湘教版高中数学必修四知识点总结

解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c;a-b<c

3、三角形中的基本关系：sin(A+8)=sinC,cos(A+8)=-cosC,tan(A+5)=-tanC,

sinf2日=cosf-cosf±g=sinf,tand±g=cotS

222222

4、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、。的对边，R为AABC的外

abc

接圆的半径，则有===2R.

sinAsinBsinC

5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：〃=2/?sinA,b=2RsinB,c=27?sinC；

abc

为角：sinA=一,sinB=—,sinC=一；

2R2R2R

③Q:h:c=sinA:sinB:sinC；

-o+〃+cabc

®===■

sinA+sinB4-sinCsinAsinBsinC

6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已

知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解))

7、三角形面积公式：S=_bcsinA=_absinC=_acsinB.

△ABC222

8、余弦定理：在AABC中，有G="+-2Z?ccosA,人2=。2+0—2accosB,

C2=。2+—2abcos

c.9、余弦定理的推论：拉+C2—G,cosB=G+d拉，cosC=G+^-s.

Ibc2ac2ab

cosA=

10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一

成边的形式或角的形式

设。、。、c是AABC的角A、B、C的对边，贝小

a2+h2=C2,则C=90。；ai+b2>C2,则C<90。；

G+。2<C2,则C>90。.

题型之一：求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高

线、角平分线、中线)及周长等基本问题.

umruuur

1.在AA5c中，AB=3,AC=2,BC=而,则ABAC=()

1/13

33

A.D.

2332

【答案】D

7t

4（2005年全国高考江苏卷）△/BC中，/=_,EC=3,则△/BC的周长为（）

43sinB++343sinB+"'+3

.I6j

A.I3；

71、c（兀、

6sinB++36sinB+.+3

C.）.1

I6J

分析：由正弦定理，求出〃及“或整体求出。+〃则周长为3+匕+,而得到结果.选(D).

5(2005年全国高考湖北卷)在AHBC中，已知=峥，COS8=Yg,"C边上的中

36

线BD=布,求sinA的值.

分析：本题关键是利用余弦定理，求出/C及BC,再由正弦定理，即得sin/L

解：设E为BC的中点，连接DE,则DE//AB,且DE=14B=2#,设BE=

23

在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2-2BE-EDcosBED,

5=x2+f+2x韭x屿x,解得x=l,*=【_（舍去）

3~6~3

282/21

故BC=2,从而力-2/1BB&O四=_,即4C=、一.又sinB

33

27n

23Sie迎

故_____=——

sinA^014

~6~

在△ABC中，己知a=2,b=25/2,C=15°,求A。

答案：：.B>A,且0。</<180。，：.A=30)

题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状.

I.(2005年北京春季高考题)在&4BC中，已知2sin/cosB=sinC,那么A/1BC一定是

()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形

解法1：由2sinAcosB=sinC=sin(yl+B)=sirt4cosB+coszlsinB,

即sin^lcosB—cos^sinB=0,得sin(“一B)=0,得A=B.故选(B).

2/13

解法2：由题意，得cosB=sinC=c,再由余弦定理，得cos8=";二匕

2sinAla2ac

。2+C2—tnc

-----------——>即“2=62,得a=b,故选(B).

2ac2a

评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1),⑵统一

化为边，再判断(如解法2).

2.在△ABC中，若2cos8siM=sinC,则△43C的形状一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

答案：C

解析：2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A—B)又：2sinAcosB=sinC,

Asin(4-B)=0,；.A=8

«2tanA

3.在aABC中，若一=---,试判断△ABC的形状。

bitanB

答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

4.在4ABC中，acosA=/?cosp,判断AABC的形状。

答案：为等腰三角形或直角三角形。

题型之三：解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题.

1.（2005年全国高考上海卷）在A48C中，若NA=120。，AB=5,BC=7,

则的面积S=.

2.在A4BC中，sinA+cosA--,AC-2,AB-3,求tanA的值和AA8C的面

积。

i।_a

碑+怖=（上

答案:S=ACxABsinA=x2x3x+

MBC2244V"

3.(07浙江理18)已知△ABC的周长为W+1,且5也4+5皿8=0^!1。.

(I)求边45的长；

(H)若△ABC的面积为IsinC,求角C的度数.

6

解(I)由题意及正弦定理，得AB+BC+AC="+1,BC+AC=j2AB,

两式相减，得AB=1.

(II)由△ABC的面积_BCgACgsinC=_sinC,得BCgAC：,

263

3/13

由余弦定理，得cosC-AC2+BC2—AB^(AC+BC)--2ACgBC-AB21

2ACgBC2ACgBC2

所以C=60。.

题型之四：三角形中求值问题

1.（2005年全国高考天津卷）在A48C中，NA、NB、NC所对的边长分别为a、b、c,

c1

设a、b、c满足条件。2+c2-bc=a2和—=—+JW,求NA和tanB的

0值.2

分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理.

解：由余弦定理cosA=.+C2<2=1,因此，/A=60。

2bc2

在

△由已知条件，应用正弦定理1+召=c=sinC_sin(120°B)

A2bsinBsinB

B_sinl20°cosB-cosl20°sinB乃八11

C/cot3+_,解得cotB=2,从而tan3=_

sinB222

中

8+C

2.A48c的三个内角为4B、C,求当A为何值时，cosA+Zcos”一取得最大值,

Z

©:求出这个最大值。

=B+C冗AB+CA

I解析：由A+B+C=兀，得.2=彳~~2f所以有cosp-=si吆。

B+CAAAA13

NcosA+2cos-2=cosA+2siny=l—2sin2Zsin?=2(sin2-2”中2；一

A

A1nB+C3

N当sin十2厂即A=3一时，cosA+2cosW取得最大值为

B

生在锐角△ABC中，角AB。所对的边分别为ab,c,已知sinA=产，(1)求

13

—N由+CA

tan2+sin2_的值；(2)若。=2,S=产,求b的值。

22AAfiC

解析：（1）因为锐角AABC中，A+B+C=,sinA=3^,所以cosA=；,

则

,B+C

B+CAsin22A

tan3+sin2y=__^+sin2—

2

乙COS2------------

2

1—cos(B+C).1/.八1+8SA+-

Ico、'_______+_(1—cosA)

1+cos(B+C)21—cosA33

4/13

(2)因为S=J7,又S=：bcsinA=1bc则bc=3。

VABCVABC223

13

将a=2,cosA=3，c=次入余弦定理：a2=b?+c2-2bccosA中，

b

得b»—6b2+9=0解得b=W»

点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。

4.在AABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=

3

(I)若△ABC的面积等于不，求a,b；

(II)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.

本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知

识的能力.满分12分.

解(I)由余弦定理及已知条件得，/+枚-。匕=4,

又因为△A8C的面积等于JT，所以［a"sinC=得帅=4................4分

(a2+b2-ab=4,a=2b=2

联立方程组〈一，解得，.................................6分

瓯=4,

(II)由题意得sin(3+A)+sin(3-A)=4sinAcosA,

即sinBcosA=2sinAcosA,..............................................8分

当cosA=0时，A=\B=\a=，事,b=2小,

2633

当cosAwO时，得sinB=2sinA,由正弦定理得〃=2Q,

［。2+拉—ab=4,nZTij.行

联立方程组%C解得a=3,6

\b=2a,33

所以ZVIBC的面积S=［a/jsinC=..................................12分

23

题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等

方面都要用到解三角形的知识，例析如下：

(-.)测量问题

1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边

选定A、B两点，望对岸标记物C,测得

ZCAB=30°,ZCBA=75°,AB=120cm,求河

的宽度。

5/13AD

图I

分析：求河的宽度，就是求AABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、

NCAB、ZCBA,这个三角形可确定。

--------------------,AC=AB=120m,又

sinZ.CBAsinZz4cB1

_AB-ACsinZCAB^_AB-CD,解得CD=60m。

'lABC22

点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题

（-.）遇险问题

2某舰艇测得灯塔在它的东15。北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30

分钟后又测得灯塔在它的东30。北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航

行有无触礁的危险？

解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S

在东15。北的方向上；舰艇航行半小时后到北，，

达B点，测得S在东30。北的方向上。在[jJ-***^^

△ABC中，可知AB=30x0.5=15,西I东

ZABS=150°,NASB=15。，由正弦定理得下1曰《

BS=AB=15,过点S作SC_L直线AB,垂足南！,图2

为C,则SC=15sin30°=7.5。

这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触

礁的危险。

点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知

与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中

标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理

求解。

数列复习基本知识点及经典结论总结

1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做

这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的

特殊函数，如果数列｛明,｝的第n项〃与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式

就叫做这个数列的通项公式。

递推关系式：已知数列｛z〃｝的第一项（或前几项），且任何一项〃与它的前一项〃（前n

nn—1

项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。

数列的前n项和：$“=〃+〃+〃+•••+〃”.

”I23〃

已知，〃求的方法（只有一种）：即利用公式'（〃=D注意：

an°n,s~S,（"*2）

Itjn—1

一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=l的情

况是否符合当n22的关系式，从而决定能否将其合并。

2.等差数列的有关概念：｛｝

、等差数列的定义：如果数列:〃八第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，

6/13

那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即

Cln~an-\=d（'n£川*,且/122）.（或。口+1-4]=壮（"eN*））・

（1）等差数列的判断方法：①定义法：an+「%=d（常数）0为等差数列。

+

②中项法：2an+~anan+2«t｝为等差数列。③通项公式法：a^an+b（a,b

为常数）<=><>为等差数列。④前n项和公式法：S=^n2+sn（A,B为常数）o2｝

nnWn

为等差数列。

0等差数列的通项：=a+（n-l）d或a=a+（n-m）d。公式变形为：a=an+b-

a'nm

n

其中a=d,b=%_d.

+a)刀(刀一])

0等差数列的前n和：s=!n,S=na+d。公式变形为：

»2«12

d.

2d

S.=4n2+Bn,好人=一，B=Q-.注意：改n,d,°1,

।2

s”中的三者可以求另两者，即所谓的'‘知三求二”。

1115.

如(1)数列｛a｝中，a=a+(n>2,ne/V»),a=，前n项和S=一,

«nn-l2〃2n2

则Q=_,〃=_(答：Q=-3,n=10)；(2)已知数列｛Q｝的前n项和S=12n-m,

_12n-n2（n<6,nGN*）

求数列｛|a|｝的前n项和T（答：「.

nnn[〃2-12〃+72（〃>6,”EN*）

Q+b

@等差中项：若Q,4b成等差数列，贝IJA叫做a与b的等差中项，且A=。

2

提醒：（1）等差数列的通项公式及前“和公式中，涉及到5个元素：a、d、n、a及

S,其中a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个,

nI

即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

a-2d,a-d,a,a+d,a+2d-（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，

a-3d,a-d,a+d,a+3d,…（公差为2d）

3.等差数列的性质：

（1）当公差d#0时，等差数列的通项公式a=a+（n-l）d=dn+a-d是关于〃的一

n11

7/13

n(n-1)dd

次函数，且斜率为公差d；前”和S=〃a+d=_〃2+(a-_加是关于“的二次

n12212

函数且常数项为0.

(2)若公差d>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差

d=0,则为常数列。

(3)对称性：若M｝是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之

n

和.当m+〃=p+q时，则有a+a=a+a,特别地，当m+n=2p时，则有

mnpq

a+a=2a.如(1)等差数列｛Q｝中，S=18,a+Q=3,S=1,则〃=____

mnpnnnn-1n-23

(答：27)；

(4)单调性：设d为等差数列L)的公差，则

n

d>00｛a｝是递增数列；d<0oM｝是递减数列；d=0oL｝是常数数列

nn

4i=/(n),则

(5)若等差数列｛Q｝、｛6｝的前〃和分别为A、B,且

nnnnD

余=黑=£=瓢£=/(2"-1).如设｛。/与｛匕｝是两个等差数列,

它们的前〃项和分

2n-1

S3n+1Q6n-2

n—，那么_”__________________)

nnT4n-3b8n-7

nn

(8)8、已知3｝成等差数列，求$的最值问题：

nn

法一：利用邻项变号法

①若a>0,d<0且满足巴，则S最大；

1\a<on

In+1

②若a<0,d>0且满足巴,则s最小.

1]a>on

法二：因等差数列前n项是关于"的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要

注意数列的特殊性neN*。上述两种方法是运用了哪种数学思想？(函数思想)由此你能

求一般数列中的最大或最小项吗？如(1)等差数列｛a｝中，a=25,S=S，问此数列

n1917

前多少项和最大？并求此最大值。(答：前13项和最大，最大值为169)；(2)若｛a｝是等

n

差数列，首项Q>0,a+Q>0,

120032004

aa<0,则使前n项和S>0成立的最大正整数n是(答：4006)

20032004n

8/13

4.等比数列的有关概念：如果数列a”从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即0__,（或

—=q（ne/V，〃22）

a

n-1

a

―叱1=q(〃GN")

a

（1）等比数列的判断方法：定义法，_=q（q为常数），其中qHO,a,/°或「工

+1

a

nnn-l

（nN2）。如（1）一个等比数列｛a｝共有2n+l项，奇数项之积为100,偶数项之积为120,

n

5

则a为___L答：）；（2）数列但｝中，S=4a+l（n»2）且a=i,若b=a-2a,

n+l6nn"I1〃1n

求证：数列｛b｝是等比数列。

n

(2)等比数列的通项：a=aqnT或a=aq“-m。如设等比数列｛Q｝中，a+a=66,

n1ntnnIn

+

aa=128,前〃项和S=126,求n和公比q.(答：n=6,q=或2)

2n-ln2

(3)等比数列的前〃和：当q=l时，S=na；当qwl时，S=1=iJ

n1nl-q1-q

如（1）等比数列中，q=2,58=77,求a+a+A+a（答：44）

力3699

特别提醒：等比数列前〃项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要

判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，

要对<7分9=1和q#1两种情形讨论求解。

（4）等比中项:如果a、G、b三个数成等比数歹ij,那么G叫做a与b的等比中项，即G=匹.

提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个土阮。如已

知两个正数a,版a丰b）的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为（答:

A>B）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前〃项和公式中，涉及到5个元素：a、q、n、a

1n

及s，其中a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2

n1

个，即知3求2；

5.等比数列的性质：

（1）对称性：若&｝是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.

9/13

即当m+n=p+q时，则有a.a=a.a，特别地，当m+n=2p时，则有a.a=(72.

mnpqmnp

如(1)在等比数列｛a｝中，a+a=124,aa=-512,公比q是整数，则a=(答:

n384710

512)；

(2)各项均为正数的等比数列｛a｝中，若aa=9,贝ijloga+loga+L+loga=

n563132310

(答：10),

6.数列的通项的求法:

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

15〃

SQ+Q+L+Q/（〃）QQ=J,(=1)

⑵已知(即）求，用作差法:

nI2n„S'—S,(n>2)0

nn-1

②数列

如①已知｛a｝的前n项和满足log(S+l)=n+l,求a(答：a：3,n=l)；｛a｝

n2nn2n,n>2n

111｛14,n=1

满氐a+—a+L+_a=2〃+5,求a(答：a=o))

212222nnnn2n+l,H>2

⑶若一Q=/(〃)求Q用累加法：a=(a-a)+(a-a)+L+(Q-a)

°n+lnnnnn-ln-1n-22I

1

+a(n>2)o如已知数列｛a｝满足a=1Q=-=_-(n>2),则

In1nn-]+1+Jn

Q=(答：Q="TT-#+l)

nn

aaaa

（4）已知u_=/（〃）求Q，用累乘法:Q=〃•”1・L•2・a(n>2)o如已知

a“naaQi

nn-1n-21

4

数列｛Q｝中，Q=2,前〃项和S，若S=〃2Q,求Q(答：a=-------------)

n1nnnnn〃(〃+1)

（5）已知递推关系求a，用构造法（构造等比数列）。特别地，（1）形如a=ka+b、

nnn-1

（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求Q。

如①已知Q=1,Q=3。+2,求Q（答：。=2砂-1一1）；

Inn-1nn

注意：（1）用a=S-S求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？

nnn-1

（n>2,当〃=1时，a=S）；（2）一般地当已知条件中含有a与S的混合关系时，常

1Inn

需运用关系式a=S-S,先将已知条件转化为只含a或S的关系式，然后再求解。

n-1

10/13

｛

如数列｛a｝满足a=4,S+S=：a，求a(答：a=4,n=l)

n1nn+13〃+1,n3g4—1,z?N2

7.数列求和的常用方法：

(1)公式法：直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。特别声明：

运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

1+2+3+L+n=Ln(n+1),I24-22+L+“2=1+l)(2n+l)

26'

n(n+1)

13+23+33+L+〃3=[---]2.如(1)等比数列｛Q｝的前〃项和S=2n-1,则

2nn

4n-l

Q2+Q2+Q2+A+672=(答：)；(2)计算机是将信息转换成二进制数进行

123n3

处理的。二进制即“逢2进1”，如(11()1)表示二进制数，将它转换成十进制形式是

2

1x23+1x22+0x21+1x2()=13,那么将二进制《11呛我，转换成十进制数是(答:

2005个1

22005-1)

(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列

的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。如求：

S=-l+3-5+7-L+(-l)n(2n-l)(答：(一1)八〃)

n

(3)倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之

和，则采用此法。(联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小时后巧解算术题)).如

X2J117

已知/(x)=，则/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(_)+/(J+/(_)=_____L答：—)

1+X22342

(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构

成，即数列是一个“差•比”数列，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前”和公式的

推导方法).如设｛a｝为等比数列，T=na+(n-l)a+L+2a+a,已知T=l,T=4,

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