高中数 1.3.1空间几何体的表面积同步训练 苏教版必修2

【创新设计】-版高中数学1.3.1空间几何体的表面积同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．一个正四棱柱的对角线的长是9cm，全面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2.解析设底面边长、侧棱长分别为acm、lcm，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋a2＋l2)＝9，,2a2＋4al＝144，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,l＝7.))∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)．答案1122．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________．解析S＝3π2＋2·π·(eq\f(3,2))2＝3π2＋eq\f(9,2)π或S＝3π2＋2·π·(eq\f(1,2))2＝3π2＋eq\f(1,2)π.答案3π2＋eq\f(9,2)π或3π2＋eq\f(1,2)π3．正六棱锥的高为4cm，底面最长的对角线为4eq\r(3)cm，则它的侧面积为________cm2.解析由题意知，底面边长为2eq\侧棱长为l＝eq\r(16＋12)＝2eq\r(7)(cm)，斜高h′＝eq\r(28－3)＝5(cm)．∴S侧＝6×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×5＝30eq\r(3)(cm2)．答案30eq\r(3)4．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________．解析设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而leq\o\al(2,1)＝152－52，leq\o\al(2,2)＝92－52，而leq\o\al(2,1)＋leq\o\al(2,2)＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S侧面积＝ch＝4×8×5＝160.答案1605．若正三棱锥的斜高是高的eq\f(2,3)eq\r(3)倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍．解析设斜高为2eq\r(3)，高为3，则底面内切圆半径r＝eq\r(12－9)＝eq\r(3)，故S侧∶S底＝2eq\r(3)∶eq\r(3)＝2∶1.答案26.如图，三棱锥S－ABC中底面△ABC为正三角形，边长为a，侧面SAC也是正三角形，且侧面SAC⊥底面ABC，求三棱锥的侧面积．解取AC的中点M，连结SM、MB.∵△SAC，△ABC为全等正三角形，∴SM⊥AC，BM⊥AC，且SM＝BM＝eq\f(\r(3),2)a，△SAB≌△SCB.又∵平面SAC⊥平面ABC，∴SM⊥面ABC.过M作ME⊥BC于点E，连结SE，则SE⊥BC.在Rt△BMC中，ME·BC＝MB·MC，∴ME＝eq\f(\r(3),4)a，可求SE＝eq\r(SM2＋ME2)＝eq\f(\r(15),4)a.∴S侧＝S△SAC＋2S△SBC＝eq\f(\r(3)＋\r(15),4)a2.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．(1)(2)解析由已知可得正方体的边长为eq\f(\r(2),2)a，新几何体的表面积为S表＝2×eq\f(\r(2),2)a×a＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝(2＋eq\r(2))a2.答案(2＋eq\r(2))a28．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________．解析由题可计算出直截面周长为5＋5eq\r(3)，故S侧＝4(5＋5eq\r(3))＝20(1＋eq\r(3))．答案20(1＋eq\r(3))9．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m解析设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l＋2πr＝2∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πrm.∴当r＝eq\f(πm,2π2－π)＝eq\f(m,2π－1)时，S全有最大值eq\f(πm2,4π－1).答案eq\f(πm2,4π－1)10．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为________．解析由三视图可得，该几何体为三棱锥D－ABC，其直观图如图所示，面DBC⊥面ABC，AC⊥AB，取BC边中点M，则DM⊥面ABC，且DM＝4，取AC边中点N，则MN＝3，且DN＝5，由此可得此三棱锥D－ABC的表面积为eq\f(1,2)×6×5＋eq\f(1,2)×6×5＋eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＋eq\f(1,2)×6×6＝48＋12eq\r(2).答案48＋12eq\r(2)11．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱为12cm，小棱锥底面边长为4cm，求截得棱台的侧面积和全面积．解(1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为eq\f(a,2)，∴S大棱锥侧＝eq\f(1,2)c1h1＝eq\f(1,2)×6a×eq\r(b2－\f(a2,4))＝3aeq\r(b2－\f(a2,4))，S小棱锥侧＝eq\f(1,2)c2h2＝eq\f(1,2)×3a×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(3,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，S棱台侧＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h2)＝eq\f(1,2)(6a＋3a)×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(9,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)S侧＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h2)＝144eq\r(2)(cm2)，S上＝6×eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝24eq\r(3)(cm2)，S下＝6×eq\f(1,2)×8×8×sin60°＝96eq\r(3)(cm2)，∴S全＝S侧＋S上＋S下＝144eq\r(2)＋120eq\r(3)(cm2)．12．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中放一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解经过轴的截面如图所示．(1)设所求圆柱的底面半径为r，则它的侧面积S圆柱侧＝2πr·x.∵△AEF∽△ADC，∴eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，∴r＝R－eq\f(R,H)x.∴S圆柱侧＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2.(2)∵S圆柱侧＝－eq\f(2πR,H)x2＋2πRx，∵－eq\f(2πR,H)<0，∴S圆柱侧有最大值．当x＝－eq\f(2πR,2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2πR,H))))＝eq\f(H,2)，即圆柱高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．13．(创新拓展)圆台上底半径为1，下底半径为4，母线AB＝12，从AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．(1)求绳子的最短长度；(2)求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．分析利用圆台的侧面展开图知识进行求解．解(1)将圆台补形成圆锥，并展开圆锥侧面成如图所示的扇形．取A1B1的中点M1，AM1就是绳子的最短长度．设∠ASA1＝α，则SB×α＝2π×1，(SB＋12)×α＝2π×4，以上两式相减得α＝eq\f(π,2)(即α＝90°)另一方面，eq\f(SB,SB＋12)＝eq\f(1,4)，可解得SB＝4，在△ASM1中，SA＝16，SM1＝4＋6＝10，∠ASA1＝90°，故AMeq\o\al(2,1)＝102＋162＝356，∴AM1＝2e