高中数学必背公式及常用结论

高中数学必背公式、常用结论

二次函数和一元二次方程、一元二次不等式

1.二次函数,=0?+6龙+。的图象的对称轴方程是》=一2,顶点坐标是二”)

2。(2〃4aJ

2.实系数一元二次方程ox?+加;+。=0的解：

①若△=〃-4ac>0,则玉2=-Z?±-Z?2-4—；

f2a

b

②若△二-4〃c=0,则玉=%=；

③若△=〃—4acv(),它在实数集/?内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共辄复数根

3.一元二次不等式ox?+8x+c>0(“>0)解的讨论:

二次函数

(。>0)的图象

一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根

R

二、指数、对数函数

1.运算公式

«---«1

⑴分数指数幕：a"=Nd"；a"(以上a>0,m,〃eN*,且〃>1).

行

⑵.指数计算公式：a"'-a"=am+n；(a"')"=a""'；(a-h)m=a'n-b"'

⑶对数公式：①J=Nolog«N=b；②log“(MN)=log“M+log“N；

/V7n

③log”—=log“M-logflN；@logb"=—log”b.

Nm

⑷.对数的换底公式：log,,N=bg"'N对数恒等式:产)=N.

log,”a

2.指数函数y=ax(a>0且。w1)的图象和性质

a>l0<a<l

图

象

性(1)定义域：R

质(2)值域：(0,+8)

(3)过定点(0,1),即x=0时,y=l

(4)x>0时,y〉l;x<0时，0<y<l(4)x>(^j,0〈y<l;x<0

时，y>l.

(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数

3.对数函数y=log,,X,(a>o,aHl)的图象和性质

a>10<a<1

x=\

图>\，=iog“x卜I

<*—1(。>1)1■\打。)

象八

(0<a<l)

(l)xe(O,+oo),yeR

(2)当x=l时，y=0；

(3)当x>l时，y>0,(3)当x>l时，y<0,

0<x<l时，y<0；0vx<l时，y>0；

=.?长用,漏新的簿蜀4H:)上是增函数(4)在(0,+)上是减函数

1.①C=0；②(x")=nx"~'；③(sinx)=cosx；④(cosx)=-sinx；

x

⑤(a、)=a'Ina；⑥(e*)=e；©(lognx)=―-—；⑧(Inx)=—

xlnax

2.导数的四则运算法则：（±y=u'±v'-,（uv）'=u'v+UV'-,（-）'=UV~UV;

MvVV

3.复合函数的导数：X=y'u

四.三角函数相关的公式：

1.⑴角度制与弧度制的互化：乃弧度=180°,「=二弧度，1弧度=（吧）/57。18'

18071

⑵弧长公式：l=8R；扇形面积公式：S=-IR^-OR2^

22

2.三角函数定义:角。终边上任一点（非原点）P（x,y）,设|OP|=r则：sina=）,cosa=工tana=上

rrx

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全stc”）

4.诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

5.⑴y=Asin3r+0）对称轴：令（ox+（p=k兀十三,得X=…；对称中心：（史？,0）（kwZ）;

2co

（2）y=ACOS@¥+0）对称轴：令&¥+0=左"，得了=匕—;对称中心：//+［一00）（/「uZ）

CD（o

21

⑶周期公式:①函数y=Asin(〃zx+0)及y=Acos(3x+e)的周期T0为常数,

冏

且A#0).②函数y=4tan(〃+的周期T(A、3夕为常数，且AW0）.

H

6.同角三角函数的基本关系：sin?x+cos?%=1；且史=tanx

cosx

7.三角函数的单调区间及对称性：

TTJT

⑴y=sinx的单调递增区间为2k兀一上,2k兀+二ZeZ,单调递减区间为

_22_

2版•+,,2&万+万ksZ,对称轴为x=（旌Z）,对称中心为伏匹。）（ZEZ）.

⑵丁=cosx的单调递增区间为［2%万一万,2%句ZwZ,单调递减区间为［2%办2%»+句ZwZ,

对称轴为x=2］（攵GZ）,对称中心为［版•+］,（））（左£Z）.

⑶y=tanx的单调递增区间为［左乃一］次乃+Z£Z,对称中心为

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①sin(a±J3)=sinacos(3±cosasin/?；cos(a±j3)=cosacos尸不sin2sin月；

,.八、tana±tanB

tan(«±J3)=---------------.

1不tanatan(3

②sin(a+0)sin(a-/?)=sin2a-sin2/?；cos(a+/?)cos(a-/?)=cos2a-sin2/?.

③asina+Acosa=+己sin(a+o)(其中，辅助角。所在象限由点(〃/)所在的象限

.b

决定，tan°=—、）.

a

9.二倍角公式：①sin2a=2sinacosa.（sina±cosa）2=l±2sinacosa=l±sin2a

②cos2tz=cos2a—sin2a=2cos2（z—1=1—2sin2a（升塞公式）.

21+cos2a.2l—cos2a/改官八十、

cosa--------,sina---------（降累公式）.

22

10.正、余弦定理：

nhC

⑴正弦定理：一9—=—^=」一二2H（2R是AABC外接圆直径）

sinAsinBsinC

注：①a:）：c=sinA:sinB:sinC；②。=2RsinA,Z?=2Rsin民c=2/?sinC；③

a_b_c_Q+b+c

———o

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

⑵余弦定理：/=>2+02-2^^054等三个；cosA="+c—a等三个。

2bc

11.几个公式:⑴三角形面积公式：@S=^aha=^bhh=1chc（ha,勾、也分别表示a、b、c边上的

高）；@S=—a^sinC=—Z>csinA=—easin5.

222

五。立体几何

1.表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S向+2s底；②侧面积：SM=2.7O~h；③体积：V=$底h

⑵锥体：①表面积：S=S"S底；②侧面积：S他尸勿7；③体积：V=-Sh：

3ft

⑶台体：①表面积：S=s®i+S上底+S下底;②侧面积：S蚌乃（r+rj/;③体积：V=-（S+VsF+5）h；

、42

⑷球体：①表面积：S=4成-；②体积：V=-加?3.

3

2.空间中平行的判定与性质：

1）、直线和平面平行：

⑴定义：若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行。

⑵判定定理：若a（za,"ua且a〃/，则a//a：若a〃尸且aua,则有a〃/。

⑶性质定理:a〃a.且au尸,aD£=/则a〃/.

2）、平面与平面平行的判定与性质：

⑴定义：如果两个平面没有公共点则称两个平面平行。

⑵判定定理：若aua,bua且aIIf3,bll/3,则all。

⑶性质定理：若a〃尸,acy=a,〃c7=》,则有

3.空间中垂直的判定与性质:

1）、直线与平面垂直：

⑴定义：设/为平面a内的任意一条直线，all,则a_La。

⑵判定定理：若。<=&,。(=&,。口。=尸，且/，。,/，。，则/-L。。

⑶性质定理：若：_La,l2±a则/J/4.

2)、平面与平面垂直：

⑴定义：如果两个平面所成的二面角的平面角为90°,则称这两个平面互相垂直。

⑵判定定理：若/<=/?,则有/?_La。

⑶性质定理：若e6=/，。u。且4_L/,则/_1_£。

若口，/,6_1_7，&口/?=/则/-1-7。

六.解析几何：

1.斜率公式：左=上"，其中勺(占,必)、P,(x2,y2).

Z-玉

直线的方向向量；=(。*)，则直线的斜率为攵=2(aw0).

a

2.直线方程的五种形式：

(1)点斜式：y—y=Z(x-X1)(直线/过点《(%,%),且斜率为左).

(2)斜截式：丁=丘+6(匕为直线/在y轴上的截距).

⑶两点式：——兑二x.(i(X],y)、R(x,,%)%产々，了尸为).

龙2一苍

(4)截距式：±+2=1(其中。、。分别为直线在x轴、y轴上的截距，且声0).

ab

(5)一般式：Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).

3.两条直线的位置关系：

(1)若(：y=Kx+4，4：y=，则：

①/1〃(=匕=&，仇。®/,-L/2<=>k^k2=—1.

(2)若4：48+与,+。|=0,4：A2X+B2y+C2=0,则：

①=482-4月=。且为。2-AzG工。；②4Uo44+482=0.

4.求解线性规划问题的步骤是：

(1)列约束条件；(2)作可行域，写目标函数；(3)确定目标函数的最优解。

5.两个公式：

⑴点P(xo.yo)到直线Ax+By+C=O的距离：入麻。+外。+C|:

⑵两条平行线Ax+By+Ci=O与Ax+By+C2=0的距离d=W-g|

JT+F

6.圆的方程：

⑴标准方程：①(x—a)2+(y-»2=/；②/+,2=/。

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=O(£>2+E2-4F>0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆OA=C¥0且B=0且D2+E2-4AF>0

Jx=rcos0

⑶参数方程：（y=rsin。

7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。

8.点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（△表示点到圆心的距离）

①d=Ro点在圆上；②d<Ro点在圆内；③d>Ro点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①^二/?0相切；②d<Ro相交；③d>Ru>相离。

⑶圆与圆的位置关系：（4表示圆心距，R,/•表示两圆半径，且R>r）

①d>/?+ro相离；②d=R+r。外切；③H—r<d<R+ro相交;

④d=R-厂o内切；⑤0cdeR-ro内含。

9.直线与圆相交所得弦长|AB|=2J产一标

10.椭圆、双曲线、抛物线

椭圆双曲线抛物线

定义1.到两定点B,F2的距离之1.到两定点Fi,F2的距离之

和为定值2a（2a>|FiF2|）的点差的绝对值为定值

的轨迹2a（0<2a<|FF2|）的点的轨迹

2.与定点和直线的距离之2.与定点和直线的距离之与定点和直线的距离相等的

比为定值e的点的轨迹.比为定值e的点的轨迹.点的轨迹.

（0<e<l）（e>l）

图形

方标准方2222

xy,xy1

程程靛+万=l(a>b>0)--jy=1(a>0,b>0)y2=2px

参数方

X=汨2为参数

程

[y=2pt

范围—a?x?a,—b?y?b|x|?a,y?Rx?0

中心原点0(0,0)原点0(0,0)

顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(a,0),(—a,0)(0,0)

(0,-b)

对称轴x轴，y轴；x轴，y轴；X轴

长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b.

焦点

Fi(c,0),F2(-C,0)Fi(c,0),F2(-C,0)

焦距

2cCc=yla2—b2)2c(c=V^2+b2)

离心率e=l

准线2

3

x=±—

C

渐近线,b

y=±—x

a

焦半径

通径2p

焦参数p

七.等差、等t匕数列：

等差数列等比数列

定义

通项公

%+(n-1)d=ak+(n-k)

式

d=成+〃1-d

求和公

式

中项公«a+b小匹门

A-2推广：2a.-a._w+a“+,“G?=皿。推广：=%,又。.

式

性1

质若m+n=p+q则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则aman=apaq。

2

若伙“｝成等差数列（其中匕,eN）则若伏“｝成等比数列（其中£eN）,

｛ak｝也为等差数列。贝心4｝成等比数列。

3

•%，S2“-S“，S3"—$2"成等差数列。S"，S2.一$"，$3“一$2“成等比数列。

4

qe=%,qn-"'=^-

«i%,

(mwn)

2.看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①%-”“I=4（〃N2,4为常数）.@2a„=all+i+a„_]（?j>2）

@a„=kn+b（〃,％为常数）.

3.看数列是不是等比数列有以下2种方法：

aJ

①an=a„_,<7（廉22,g为常数,且H0）.②=an+]（n>2,anan+\n-\*0）°

s—a(Y\—1)

4.数列｛〃〃｝的前〃项和与通项a”的关系：an-<_z

.3〃—3〃一]yrt—>乙)

5.常用公式：①1+2+3…+〃=正创；②『+22+32+…〃2=鲍心竺1)；

26

③尸+23+33…〃3=④_!_=1__L；⑤_!_=1(1——!_)

[_2」.n(n+1)nn+1n(n+2)2n〃+2

八。复数

1.复数的四则运算法则：

(1)(a+bi)+(c+di)=(tz+c)4-(Z?+d)i;(2)｛a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i;

(4)(a+bi)+(c+di)=----+-------t(c+dzw0).

c+7c+d

2.复平面上的两点间的距离公式：

22

d=\zx-z2\=7(^2-%,)+(y2-^)(Z|=X|+xi,z2=x2+y2i).

3.几个重要的结论：

(1))21+Z|2=2(|z|22-z=|z|2=|z|2；⑶(l±i)2=；⑷鲁=i；*=_j；

2+\zt-z^l+|Z2|);(2)Z±2i

I—I1+z

4n+,

⑸i性质：T=4；产=l,z=i,产+2=-l,严+3=T；严+严M+严2+产+3=0.

7I7I

4,模的性质：(l)|Z1z2Hz1||z2|;⑵|-H=E；⑶|z"|=|z|『

Z

z2I2I

九。向量

运算

几何方法坐标方法运算性质

类型

加1.平行四边形法则

法2.三角形法则

减

三角形法则

法AB=-BA,OB-OA^AB

1.4。是一个向量，满

数

足：|。H刈痴

乘

向

2.4>0时,几。与。同向；

量

2<0时，/la与〃异向；

九二0时，Aa=6.

£•加是一个数

向

量1.£=0或万=6时，

的

数。•坂=0.

量

积£工。且坂工由寸，

2一.一一一

a4）=\a\\b\cos（a,b）

2.重要定理、公式

（1）平面向量基本定理

心，德是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数九，小

使〃=力曲+42c2.

（2）两个向量平行的充耍条件：a//b<^b=Xa<=>x,y2-x2y1=0；

⑶两个向量垂直的充要条件：alb（。w6）o。Ro/w+X%=。

九.不等式

1.不等式的基本性质

（1）a>Z?oZ?<a（对称性）；（2）a>b,b>c=>a>c（传递性）

（3）a>b=a+c>b+c（加法单调性）

（4）a>b,c>d=>a+c>b+d（同向不等式相加）；

（5）a>b,c<da—c>b-d（异向不等式相减）

（6）a.>b,c>0=ac>be.（7）〃:>/?,cvO=>acvbc（乘法单调性）

»

（8）a>b>U,c>d>。=ac>bd（同向不等式相乘）；

⑼a>〃>0,0<c<”nq，（异向不等式相除）

cd

（10）a>b,ab>0^-<-（倒数关系）；（11）。>力>0=>a">b〃（〃£Z,且〃>1）（平方法则）

ab

（12）a>Z?>0n标>扬5",且”1）（开方法则）

2.均值不等式：4ab<（a,b>0）

,212

注意：①一正二定三相等；②变形："W（（a,bwR）。

22

3.极值定理：己知x,y都是正数，则有：

（1）如果积肛是定值p,那么当x=y时和x+y有最小值2，万；

（2）如果和x+y是定值s,那么当x=y时积xy有最大值

十.概率和统计:

1.概率

⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B)；

A包含的基本事件的个数

⑵古典概型：P(A)=

基本事件的总数

构成事件A的区域长度(面积或体积等)

(3)几彳可概型：P(A