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文档简介
【创新设计】-版高中数学1.3.1空间几何体的表面积同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.一个正四棱柱的对角线的长是9cm,全面积等于144cm2,则这个棱柱的侧面积为________cm2.解析设底面边长、侧棱长分别为acm、lcm,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2+a2+l2)=9,,2a2+4al=144,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=4,,l=7.))∴S侧=4×4×7=112(cm2).答案1122.用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱的表面积是________.解析S=3π2+2·π·(eq\f(3,2))2=3π2+eq\f(9,2)π或S=3π2+2·π·(eq\f(1,2))2=3π2+eq\f(1,2)π.答案3π2+eq\f(9,2)π或3π2+eq\f(1,2)π3.正六棱锥的高为4cm,底面最长的对角线为4eq\r(3)cm,则它的侧面积为________cm2.解析由题意知,底面边长为2eq\侧棱长为l=eq\r(16+12)=2eq\r(7)(cm),斜高h′=eq\r(28-3)=5(cm).∴S侧=6×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×5=30eq\r(3)(cm2).答案30eq\r(3)4.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的体对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是________.解析设底面边长是a,底面的两条对角线分别为l1,l2,而leq\o\al(2,1)=152-52,leq\o\al(2,2)=92-52,而leq\o\al(2,1)+leq\o\al(2,2)=4a2,即152-52+92-52=4a2,a=8,S侧面积=ch=4×8×5=160.答案1605.若正三棱锥的斜高是高的eq\f(2,3)eq\r(3)倍,则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍.解析设斜高为2eq\r(3),高为3,则底面内切圆半径r=eq\r(12-9)=eq\r(3),故S侧∶S底=2eq\r(3)∶eq\r(3)=2∶1.答案26.如图,三棱锥S-ABC中底面△ABC为正三角形,边长为a,侧面SAC也是正三角形,且侧面SAC⊥底面ABC,求三棱锥的侧面积.解取AC的中点M,连结SM、MB.∵△SAC,△ABC为全等正三角形,∴SM⊥AC,BM⊥AC,且SM=BM=eq\f(\r(3),2)a,△SAB≌△SCB.又∵平面SAC⊥平面ABC,∴SM⊥面ABC.过M作ME⊥BC于点E,连结SE,则SE⊥BC.在Rt△BMC中,ME·BC=MB·MC,∴ME=eq\f(\r(3),4)a,可求SE=eq\r(SM2+ME2)=eq\f(\r(15),4)a.∴S侧=S△SAC+2S△SBC=eq\f(\r(3)+\r(15),4)a2.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.如图(1)所示,已知正方体面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图(2)所示的几何体,那么此几何体的表面积为________.(1)(2)解析由已知可得正方体的边长为eq\f(\r(2),2)a,新几何体的表面积为S表=2×eq\f(\r(2),2)a×a+4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2=(2+eq\r(2))a2.答案(2+eq\r(2))a28.斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形,侧棱长为4,侧棱与底面两边所成角都是60°,那么这个斜三棱柱的侧面积是________.解析由题可计算出直截面周长为5+5eq\r(3),故S侧=4(5+5eq\r(3))=20(1+eq\r(3)).答案20(1+eq\r(3))9.圆锥侧面展开图的扇形周长为2m解析设圆锥底面半径为r,母线为l,则有2l+2πr=2∴S全=πr2+πrl=πr2+πr(m-πr)=(π-π2)r2+πrm.∴当r=eq\f(πm,2π2-π)=eq\f(m,2π-1)时,S全有最大值eq\f(πm2,4π-1).答案eq\f(πm2,4π-1)10.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为________.解析由三视图可得,该几何体为三棱锥D-ABC,其直观图如图所示,面DBC⊥面ABC,AC⊥AB,取BC边中点M,则DM⊥面ABC,且DM=4,取AC边中点N,则MN=3,且DN=5,由此可得此三棱锥D-ABC的表面积为eq\f(1,2)×6×5+eq\f(1,2)×6×5+eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4+eq\f(1,2)×6×6=48+12eq\r(2).答案48+12eq\r(2)11.如图所示,正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截,得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比;(2)若大棱锥PO的侧棱为12cm,小棱锥底面边长为4cm,求截得棱台的侧面积和全面积.解(1)设正六棱锥的底面边长为a,侧棱长为b,则截面的边长为eq\f(a,2),∴S大棱锥侧=eq\f(1,2)c1h1=eq\f(1,2)×6a×eq\r(b2-\f(a2,4))=3aeq\r(b2-\f(a2,4)),S小棱锥侧=eq\f(1,2)c2h2=eq\f(1,2)×3a×eq\f(1,2)eq\r(b2-\f(a2,4))=eq\f(3,4)aeq\r(b2-\f(a2,4)),S棱台侧=eq\f(1,2)(c1+c2)(h1-h2)=eq\f(1,2)(6a+3a)×eq\f(1,2)eq\r(b2-\f(a2,4))=eq\f(9,4)aeq\r(b2-\f(a2,4)),∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.(2)S侧=eq\f(1,2)(c1+c2)(h1-h2)=144eq\r(2)(cm2),S上=6×eq\f(1,2)×4×4×sin60°=24eq\r(3)(cm2),S下=6×eq\f(1,2)×8×8×sin60°=96eq\r(3)(cm2),∴S全=S侧+S上+S下=144eq\r(2)+120eq\r(3)(cm2).12.已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中放一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积;(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?解经过轴的截面如图所示.(1)设所求圆柱的底面半径为r,则它的侧面积S圆柱侧=2πr·x.∵△AEF∽△ADC,∴eq\f(r,R)=eq\f(H-x,H),∴r=R-eq\f(R,H)x.∴S圆柱侧=2πRx-eq\f(2πR,H)x2.(2)∵S圆柱侧=-eq\f(2πR,H)x2+2πRx,∵-eq\f(2πR,H)<0,∴S圆柱侧有最大值.当x=-eq\f(2πR,2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2πR,H))))=eq\f(H,2),即圆柱高是已知圆锥的高的一半时,它的侧面积最大.13.(创新拓展)圆台上底半径为1,下底半径为4,母线AB=12,从AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点.(1)求绳子的最短长度;(2)求绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.分析利用圆台的侧面展开图知识进行求解.解(1)将圆台补形成圆锥,并展开圆锥侧面成如图所示的扇形.取A1B1的中点M1,AM1就是绳子的最短长度.设∠ASA1=α,则SB×α=2π×1,(SB+12)×α=2π×4,以上两式相减得α=eq\f(π,2)(即α=90°)另一方面,eq\f(SB,SB+12)=eq\f(1,4),可解得SB=4,在△ASM1中,SA=16,SM1=4+6=10,∠ASA1=90°,故AMeq\o\al(2,1)=102+162=356,∴AM1=2e
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