2x|,若a=f(-3),b=f(；),C=f(2),则a,b,c的大小关系是()

(A)a>b>c(B)b>a>c

(C)c>a>b(D)a>c>b

2.若函数尸f(x)与函数y=ln五+1的图象关于直线尸x对称，则f(x)等于()

(A)e2x_2(B)e2x

(C)e2x+1(D)e2x+2

3.若logm8.l<logn8.l<0,那么m,n满足的条件是()

(A)m>n>l(B)n>m>l

(C)0<n<m<l(D)0<m<n<l

4.已知函数f(x)=log<”D(2x+l)在内恒有f(x)>0,则a的取值范围是

()

(A)(1,+8)⑻(0,1)

(C)(0,2)(D)(1,2)

5.函数y=log21x|的图象大致是()

(A)⑻(C)(D)

6.若函数f(xhlng+ax+l)是偶函数，则实数a的值为.

7.函数f(x)=|log2x|的单调增区间为.

2

x

8.已知f(x)=log4(4-l).

(1)求f(x)的定义域；

⑵讨论f(x)的单调性；

(3)求f(x)在区间92］上的值域.

能力提升

9.已知log2b<log2a<log2c,贝ij()

(A)(学吗1*>(?，

(B)(5”>(»>(》，

222

(C)(》，>(»>(»

222

⑻(>>(3”>(/

10.已知函数£&)=7(：+1)1：：4,则£(2+]3)等于()

(A)8(B)12(C)16(D)24

11.当0<a<l时,在同一坐标系中，函数y=a*与y=logax的图象是()

12.已知函数f(x)=ln(ax2+2x+l).

⑴若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;

⑵若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

素养达成

13.已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+l).

(1)求出使g(x)2f(x)成立的x的取值范围；

(2)当xG[0,+℃)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.

4.4.2对数函数的图像和性质答案解析

基础巩固

1.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称，则当xe(0,+8)

时,f(x)=|logx|,若a=f(-3),b=f(i),c=f(2),则a,b,c的大小关系是()

24

(A)a>b>c(B)b>a>c

(C)c>a>b(D)a>c>b

【答案】B

【解析】因为函数y=f(x+2)的图象关于x=-2对称，

所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称，

所以函数y=f(x)是偶函数.

所以a=f(-3)=f(3)=|log23|=log23,

又b=f(；)=|log2^|=|-2|=2,

c=f(2)=|log221=1,所以c<a<b.

2.若函数y=f(x)与函数y=lnSE+l的图象关于直线y=x对称，则f(x)等于()

(A)e2x-2(B)e2x

(C)ezx+1(D)e2x+2

【答案】A

【解析】若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数，而

y=lnV%+l的反函数为y=e*2,故选A.

3.若log8I〈log81<0,那么m,n满足的条件是()

(A)m>n>l(B)n>m>l

(C)0<n<m<l(D)0<m<n<l

【答案】C

【解析】由题意知m,n一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,

当x>l时,底数越大,函数值越小,故选C.

4.已知函数f(x)=log(aT)(2x+l)在(-|，0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是

()

(A)(1,+8)⑻(0,1)

(C)(0,2)(D)(1,2)

【答案】D

【解析】由-gx<0,得0<2x+l〈l.若f(x)>0恒成立，则0<aT<l.所以l〈a<2.故选

D.

5.函数y=logjx|的图象大致是()

【答案】A

【解析】因为函数y=logz|x|是偶函数,且在(0,+8)上为增函数,结合图象可知A

正确.

6.若函数f(x)=ln(x%ax+l)是偶函数,则实数a的值为.

【答案】0

【解析】函数f(x)=ln(x?+ax+l)是偶函数，

所以f(x)=f(-x),即In(x-+ax+l)=ln(x'-ax+l),

所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.

7.函数f(x)=1log：|的单调增区间为.

2

【答案】［1,+8)

【解析】由函数f(x)=|log”|可得函数的大致图象如图所示，

2

所以函数的单调增区间为［1,+8).

8.已知f(x)=log,i(4'T).

(1)求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的单调性;

⑶求f(x)在区间92］上的值域.

【答案】(1)(0,+8)(2)f(x)在(0,+8)上单调递增(3)值域为［0,logJ5］.

【解析】(1)由4'-1>0,解得x>0,

因此f(x)的定义域为(0,+8).

(2)设0<xt<X2,则0<4X1-K4X2-1,

因此log4(4x-l)<log4(4X2-1),即f(Xi)<f(x2),

故f(x)在(0,+8)上单调递增.

(3)因为f(x)在区间号,2］上单调递增，

又f(?=0,f(2)=logJ5,

因此f(x)在区间与2］上的值域为［0,logJ5］.

能力提升

9.已知log2b<log2a<log2c,贝！］()

(A)©6》》〉©。

222

(B)(|)aX|)bX|)c

(0(|)cx|)bx|)a

(D)(»>(»〉(》

222

【答案】A

【解析】因为log2b〈log2a<log2C,所以c>a>b,所以(，h>(1)a>(|)故选A.

10.已知函数fD，则f(2+log⑶等于()

(2X,x>4,

(A)8(B)12(C)16(D)24

【答案】D

【解析】因为l〈log23〈2,所以3<2+lo&3〈4,所以f(2+log23)=f(3+log23).

又4<3+log23<5,所以f(3+log23)=2(3+i°g23)=23x21°g23=8X3=24.故选D.

9.当0<a<l时,在同一坐标系中，函数y=a'与y=logax的图象是()

【答案】D

【解析】因为函数y=a"与y=logax互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对

称，

且当0<a<l时，函数y=a"与y=logax都是减函数,观察图象知,D正确.故选D.

12.已知函数f(x)=ln(ax?+2x+l).

⑴若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；

⑵若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

【答案】(1)a的取值范围为Q,+8)(2)a的取值范围为［0,1］.

【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,

所以ax2+2x+l>0恒成立.

当a=0时,2x+l>0,x>-|,不合题意;

所以aWO.由。：得a>L

故实数a的取值范围为(1,+8),

(2)因为f(x)的值域为R,

所以{y|y=ax2+2x+l,xGR}n(0,+°°).

(也可以说y=ax2+2x+l取遍一切正数)

①当a=0时,y=2x+l可以取遍一切正数,符合题意，

②当aWO时,需］:0即O〈aW1.

综上，实数a的取值范围为［0,1］.

素养达成

13.已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+l).

(1)求出使g(x)2f(x)成立的x的取值范围；

⑵当xG[0,+8)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.

【答案】(1)[0,+8).(2)[0,log23).

【解析】⑴因为f(x)=lo&(x+D,

g(x)=log2(3x+l),g(x)2f(x),

所以3x+12x+l>0,

所以x20.

即使g(x)2f(x)成立的x的取值范围为［0,+8).

(2)因为y=g(x)-f(x)=log2(3x+l)-log2(x+1)

=log^^(x^0).

2X+1

令h(x)三匚3---,

x+1X+1

则h(x)为［0,+8)上的增函数,所以1Wh(x)<3,

故y=g(x)-f(x)w[0,log23),

即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log23).

《4.4.2对数函数的图像和性质》同步练习二

一、选择题

1.已知f(x)=log3x,

即♦通

2.函数yT°g["xC(0,8]的值域是()

2

A.[-3,+oo)B.[3,+oo)c.(-oo,-3]D.(—8,3]

3.设a=log：3,b=G)°：c=2刎()

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c

4.在同一直角坐标系中，当如:蟠/口时，函数解=媪卡与理=1徵产的图象是

▲

A.B.C.

5.函数〃x)=logix的单调递增区间是(

2

A.(0,；B.(0,1］C.(0,+oo)D.［1>+OO)

6.已知y=log.(2—x)是x的增函数，则a的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+~)

二、填空题

7.函数f(x)是奇函数，且在区间［0,4］上是减函数，则比较大小了(-%).

/(log2").

一2

8.地震的震级A与地震释放的能量£的关系为A=］(lg£-11.4).2011年3

月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0

级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍.

9.函数〃x)=/Qg“(3x-2)+2(a>0,。工1)恒过定点.

log2x,x>0

10.设函数〃x)=log；(—x),x<0,若/3)>/(-。)，则实数。的取值范围是

三、解答题

11.解不等式：loga(x—4)>loga(x—2).

12.已知函数/(x)=log“(3-3).

(1)当x«0,2］时，函数/(x)恒有意义，求实数。的取值范围；

(2)是否存在这样的实数。，使得函数/(同在区间口,2］上为减函数，并且最大

值为1?如果存在，试求出”的值；如果不存在，请说明理由.

4.4.2对数函数的图像和性质答案解析

一、选择题

1.已知f(x)=log3X,则置色£&舞缴的大小是

A.，上值W獭B.吟Y.Yg

c.D.舞^演时驰照手

【答案】B

【解析】由函数y=log3X的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x的增大，函数

值y也在增大，故,舞手•，：演。卜，獭.

2.函数y=l°gi"x£（0,8]的值域是（）

2

A.[-3,+8）B.[3,+8）

C.（―0°,—3]D.（―8,3]

【答案】A

【解析】0<龙<8,；.他32—3,故选九

2

3.设。=1。8产，b=G）°：c=2测（）

K.b<a<cB.c<b<aC,c<a<bD.a<b<c

【答案】D

[解析]由题得a=logF<log?=0*>0，c>0.b=（J）02<（|）°=1,

c=25>2°=1>所以a<b<c.故选：D

4.在同一直角坐标系中，当®IT渤/工时，函数理=端",与好=艇龈“的图象是

【答案】C

【解析】当031时，函数般=短"=於『，-€（1:+X）,所以图象过点两，在

湖a1

其定义域R上是增函数；函数好=1的图象过点画，在其定义域10,+功上

是减函数.故选C.

5.函数〃力=心尸的单调递增区间是（）

2

A.(0,；B.(0,1］C.(0,+oo)D.［1>+«?)

【答案】D

【解析】由对数函数性质知，函数y=i°gi”是一个减函数，当%>1时，函数值

2

小于0,函数/(x)=log|X的图象可由函数>=l°glX的图象X轴下方的部分翻

22

到X轴上面，X轴上面部分不变而得到，由此知，函数的单调递增区

2

间是［1,+8),故选D.

点睛：本题考查对数函数的单调性及函数图象的变化，解题的关键是理解绝对值

函数与原来的函数图象间的关系，其关系是：与原函数X轴上方的部分相同，X

轴下方的部分关于X轴对称，简称为“上不动，下翻上”.

6.已知y=log”(2—x)是x的增函数，则a的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+<>=)

【答案】B

【解析】令Z=2-x,则Z是8的减函数，：y=log“(2-x)是x的增函数，

；<=108“2是减函数，则0<。<1,