2022-2023学年江苏省南通市高三年级上册期末考模拟数学试卷含详解

南通市2023届高三上学期期末质量监测模拟

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用

2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上

角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签

字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和

涂改液.

3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1若集合”=何2，>4｝,汽=｛刀隧3%<1｝,则()

A.{x|2<x<3}B.{小>0}

C.{x[0<x<2或x>2}D.R

2.已知复数Z,CO,满足z2=0=52,且复数Z在复平面内位于第一象限，则

A."B.-C.1D.—

24*2*44

ri(3-/)H-8,H<6

3.已知数列｛〃“｝是递增数列，且,，则实数/的取值范围是

t>6

()

(in、

A.(2,3)B.[2,3)C.—,3D.(1,3)

I7J

4•俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产

的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了远程性和

安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340,是一种有四台发

动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310.假设每一架飞机的引擎在飞行

中出现故障率为1-〃，且各引擎是否有故障是独立的，己知A340飞机至少有3个引擎正

常运行，飞机就可成功飞行；出10飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.

若要使A340飞机比A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（）

5.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,若直

3

D.

4

6.已知函数/（%）=5泊（69%+9）（啰>0,|同《：|0,》=-7为/（*）的零点，x=（•为y=/（X）

图象的对称轴，且/“）在（白，|J）单调，则①的最大值为

Io3D

A.IIB.9

C.7D.5

7.已知实数“满足In（e2+l）—l<ln（2a）<l+ln2,则（）

尸<ae-'

8.已知四棱锥P-ABCD外接球表面积为S,体积为V,24,平面

ABCD,PA=4,NABC=22,且也《V，则S的取值范围是（）

33

A.10万B.20万C.106万VSD.

20岳<S

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.

9.下列结论正确的是()

A.若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=L,则O(X)=，

22

B.若随机变量y的方差。(丫)=2,则力(3F+2)=8

(1

C.若随机变量g服从二项分布64,7,则P(J=3)=：

I2；4

D.若随机变量〃服从正态分布N(5,b2),尸(〃<2)=0.1,则尸(2<〃<8)=0.8

10.已知正方体ABCD—AAGA的边长为2,M为CG的中点，P为侧面BCG片上的

动点，且满足AM〃平面A/P,则下列结论正确的是()

AAM_LBXMB.C。〃平面ABP

C.动点P的轨迹长为2姮D.AM与44所成角的余弦值为

3

V5

3

11.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，。为坐标原点，直线/:2x—2y—〃=0与C

交于A,B两点,以AB为直径的圆与)，轴交于/),E两点，则()

A.|AB|=3/?B.\DE\=Jlp

C./DFE是钝角D.QEF面积小于zZMS的面积

12.己知函数“X)及其导函数/'(x)的定义域均为R,对任意的x,yeR,恒有

/(x+^)+/(x-y)=2/(x)-/(y),则下列说法正确的有()

A.40)=1B./'(x)必为奇函数

120231

C./(x)+/(o)>oD,若/⑴=不，则X"〃)=5

2n=\Z

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过2僚3天后是.

14.单位圆中，为一条直径，C,。为圆上两点且弦CO长为石，则而•丽的取值

范围是.

15.已知函数/(x)=d-2x?+2x,则曲线y=/(x)经过点4(1,1)的切线方程是.

3*

16.设数歹U｛勺｝首项q=],前〃项和为Sn,且满足2an+i+Sn=3(〃wN),则满足

3416

~f<—的所有n的和为__________.

JJJ〃13

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写

出文字说明、证明过程或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.

17.在△ABC中，记角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tanB=-....

2-cosA

(1)若tanB=4，求tanC的值：

2

(2)己知中线AM交8C于M,角平分线AN交BC于N,且AM=3,MN=1,求AABC

的面积.

18.已知数列｛%｝成等比数列，S,,是其前〃项的和，若耳+同+34+2仅—*)成等差数

列.

(1)证明：4+1，4+3,4+2成等差数列;

(2)比较珠+S3与2s3大小；

11113n-l

(3)若4>0,"为大于1的奇数，证明：—+T+T+……+不>不一•

S5,&Sn2o,

19.2020年，新冠病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情，我们伟大的祖

国以人民生命至上为最高政策出发点，统筹全国力量，上下一心，进行了一场艰苦的疫情

狙击战，控制住了疫情的蔓延并迅速开展相关研究工作.某医疗科学小组为了了解患有重

大基础疾病(如，糖尿病、高血压…)是否与更容易感染新冠病毒有关，他们对疫情中心

的人群进行了抽样调查，对其中50人的血液样本进行检验，数据如下表：

感染新冠病毒未感染新冠病毒合计

不患有重大基础疾病15

患有重大基础疾病25

合计30

(1)请填写2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为患有重大基础疾病更容易感染新冠

病毒；

(2)在抽样调查过程中，发现某样本小组5人中有1人感染新冠病毒，需要通过化验血液

来确定感染者，血液化验结果呈阳性即为感染者，呈阴性即未感染.下面是两种化验方

法：

方法一：逐一检验，直到检出感染者为止；

方法二：先取3人血液样本，混合在一起检验，如呈阳性则逐一检验，直到检出感染者为

止；如呈阴性，则检验剩余2人中任意1人的血液样本.

①求方法一的化验次数大于方法二的化验次数的概率；

②用X表示方法二中化验的次数，求X的数学期望.

2

P（K>k）0.0500.0100001

k38416.63510.828

附：K'=：----1/"。％忖------,其中〃=a+Z?+c+d.

[a+b)[c+d)[a+c)(b+d)

20.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.

①丽•(而+丽)=0；②PC=近;③点P在平面ABC。的射影在直线4。上.

如图，平面五边形B4BCO中，是边长为2的等边三角形，AD//BC,

AB=2BC=2,AB1BC，将△A4D沿翻折成四棱锥P—ABC。，E是棱尸。上

的动点(端点除外)，F,M分别是AB,CE的中点，且.

(1)求证：〃平面以力；

(2)当EF与平面所成角最大时，求平面ACE与平面A88所成的锐二面角的余弦

值.

2/=13>0力>0)的焦距为4,且过点P2,

21.已知双曲线「：

a'

(1)求双曲线「的方程；

(2)过双曲线「的左焦点F分别作斜率为4,质的两直线4与4,直线4交双曲线r于

A,B两点，直线4交双曲线「于C,。两点，设M,N分别为49与CO的中点，若

人,左2=-1，试求AOMN与△RUN的面积之比.

22.已知函数，(％)=ln(x+l),g(x)=x2+bx+lS为常数)，/z(x)=/(x)-g(x).

(1)若函数/(x)在原点的切线与函数g(x)的图象也相切，求岳

(2)当8=—2时，3X„X2G[0,1],使〃(内)一/?(々注加成立，求M的最大值；

(3)若函数〃(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(X1,0),8(X2,0),且0<%<当，证

明：/[土产)<0

南通市2023届高三上学期期末质量监测模拟

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用

2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上

角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签

字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和

涂改液.

3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1若集合知=何2，>4}④=卜|晦妇1},则〃但小=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|x>0}

C.{x[0<x<2或x〉2}D.R

【答案】B

【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合,根据集合的并集运算即可得

答案.

【详解】解2*>4得尤>2,解log3x<l<0<x<3,

故得用={X|X>2},N={H（）<XW3},

故MuN={x|x>0},

故选:B.

2.已知复数Z,3,满足=0=而2,且复数Z在复平面内位于第一象限，则

co2+0）+2

-------=（）

Z-+Z+1

【答案】c

【分析】设2=。+历，。=。+4，利用复数的乘方运算以及复数的几何意义即可求解.

【详解】设2=。+〃，CD=C+Ch,

则z2=co=^a2-b2^+2abi=c+di=卜2一筋)一2cdi,

则。=一！，d=>所以69=-

2222

a2-b2=--,ab=2,所以8=立，

244a

则有/---———0,解得a=±工，b=±-^->

16a-222

又复数Z在复平面内位于第一象限，所以z=L+Y3i,

22

o)~+<y+2

代入可得

z2+z+l2

故选：C

3.已知数列｛4｝是递增数列，且,，则实数f的取值范围是

t,n>6

()

(in)

A.(2,3)B,[2,3)C.—,3D.(1,3)

17?

【答案】c

【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可.

【详解】因为％=\,6,，｛/｝是递增数列，

t,〃>6

-3-r>0

所以。〉1,解得好</<3,

7

(3-r)x6-8<r

(10八

所以实数r的取值范围为—,3,

(7)

故选：C

4.俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产

直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了远程性和

安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340,是一种有四台发

动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310.假设每一架飞机的引擎在飞行

中出现故障率为1-，，且各引擎是否有故障是独立的，已知A340飞机至少有3个引擎正

常运行，飞机就可成功飞行；4310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.

若要使A340飞机比A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是()

【答案】C

【分析】

由独立重复实验概率公式可得两种飞机正常飞行的概率，解不等式即可得解.

【详解】由题意，飞机引擎正常运行的概率为P,

则AH0飞机能成功飞行的概率为C"?=",

A340飞机能成功飞行的概率为C：p3(l=_3p4+4/,

令一3P4+4/〉p2即一3P2+4〃>1,解得;<p<\.

(2、

所以飞机引擎的故障率应控制的范围是0,鼻.

故选：C.

5.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,若直

3

D.

4

【分析】设出切线AC和BD的方程，与椭圆方程联立消去V,根据判别式△=(),求得匕，心

的表达式，根据AC与8。的斜率之积求得。和匕的关系，进而求得。和c的关系，椭圆的

离心率可得.

22

【详解】设内层椭圆的方程为二+与=13＞人＞0）,

矿b

r2v2

由离心率相同可知，外层椭圆的方程为:一百+＞三=1，

（ma）（mb）

则｛7黑凡淅

消去〉得(b2+口2_2ma3kfx+m2a4kf-a2b2=0

A21

由△=€),得公=>•一一，

1a2m2-\

设切线8。的方程为y=k2x+mb,

y=kx+mb

联立《2

(bx)1+(ay)2=(a。)？'

22

消去V得(/+/月)/+2“/版28+“%%2-ab=0,

由A=0得片=4•（加2—1）,

'2a4

2

又直线AC与BO的斜率之积为——1，，h勺=上1

4a24

a=2b,c=y/3b,e---

2

故选：c

6.已知函数/（%）=5皿5+。）（。〉0，|。|＜:|'）,%=—7为/（*）的零点，X=?•为y=/（x）

图象的对称轴，且/（X）在（白，工）单调，则。的最大值为

IO30

【答案】B

TTIT

【分析】根据已知可得3为正奇数，且3W12,结合x=-一为f（X）的零点，x=一为y

44

=/（X）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合/（x）在（二，二）上单调，可

1836

得3的最大值.

jrTT

【详解】・・・x二一一为f（x）的零点，X=一为（X）图象的对称轴,

2/1+12%71/

—,(〃WN)

2

即u）=2〃+l,（〃eN）

即0）为正奇数，

77、冗

■：f（x）在（土，—）上单调，则

1836

2万71

即T=—2—，解得：（0^12,

CD6

1\JI

当3=11时，------F（p=Ki,kEZ,

,兀

•・・kpl<5.

此时/（X）在（£,—）不单调，不满足题意;

1836

9万

当3=9时，-----F（P=ZTI,k£Z,

TT57r

此时/（x）在（土，—）单调，满足题意;

1836

故3的最大值为9,

故选B.

【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查，题目新颖，是一道考查

能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①〃x）=Asin（Q）x+9）（AH0,0H0）

的单调区间长度是最小正周期的一半;②若〃x）=Asin®x+e）（AHO,°HO）的图像

关于直线x=/对称，则/（七）=A或/（%）=-A.

7.已知实数〃满足In(e2+l)—l<ln(2a)<l+ln2,贝1]()

A.B.仁—>4D.

尸<ac-'

【答案】D

【分析】根据ln(e2+l)-l<ln(2a)<l+ln2得+对AB,构造

v

g（x）=e--,根据零点存在性定理判断即可；对CD,构造函数函数

X

Inx

〃x)=X>1）,求导分析函数单调性，结合所给不等式判断即可.

x—1

1

【详解】由Ing+l）—1<m（2。）<1+1112得l<l(e+i]<a<e,

e

对于选项A与B,函数g（x）=e「：在（0,+司上单调递增，则存在/G3

,使得

e'5

112e\2e

g($)=0,即又一<一<F—且“。女，,所以胸>。,均

eae+1

有可能，即/与a大小不确定.故A与B都不正确.

Inv1----Inx

对于选项C与D,令函数〃x）=n（x>l）得/，（x）■X_________

(尤-以

,1-x

4g(x)=l---lnx(x>l)t#g(x)=^---<0,所以g（x）在［l,+a>）上单调

XXX%2

递减

g(x)

所以当x>l时，g(x)<g(l)=0,所以/'(力=厂管T<0,所以/（x）在（1,欣）上

(x-l)

单调递减,

又l<g[e+1]<a<e，所以/(a)>.f(e)，所以半广业能，即产:"，故D正

确.

故选：D

8.已知四棱锥P-ABCD外接球表面积为S,体积为V,小，平面

ABCD,PA=4,/ABC=2C,且述〈V，则S的取值范围是()

33

A.10万<SB.20乃WSC.1()^<SD.

20岳<S

【答案】B

【分析】将已知竽4V转化为时82，§,运用余弦定理与基本不等式得到AC的取

值范围，

由此运用正弦定理得四边形4BCD外接圆半径的范围，然后根据球的性质得球半径的

范围，得解.

【详解】

以四边形ABCQ的外接圆为底，池为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.

设内接圆柱的底面半径为八R外接球的半径，，则/?2=22+/，

V=§SABCD•尸"=§SABCD2]8，故^ABCD-G，

SABCD=^ABBC-sir\^-+^ADDCsin^=^-(ABBC+ADDCy

所以AB5C+ADOC24

在AABC中运用余弦定理与基本不等式得：

AC2=AB2+BC2+ABBC>3ABBC，

在AWC中运用余弦定理与基本不等式得：

2

3AC=3(心+必_ADDC)23ADDC,

上两式相加得：4AC2>3(ABBC+ADDC)>12,

故有：AC2>3，

AC2

2r_.r.®ACr>1>1

在AASC中由正弦定理得：一?'_§一，

sin—

3

因此/?2=22+/25，S=4^/?2>20^--

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.

9.下列结论正确的是()

A.若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=L,则。(X)=」

22

B.若随机变量y的方差。")=2,则。(3丫+2)=8

(1]

C.若随机变量自服从二项分布64,彳，则尸(4=3)=-

k2；4

D.若随机变量〃服从正态分布N(5,CT2),P(T7<2)=0.1,则P(2<〃<8)=0.8

【答案】CD

【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布以及方差的性质，对每个选项进行逐一分

析，即可判断和选择.

【详解】对A：若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=L,则。(X)=

2

故人错误；

对B：若随机变量y的方差。(丫)=2,则。(3Y+2)=9O(y)=18,故错误；

对C：若随机变量自服从二项分布5(4,g),则P©=3)=。一g)=；，故正

确；

对D：若随机变量〃服从正态分布N(5,02),尸(〃<2)=0.1,则P(〃>8)=0.1,

故P(2<z;<8)=1-P(r/<2)-P⑦>8)=0.8,故正确.

故选：CD.

10.已知正方体ABC。-A4G4的边长为2,M为CG的中点，P为侧面BCGg上的

动点，且满足A"〃平面4BP,则下列结论正确的是（）

A.AM±B.〃平面A8P

C.动点P的轨迹长为m叵D.AM与A4所成角的余弦值为

3

75

3

【答案】BC

【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各选项.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,

则A（0,0,2）,4（。22），8（0,0,0）,M（2,1,0）,P（x,y,0）,

所以福=（0,—2,—2）,而=（x,y,0）,AM=（2,1,-2）,

由40〃平面4BP,

0+Z?x=2

得加=。率+匕而，即＜-2。+力=1,化简可得3x—2y=0,

-2a=-2

所以动点尸在直线3x—2y=0上，

A选项：AM=（2,1,-2）,图0=（2,—1,0）,

W-^W=2x2+lx（-l）+（-2）x0=3^0,所以谒与B而不垂直，所以A选项错

误；

B选项：CD、〃,48u平面A8P，CRa平面所以C。〃平面48P,B

选项正确；

C选项：动点P在直线3x—2y=0上，且P为侧面BCC4上的动点，则p在线段［5

匕《(*2,0),所以[B=J]gj+22+02=邛3,C选项正确;

福=（0,0,—2）,3（瓯丽）=2.2+；+（一2）2

D选项:D选项错误;

故选：BC

11.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为E，。为坐标原点，直线/:2x—2y—〃=0与C

交于A,B两点,以AB为直径的圆与y轴交于。，E两点，则()

A.\AB\^3pB.

C./DEE是钝角D.QEF的面积小于^OAB的面积

【答案】BCD

【分析】联立方程,根据韦达定理得到根与系数的关系,计算|A用=4p,A错误；计算

2

3+(y-p『=4p2,计算得到B正确；计算而•而<0,得至IJC

圆方程为:I

正确；S△函S.B泻忧，D正确；得到答案.

【详解】直线/：2x—2y—〃=0过抛物线焦点产r°,设A(xj),5(%,%)，

X]+々=3p

y~=2px?n2

则《,x~-3px+—=0,A=8p2~>0,£，

2x-2y-p=04

玉/=4

\AB\=x}+^+p=4p,A错误;

AB中点坐标为M^p,p,|AB|=4/?=2r,r=2p,

圆方程为:1-1/+(y-p『=4p2,取％=0得到y=〃，|£>目=，B

正确;

、

V7

不妨取。0,p-，0,P+

pE~2P，

27

故丽.丽=-gp-gP-2

-1p<o,。，瓦尸不共线，故

[22)1/27

/。日后是钝角，C正确;

SADEF=\\DE[\OF\=；X近px齐乎SMAB=；x4pX/J型=,

乙zz4乙y/2+2乙

S&DEF<，△ORB,D正确；

故选：BCD

12.已知函数/(x)及其导函数尸(x)的定义域均为R,对任意的x,yeR,恒有

/(x+y)+/(x—y)=2/(x)-/(y),则下列说法正确的有()

A./(O)=lB./'(x)必为奇函数

120231

C./(x)+/(())>0D,若"1)=7,则£/(〃)=3

【答案】BCD

【分析】赋值法求/(0)的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断

B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得了(〃),〃eN*的值有周期性，即可求得

2023

Z/(〃)的值，判断D.

”=1

【详解】对于A,令x=y=0,则由/(x+y)+/(x-y)=2/(x>/(y)可得

2/(0)=2门0),

故/(0)=0或〃0)=1,故A错误；

对于B,当7(0)=0时,令y=0,则〃x)+/(x)=2〃x>/(0)=0,则/(幻=0,

故r(x)=o,函数四工)既是奇函数又是偶函数；

当〃0)=1时，令x=0,则/(y)+I(-y)=2/(y),所以/(—y)=/(y),

/(x)为偶函数，则为奇函数；

综合以上可知必为奇函数，B正确；

对于C,令尤=y,则/(2x)+/(o)=2/2(x),故〃2X)+/(O)NO。

由于xeR,令r=2xjeR,即/⑺+/(0)20,即有/(x)+/(O)?O,故C正确；

对于D,若令x=l,y=0，则/(l)+/(l)=2/(l>/(O),则/(0)=1,

故令x=y=l,则〃2)+/(0)=2.尸(1),即〃2)+l=g,“(2)=—

令x=2,y=l,则/⑶+〃1)=2/(2>/(1),即+；==

令x=3,y=l,则/(4)+/⑵=2/⑶./⑴，即/(4)—g=T.»(4)=_；,

令x=4,y=l,则/(5)+/(3)=2/(4>/(1),即/(5)-1=_g,.〔/(5)=；,

令x=5,y=l,则〃6)+〃4)=2/(5)"(1),即/(句―g=g,.•.八6)=1,

令x=6,y=l,则〃7)+〃5)=2/(6>〃1),即/⑺+g=1,,/⑺=《，

L

由此可得/(〃),〃eN*的值有周期性，且6个为一周期，且

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

20231

故Z/(〃)=337x"⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/⑴=不，故D正确，

n=l2

故选：BCD

【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问

题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定/(〃),〃eN*的周期性.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过曾天后是.

【答案】星期五

【分析】利用周期含义以及指数运算即可.

【详解】根据题意，周期为7,26063=82021=(7+1)202',所以2漉3除以7的余数为1,即

经过2«)63天后，为星期五.

故答案为：星期五

14.单位圆中，为一条直径，为圆上两点且弦CD长为6,则衣•而取值

范围是.

【答案】--A/3,-+V3

[_22J

【分析】由题设4T,0),8(1,0),C(cos仇sin9),Q(cos(。+120),sin(6+120。))，再根据

数量积坐标运算计算即可.

【详解】解：如图，由弦8长为g,可得NCOD=120°,

不妨设A(—1,0),B(l,0),C(cos6,sin8),。(cos(8+120),sin(9+120。)),

则AC=(cos0+1,sin0),BD=(cos(6+120。)—1,sin(6+120°)),

所以尼.瓦5=(cose+l)[cos(e+12()°)—l]+sin9sin(e+120°)

(iG\(i\

-(cos^+1)——cos。----sin-1+sin。——sin^H-----cos6

\22?\227

6.A3c3

二----sin0—cos0—

222

=-V3sin(6>+60°)-1e------V3,hsj?)

2-------2

33

故答案为：-G-G,-彳+6-

22

15.已知函数/(力=丁-2犬+2%,则曲线y=经过点A(l,l)的切线方程是

【答案】x-y=0或3x—4y+l=0.

【分析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点4(1,1)即可.

［详解】设切点为«,广—2/+2。,对y=/(x)求导得：

/(x)=3f-4%+2,.•.%=3/一中+2,

•■•切线方程为：y一(「一2厂+2r)=(3f—4r+2)(x—,

切线过A(l,l),1—(/一2/+2。=(3r-4r+2)(l-r),

13

解之：r=—或1,所以斜率％或1,

24

又过A。』)，

代入点斜式得切线方程为：3x—4y+l=0或x-y=0,

故答案为：x-y=0或3x-4y+l=0.

3*

16.设数列｛《7｝首项4=a，前〃项和为S“，且满足2。的+5〃=3(〃wN),则满足

得<茅<《的所有n的和为.

【答案】9

S.,«=1

【分析】根据4='。C求出数列｛4｝的通项，再根据等比数列的前〃项和公式

Sn-Se，nN2

求出深,从而可得出答案.

3”

【详解】解:由2%+S“=3,得2an+S,i=3(〃>2),

两式相减得2«,(+|-24+an=0(n>2),

则4用=；a"("N2),

31

当〃=1时，2%+4=3,所以=

所以数列｛q｝是以|为首项y为公比的等比数列,

34S2n16得的<1+,<3

由<—~<,

33Sn15332"15

所以15<2"<33，所以〃=4或5,

即所有〃的和为4+5=9.

故答案为：9.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写

出文字说明、证明过程或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.

17.在△ABC中，记角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知lan8=-------

2-cosA

(1)若tan6=1,求tanC的值：

2

(2)已知中线AM交8c于M,角平分线AN交8c于N,且A〃=3,MN=■△ABC

的面积.

【答案】(1)tanC=-2或tanC=2；

,、36

(2)—.

5

3

【分析】(1)利用同角关系式可得5[也=,或4114=1，然后利用和角公式即得；

(2)由题可得sinC=2sinfi,利用角平分线定理及条件可得8W=3,CN=2,进而可

得4=工，b2=—,即得.

25

【小问1详解】

「、，sinA1

因为--------=一，

2-cosA2

[2sinA+cosA=2

所以sin2A+cos2A=1

,3

解得sinA=q或sinA=1,

.331

当sinA=—时，tanA=—,tanB=一,

542

31

—I—

所以tan（A+6）=—^j^~=2=-tanC,tanC=-2；

1—X—

42

当sinA=l时，因为OvAv4,

711

所以A=—,又tanB=一,

22

所以tanC=2.

【小问2详解】

八sinA

tanB=----------,

2-cosA

sinBsinA-.门・八▲.,c

:、----=-------，2sinB-smBcosA=sinAcosB,

cosB2-cosA

2sin8=sin3cosA+sinAcos8=sin（A+8）,即sinC=2sinB，

••c=2b

由角平分线定理可知，-=—=-=2,BN=2CN,又MN=T,BM=CM,

ACCNb

所以3M=3,C7V=2,

IJI

由AM=—BC=3,可得A=-,

22

.222f236

••b2+c2=a2=369b=,

所以S=—bc=^-2b2=b2=—.

225

18.已知数列｛a“｝成等比数列，S”是其前〃项的和，若%,5«+3，'+2仅—*)成等差数

列.

(1)证明：4+I，《+3,4+2成等差数列；

(2)比较S3+S3与2s3的大小；

八11113n-l

(3)若4>0,"为大于1的奇数，证明：丁+丁+丁+....+—>-；—,

&S?S3Sn2«,

【答案】(1)证明见解析

⑵S；+i+S：+2>2S3

(3)证明见解析

【分析】(1)根据等差中项得4===一；，为M+%+2=24+3即可；

(2)作差法比较即可;

13(-1严|

(3)利用等比数列求和公式可得晨二MJ2〃+乙严，然后进行求和即可得到答案

【小问1详解】

由题知,\+1+Sk