2016考研数学真题及答案解析

2016考研数学(-)真题及答案解析

考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真

题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在套题纸指定位置上.

(1)设｛玉｝是数列下列命题中不正确的是()

(A)若则lim々A=lim%2〃+i=。

“TOO”TOO

(B)若limx2n=limx2n+]=a,则limxn=a

/i—>oon—>OGn—>co

(C)若limxn=af则limx3n=limx2n_｝=a

n—>oort—>oo/i—>a>

(D)若limx3〃=limx3〃_]=a,则

H—>007J—>00

【答案】(D)

(2)设y=+(x—g)e”是二阶常系数非齐次线性微分方程yn+ay'+by=cex的一个特

解，则

(A)a=—3,/?=29c=-1

(B)a==2,c=—1

(C)a=-3,b=2,c=\

(D)Q=3,〃=2,c=l

【答案】(A)

【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出。=—3,〃=2,c=-L故选A。

00江：

(3)若级数在》=2处条件收敛，则％=百与x=3依次为累级数D"的

n=\?)=1

()

(A)收敛点，收敛点

(B)收敛点，发散点

(C)发散点，收敛点

(D)发散点，发散点

【答案】(A)

00

【解析】因为级数在x=2处条件收敛，所以R=2,有幕级数的性质，

n=\

x

Z"—1)”的收敛半径也为R=2,即此一1|<3,收敛区间为-1<X<3,则收敛域为

〃=1

8

-l<x<3,进而x=与x=3依次为哥级数的收敛点，收敛点，故选A。

M=i

(4)下列级数发散的是()

yJL

(A)QI1

n=l&

(B)ln(l+-)

n

q(-1)〃+1

(C)

£Inn

(D)洋

n=\n

【答案】（C）

12n

【解析】(A)S“=%+%+…+〃”=—।—+…H——,

88~8"

Ic/1、22/77C111n「川=知-5）号

8〃8838向8"8828〃8"

Q

吧S”=而存在，则收敛。

1,1、181

(B)〃“=—T=1H(1H—)F=收敛，所以（B）收敛。

n〃5I”

81

〃881

C、)S(TIn)n"+Ia(—D+y——因为z口一，z—分别是收敛和发散，所以

In/I“2Inn«=2Innn=2Inn

发散，故选（C）。

“=2ln〃

_n\

（D）〃“e-'<\,所以收敛。

n

（5）设矩阵A,若集合C={1,2},则线性方程组Ax=人有无穷多

解的充分必要条件为()

(A)。任O,a宏O

(B)。任C,awO

(C)。wa任O

(D)。£O,awO

【答案】（D）

【解析】Ax=Z?有无穷多解or(A)=r(N)<3,n|A|=0,即(a—2)(〃-1)=0,从而

a=1或a=2

q111>p111、

当〃=1时，A—121af010a-\

a2J[o00

J41ct~-3a+2,

从而a2—3a+2=0=>或。=2时Ax=b有无穷多解

,1111Af1111、

当。=2时，A=122a—011a-\

22

J44a、000a-36z+2>

从而a?-3。+2=0=>a=l或a=2时Ax二人有无穷多解

所以选D.

（6）二次型/'（4和不）在正交变换x=Py下的标准形为2y；+y；-y；,其中

2=（。］,。2，已3），若。=9”一。3,4），/（%,工2，工3）在正交变换x=Q>'下的标准型为（)

(A)2才一£+考

(B)2才+父一大

(C)2y；-y；-y；

(D)2y；+y；+y；

【答案】(A)

【解析】由已知得fa,孙玉)=上尸"7*=2%+货一员,Q=PE23E2(-l),

从而

与七)=Y^AQY=片或(一1)弓37尸7尸4马(一1»

-100-

T(-V)E.PTAPEE2yf-yj+y^其中/=

=YE222i2(-1)7=001,

010

100

E2(-l)=0-10均为初等矩阵，所以选A。

001

(7)若A,8为任意两个随机事件，则

(A)P(AB)<P(A)P(B)

(B)P(AB)>P(A)P(B)

(C)P(g«竺逊

(D)rd"®

【答案】(C)

【解析】排除法。若AB=(D,则尸(AB)=O,而P(A),P(3)未必为0,故

尸(A)+P(B)

P(A)P(B)>P(AB\>P(AB),故区。错。

2

若AuB,则P(AB)=尸(A)NP(A)((5),故A错。

(8)设总体X〜3(以9),%,*2，乂3为来自该总的简单随机样本，因为样本均值，则

E之(工一区)2=

-i=l.

(A)

(B)m(n—1)0(1-0)

(C)(m-1)(«—1)^(1-0)

(D)mn6(T-6)

【答案】(B)

【解析】

二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上).

In(cosx)

(9)lim------——

x->o£

【答案】---

2

sin尤

・立刀..Incosx..cosx1sinx

［解4析4】rhm——-—=hmc。』=—lim---------

2

XTOxXT。2x2s°xcosx2

sinx

(10)

1+cosx

71

【答案】—

4

【解析】

7izrn7t2

sinx

1+cosx2上i、21II

(11)若函数z=z(x,y)有方程e3+.+x+cosx=2确定，则dz|(oj)=

【答案】一dx

【解析】对e'+孙z+x+cosx=2两边分别关于x,y,z求偏导，并将(0,1)这个代入，得到

勺(0.1)=—L豹(0J)=°，所以回(0J)=-dx。

ox'oy'

(12)设C是由x+y+z=l与三个坐标平面所围成的空间区域，则

JJJ(x++3zylxdydz=

【答案】-

4

【解析】由对称性,

其中

Dz为平面z=z截空间区域C所得的截面

其面积为-(l-z)

所以：

2y+3zRxdydz=6*zdxdydz=61z—(1-z)2dz=(z3-2z2+z^dz=—

00

nQ24

2002

-1202

(13)〃阶行列式=_______

0022

00-12

【答案】2,1+1-2

【解析】按第一行展开得

(14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(I,O；I,I；O),则p{xy-y<o}=

【答案】

2

p{xy-y<o}=尸{(x-i)y<o}

=p{(x-i)<o,y>o}+p{(x-i)>o,r<o}

【解析】由夕xy=0,故乂,丫独立。=p{(x-i)<o}p{y>o}+p{(x-i)>o}p{y<o}.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在客施屈指定位置上.解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

(15)设函数/'(X)=x+«ln(l+x)+/?xsinx,g(x)=kx3,若/(x)与g(x)在x—>0时为等价

无穷小，求a,小一的值。

【解析】由题意，

(16)计算二重积分JJx(x+y)公6仪，其中£>={(1,丁),2+丁242,丁2/}。

D

【解析】

,=JJ+y)dxdy=jjx2dxdy+jjxydxdy=l^^dxdy,

DDDD\

2

其中D[={(1/)卜2+)2<2,y>x,x>01,

则/=JJx(x+y)dxdy=2jjx2dxdy-"xj：x2dy=———1.

D0t°45

(17)已知函数/(x,y)=x+y+孙，曲线C:f+y2+孙=3,求y)在曲线C上的最

大方向导数

【解析】因为f(x,y)沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模

gradfXx,y)={1+y,1+x},模为Jq+yt+(l+x)2,

此题目转化为对函数

22

g(x,y)=J(l+y)2+(l+x)2在约束条件C:x+y+xy^3,

下的最大值，即为条件极值问题。本问题可以转化为对

d{x,y)=(1+y)2+(1+x)2在约束条件C-.x1+y2+xy=3,

下的最大值，构造函数

故最大值为3.

(18)设函数/(x)在定义域/上的导数大于0,若对任意的/e/,曲线y=/(x)在点

(天),/(用))处的切线与直线》=玉)及％轴所围成区域的面积恒为%且/(0)=2,求/(x)的

表达式。

【解析】y-r(x0)=/'(x0)(x-x0)

解得：3y2=虫

ax

分离变量可得：-L=3X+C

y

因为J(o)=2

所以c=一，

2

综上/(%)=7匚

l-6x

19、已知曲线L的方程为<z=J2—厂—丁，起点为A(O,、/Q,O),终点为3(0,—拒,0),计

z=X

算曲线积分/=Jjy+z)公+Q2-*2+y)办，+(%2+丁2)龙

x=cos6

【解析】由题意假设参数方程,y=&sine,6:工一>—工

22

Z=cos0

(20)向量组q,a2M3是R"的一个基，仇=2flI+2履3，%=2a2，%=4+(攵+1)%，

(I)证明仇，％,名为炉的一个基;

(II)当k为何值时，存在非零向量e在基2M3与基仇，。2,名下的坐标相同，并求所有

的e.

【解析】(I)证明：

%,a2M3是内的一个基

/,a2M3线性无关，即厂(％,。2，。3)=3

201

又020=4?0

2k0k+1

'201、

「(用，夕2,£3)=「020=3

30左+1,

仇功2，%线性无关，为K的一个基

(II)由已知设e=3]+k2a2+33=@i+k2b2+&3,e?0

伏、

有非零解，即(%+2版3，&2，a\+^«3)&=0有非零解

101

所以卜1+2上3，02，+必3|=|。1。2,43|010=0

2k0k

从而k{ax+k2a2+a%=0

一02-3--1-20'

(21)设矩阵A=-13-3相似于矩阵B=0b0。

1-2a03I

(1)求a,b的值。

(2)求可逆矩阵P,使P-'AP为对角矩阵。

【解析】(1)

1-2-20

\B-AE\=0b-A0=(1-2)2(/?-2)=0

031-2

=>4=4=1,4=6

-A2-3

\A-AE\=-13-2-3

1-2。一九

由=(1-4)[方一(a+2)4+2a_3]

A,3特征值相同

.•.22-(a+2)2+2a-3=(/l-l)[2-(2«-3)],

得”4，4=5,故人=5

'02-3'

(2)由(1)得A=—13—3,其中特征值4=4=1,々=5,

1-24

当4=4=1时，解(A-E)x=0方程的基础解系为名

当4=5时，解(A—5E)x=0方程的基础解系为03=

”]

从而(/4,，/4%，4。3)=31，0；2,5%)=＞4，，&2，＜23)=(%，0；2,0；3)1，

、5,

-2-3-1-

因为四,。2，。3线性无关，所以令「二四,七，%可逆，即。=10-1＞使得

011

(\、

p-'Ap=1。

、5,

(22)设随机变量X的概率密度为/(x)=＜之；n2对x进行独立重复的观测，直

到第2个大于3的观测值出现为止，记丫的观测次数。

(1)求丫的概率分布。

(2)求EY»

【解析】

2"rln2,x>0

⑴/&)=〈

0,x<0

"-2(2、〃一2

I=(f《7

所以丫的概率分布为p{y=n}=Ci,〃=2,3

887

2

(2)母=£〃(〃-1)

n=2(I)®DM)

令

x2

S(x)=Z〃(〃—l)x"-2S|(x)=>nx'：";S2(x)=J；S«)df=£x"

n=2n=2n=21—X

f、^4S(x)=S；(x)=2(1-力一+2尤(2-力

&(%)=

1-x,(1)2，(if

1

0<x<{入

(23)设总体X的概率密度为7(x；6)=《1—(9,其中。为未知参数,

0其他

x„x2,...,x“为随机样本。

(i)求。的矩阵估计量；

(2)求。的最大似然估计量。

【解析】

(1)

2

1Xi+e--

EX=J对'(x;9)dx=£x-―—dx=——=>0=2EX-1=>0=2X-1o

1-0~202

(2)设X”X2,…,X〃为观测值，则

11

n0<x<l,z=

L(e)=n/(%/)=n"百一"6)”i

/=1

0其他

JinL(0)-1〃八■

InL{0}=-〃ln(l-e),。vx,vl,i=1,2,...,〃,------=-n——=——>0,取

dO\-0\-0

6=min{XJo

2016年考研数学二真题与解析

一、选择题1一8小题.每小题4分，共32分.

1,当x->O+0寸，若lna(l+2x),(l-cosx)a均是比X高阶的无穷小，则a的可能取值

范围是()

(A)(2,+oo)(B)(1,2)(C)(-,1)(D)

21-2

LWW)lna(l+2x)~2axar,是。阶无穷小，(l-cosx)a~二工。是一阶无穷小，由题

-a

2a

a>1

意可知《2

—>1

a

所以a的可能取值范围是(1,2),应该选(B).

2.下列曲线有渐近线的是

(A)y=x+sinx(B)y—x2+sinx(C)y-x+sin—(D)y=x2+sin—

xx

【详解】对于y=x+sin，,可知lim上=1且=J=0,所以有斜渐近

XX-*30XXT8x->00X

线？=X

应该选(C)

3.设函数/(x)具有二阶导数，8(*)=/(0)(1-*)+八1)*,则在［0,1］上()

(A)当/'(x)NO时，f(x)>g(x)(B)当/'(x)NO时，f(x)<g(x)

(C)当/"(x)NO时，f(x)>g(x)(D)当/"(x)NO时，f(x)<g(x)

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.

【详解1】如果对曲线在区间［a,加上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断.显然

g(x)=/(O)(l-x)+/(l)x就是联接(0,7(0)),(1,/(1))两点的直线方程.故当/"(x)N0

时，曲线是凹的，也就是f(x)4g(x),应该选(D)

【详解2】如果对曲线在区间［a,加上凹凸的定义不熟悉的话，可令

F(x)=f(x)-g(x)=/(x)-/(0)(l-x)-/(l)x,则尸(0)=/(1)=0,且

F"(x)=/"(x),故当/"(x)N0时，曲线是凹的，从而歹(x)Wb(0)=b(1)=0,即

F(x)=/(x)-g(x)<0,也就是/(x)Wg(x),应该选(D)

x=J+7,

4.曲线《上对应于f=l的点处的曲率半径是（)

y=t2+4t+l

VT6Vio

(A)------(B)——(OIOVTO(D)5V10

50100

lyl曲率半径/?=".

【详解】曲线在点（x,/（x））处的曲率公式K=*

Va+y2）3

2

=2f,包=2f+4,所以电=411=1+2d2y1

本题中

dtdx2t7’dx22r3

ij"li

对应于f=l的点处V=3,y"=-1,所以K=—；=,曲率半径

7(1+/2)3IOVTO

/?=-i=iovr6.

应该选(C)*

5.设函数/(x)=arctaiw,若/(x)=x/'C),则lim^v=()

3x-

,211

(A)I(B)-(C)-(D)-

323

xf0时,arctanx=x-g/+0(x*).

【详解】注意⑴小）=门,(2)

由于小）eq所以可知rd表=号=变詈,

x-arctanr

(arctanr)2

53

■,x—arxt^nxx-(x--x)+o(x)

=lim----------------=lim---------------------------

1。x(arctanr)x->0x，3

6.设〃(x,y)在平面有界闭区域力上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足

2

du八nd2ud-u

及h岁"则().

dxdy

(A)iz(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上;

(B)w(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域。的内部；

(C)iz(x,y)的最大值点在区域。的内部，最小值点在区域。的边界上;

(D)i/(x,y)的最小值点在区域。的内部，最大值点在区域。的边界上.

【详解】«(x,j)在平面有界闭区域。上连续，所以w(x,y)在D内必然有最大值和最小

值.并且如果在内部存在驻点(/Jo)，也就是纵=合=0,在这个点处

oxoy

A=上,C=驾,B=^-=^~,由条件，显然4。-32<0,显然〃(x,y)不是

dx-dy-dxdydydx

极值点，当然也不是最值点，所以“(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域。的边界上.

所以应该选(A).

0ab0

a00b

7.行列式八，八等于

0cd0

c00J

(A)(ad■-be)-(B)—(ad-bc)~(C)a~d~—b~c~(D)—a~d~+b~c~

【详解】

应该选(B).

8.设四,42，43是三维向量，则对任意的常数无/，向量a+上。3，。2+/。3线性无关是向

量6,七,内线性无关的

(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件

【详解】若向量。”。2，内线性无关，则

「0、

(a{+ka3,a-,+la3)=(a],a2,a3)01=(ai,a2,a3)K,对任意的常数无,/,矩阵

7

K的秩都等于2,所以向量四+加4，。2+/。3一定线性无关・

T9、山—,…线性

而当a=0,a2=

无关，但线性相关；故选择（A）.

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把

答案填在题中横线上）

9.[—；—----dx=_______.

J-0°x-+2x+5

【详解】

f11,f1dx1x+1।1(%万)3%

J-0°X2+2X+5J(X+1)+422-82142J8

10.设/(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x-l),xe[0,2],则

/(7)=.

【详解】当XG[0,2]时，/(x)=J2(x-1)dx=x2-2x+C,由/(0)=0可知。=0,

即/(X)=X2-2X；/(x)为周期为4奇函数，故/⑺=/(-1)=/⑴=1.

7

11.设z=z(x,y)是由方程e2"+x+/+z=一确定的函数，则

4

如图二-------

7

【详解】设尸(x,y,z)=e2"+x+y2+z-[,

,.1

2yz2yz

Fx=l,Fy=2ze+2y,Fz=2ye+1,当x=y=]时，z=(),

dzFx1dzPy1g”।1.1.

不=一京=一彳，£=一京=一不，所以dz%])=-jdx-jdy.

firFz2dyFz2l?d22

冗冗

12.曲线L的极坐标方程为r=。，则L在点（r,6）=处的切线方程

为.

x=r(0)cos0=^cos^八n

【详解】先把曲线方程化为参数方程4,于是在e=一处,

y=r(6)sin6=6sin62

八ndy,sin^+6cos612.八、n冗

x=0,j=—,—=------------------=----,则nlLr在点(zr,6)=处的切线方程

2dx\cos0-0sin0"冗

7t22万

为y—_=——(x-0),即y=一一X+-.

2万7T2

13.一根长为1的细棒位于x轴的区间［o,l］上，若其线密度）（X）=-X2+2X+1,则该细棒

的质心坐标x=

u

32

j'xp(x)dx1'(-x+2x+x)dx一11

=

【详解】质心坐标》=1522-o-

2

^p(x)dx£(-x+2x+l)dx3一

14.设二次型/（项，％2，*3）=X：一X；+为玉”3+4*2*3的负惯性指数是1，则。的取值范

围是.

【详解】由配方法可知

由于负惯性指数为1,故必须要求4一a?NO,所以a的取值范围是［-2,21.

三、解答题

15.（本题满分10分）

1

jr(/2(ez-1)-/)<//

求极限lim

x—>+oo

X2lnQ+-)

x

【分析】.先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限.

【详解】

16.(本题满分10分)

已知函数y=y(x)满足微分方程/+旷，'=1一y',且y(2)=0,求1y(x)的极大值和极小

值.

【详解】

解：把方程化为标准形式得到(l+y2)i=l-*2,这是一个可分离变量的一阶微分方程，两

ii2

边分别积分可得方程通解为：-j3+j=x--x3+C,由y(2)=0得C=§,

即gy3+y=X_g*3+.

令包=j「=0,得工=±1,且可知d2y-2x(1+j2)2—2y(l—x2)2

dx1+j2(1+/)3

当x=l时，可解得y=l,/'=-1<0,函数取得极大值y=l；

当了=-1时，可解得y=0,V'=2>0,函数取得极小值y=0.

17.(本题满分10分)

xsin(万J/+/)

设平面区域O={(x,j)|1<X2+J2<4,X>0.J>0}.计算JJ----------------dxdy

Dx+y

【详解】由对称性可得

18.(本题满分10分)

设函数/(〃)具有二阶连续导数，z=/(e、cosy)满足

—4+-^=(4z+cosj)e2x.若/(0)=0,/'(0)=0,求/(〃)的表达式.

oxoy

【详解】

设"=e*cosy,则々=f(u)=f(excosy),

dza27°

―7=f"(u)e2xcos2y+f'(u)excosy；

ox

f=-r"siny,g=/”(")*s心一r*cos,；

由条件—7----=(4z+e*cos,

dx2dy2

可知

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.

对应齐次方程的通解为：

2u2u

/(«)=Cte+C2e-其中G，g为任意常数•

对应非齐次方程特解可求得为)*=-；”.

2u2u

故非齐次方程通解为/(a)=C]e+C2e-一；".

将初始条件/(o)=o,r(o)=o代入，可得G=上，。2=­•

1616

所以/(〃)的表达式为f(u)=-e2u--e-2-,--u.

16164

19.(本题满分10分)

设函数/(x),g(x)在区间[。㈤上连续，且/(x)单调增加，04g(x)41,证明:

(1)0<Jg(t)dt<x-a,xe[a,Z>]；

ra+fg(t)dtfh

(2)£"f(x)dx<jf(x)g(x)dx.

【详解】

(1)证明：因为04g(x)Wl,所以g(t)dt<j\dtxe[a,Z>].

即OMJg(t)dt<x-a,xe\a,b\.

(2)令尸(x)=

则可知/(。)=0,且F'(x)=/(x)g(x)-g(x)/(a+[g(f)df),

因为04Jg(t)dt<x-a,且/(x)单调增加，

所以/(a+J*g(f)山)4f(a+x-a)=/(x).从而

尸(x)=/(x)g(x)-g(x)/(a+N/(x)g(x)-g(x)/(x)=0,

xG[a,ft]

也是尸(x)在[a,句单调增加，则尸(份N/(a)=0,即得到

£"f(x)dx<£f(x)g(x)dx.

20.(本题满分11分)

设函数/(X)=上，X€[0,l],定义函数列

1+X

/1(x)=/(x),/2(x)=/(/,(x)),•••,/„(X)=/(/„_,(X)),--■

设S“是曲线y=f,(x),直线x=l,y=0所围图形的面积.求极限lim〃S”.

【详解】

x

X/l(x)1+XX

fl(x)=--,f2(x>

1+Z(X)1+2x

1+X

利用数学归纳法可得f„(x)=-------

1+nx

JoJ()

J0i+nxn14-nxnn

1・ClnQ+〃))

IIITIHS”=linj1-------------=1.

n-xx>«->oolfiJ

21.(本题满分11分)

已知函数/(x,y)满足g=2(y+l),且/(y,y)=(y+l)2-(2-y)lny,求曲线

dy

f(x,y)=0所成的图形绕直线j=-l旋转所成的旋转体的体积.

【详解】

由于函数/(x,y)满足g=2(y+l),所以/(x,y)=y2+2y+C(x),其中C(x)为待定

小

的连续函数.

又因为f(y,y)=(y+l)2-(2-j)lnj,从而可知C(y)=l—(2—y)Iny,

22

得至Uf(x9y)=y+2j+C(x)=j+2j+l—(2—x)lnx.

令f(x,y)=0,可得(y+l)?=(2—x)lnx.且当y=-1时，，X)=l,x2=2.

曲线f(x9j)=0所成的图形绕直线j=-1旋转所成的旋转体的体积为

22.（本题满分11分）

‘1-23-4、

设4=01-11E为三阶单位矩阵.

J203,

(1)求方程组AX=0的一个基础解系;

(2)求满足A3=E的所有矩阵.

得到方程组AX=0同解方程组

，-1、

2

得到AX=0的一个基础解系。.

(2)显然B矩阵是一个4x3矩阵，设B=-

“3%小

对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下:

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

其中为任意常数.

23.(本题满分11分)

'111、<001、

11…10•••02

证明〃阶矩阵：：与,..相似

10…0n

J1…1,）

11•••A’001、

111002

【详解】证明：设4=，B=

1-U(0o

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:

X—1-1••-1

-1A—1,•-1

健-A|==(2-nUrt-'

-14—1

所以A的"个特征值为4==4=…儿,=°；

0

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化.且4~

所以B的〃个特征值也为/=M,A2=2,='••/1„=0；

对于〃一1重特征值4=(),由于矩阵(0E—5)=—3的秩显然为1,所以矩阵B对应”-1重

特征值;I=0的特征向量应该有n-\个线性无关,进一步矩阵B存在〃个线性无关的特征向

%

0

量，即矩阵B一定可以对角化，且

111’001、

1110•••02

从而可知〃阶矩阵与相似.

U1-u(0•••0n)

2016年考研数学(三)真题

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

sinX

⑴若lim(cosx-b)=5,则a,b=

x->0e

⑵设函数/(“，v)由关系式/[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微,且g(y)?0,则

d2f

dudv

⑶设/(x)='2.2,贝1)公=

-1

I,x>2-5

(4)二次型/,(X],X2，X3)=(2+々)2+(%2一/)2+(%3+玉)2的秩为____-

(5)设随机变量X服从参数为2的指数分布，则P{X>/51}=.

(6)设总体X服从正态分布N(/4,),总体丫服从正态分布N(〃2,。2),X1,X2,…X,“和

匕，匕,--工,分别是来自总体x和丫的简单随机样本，则

_4fh_

+£化-歹)

E，=lj=1________

4+小一2

二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)函数/(幻=•次」in(x—2)下列哪个区间内有界

x(^x—l)(x—2)

(A)(?1,0).(B)(0,1).(C)(l,2).(D)(2,3).[]

冲,XH0,则

(8)设y(x)在(?？，+?)内有定义，且lim/(x)=a,g(x)=<

X—>80,x=0

(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.

(C)x=0必是g(x)的连续点.

(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.[]

(9)设“x)=|x(l?x),,则

(A)x=0是/(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=/(x)的拐点.

(B)x=0不是/(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=/(x)的拐点.

(C)x=0是/(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=/(x)的拐点.

(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=/(x)的拐点.[〕

(10)设有下列命题：

0000

(1)若+42〃)收敛，则收敛.

n=\n=\

0000

⑵若£町收敛，则Z〃”+iooo收敛.

n=\〃=1

00

⑶若lim如＞1,则Yun发散.

W-8Un,,=1

000000

(4)若