高三数学知识基础巩固复习检测27

§4.7解三角形应用举例一、选择题1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A.eq\r(16)B.eq\r(17)C.eq\r(18)D.eq\r(19)解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝eq\r(19).答案：D2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是()．A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，b解析选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.答案A3．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是eq\r(3)km，那么x的值为()．A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3)D．3解析如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，由余弦定理得(eq\r(3))2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3).答案C4．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m解析由题意，得B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．答案A5．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.eq\r(2)akmC．2akmD.eq\r(3)akm解析依题意得∠ACB＝120°，由余弦定理，得cos120°＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC).∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝a2＋a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a，故选D.答案D6．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()．A.eq\f(20\r(6),3)米B．10eq\r(6)米C.eq\f(10\r(6),3)米D．20eq\r(2)米解析如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，∴AO＝eq\f(20\r(6),3)(米)．答案A7．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()．A．11.4B．6.6C．6.5D．5.6解析AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)(m)，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))(m)．∴航线离山顶h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．答案B二、填空题8．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2)．答案：30eq\r(2)9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2).在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(米)．答案10eq\r(6)10．2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为10eq\r(6)米，则旗杆的高度为________米．解析由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得eq\f(AN,sin45°)＝eq\f(10\r(6),sin30°)，解得AN＝20eq\r(3)(米)，在Rt△AMN中，MN＝20eq\r(3)sin60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案3011．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin60°).∴x＝eq\f(10\r(6),3)m.答案eq\f(10\r(6),3)m12．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．解析由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得eq\f(BM,sin90°－α)＝eq\f(m,sinα－β)，解得BM＝eq\f(mcosα,sinα－β)，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝eq\f(mcosαcosβ,sinα－β)＞n，所以当α与β的关系满足mcosαcosβ＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案mcosαcosβ＞nsin(α－β)三、解答题13．隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距eq\r(3)千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解析如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝eq\r(3)(千米)，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理得，BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(千米)．在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA，即AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)(千米)．所以两目标A、B间的距离为eq\r(5)千米．14．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解析(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为eq\f(BC,2)＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°).即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).15．如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15eq\r(2)nmile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40nmile处的B岛出发，朝北偏东θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanθ＝\f(1,2)))的方向作匀速直线航行，速度为mnmile/h.(1)若两船能相遇，求m.(2)当m＝10eq\r(5)时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少nmile?解析(1)设t小时后，两船在M处相遇，由tanθ＝eq\f(1,2)，得sinθ＝eq\f(\r(5),5)，cosθ＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理，eq\f(AM,sinθ)＝eq\f(AB,sin∠AMB)，∴AM＝40eq\r(2)，同理得BM＝40eq\r(5).∴t＝eq\f(40\r(2),15\r(2))＝eq\f(8,3)，m＝eq\f(40\r(5),\f(8,3))＝15eq\r(5).(2)以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)处，则|AP|＝15eq\r(2)t，|BQ|＝10eq\r(5)t.由任意角三角函数的定义，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝15\r(2)tcos45°＝15t，,y1＝15\r(2)tsin45°＝15t，))即点P的坐标是(15t,15t)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝10\r(5)tsinθ＝10t，,y2＝10\r(5)tcosθ－40＝20t－40，))即点Q的坐标是(10t,20t－40)，∴|PQ|＝eq\r(－5t2＋5t－402)＝eq\r(50t2－400t＋1600)＝eq\r(50t－42＋800)≥20eq\r(2)，当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20eq\r(2)，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20eq\r(2)nmile.16．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思路分析第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系式．解析(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,