苏教版选择性必修第二册6.2.2空间向量的坐标表示-1作业练习

【基础】6.2.2空间向量的坐标表示-1作业练习

一.单项选择

CC

1.如图，长方体^CD-A31CR1中，g]=阳=2,3=1,点E.F.G分别是DD1,AB.i

的中点，则异面直线AF与GF所成角的余弦值是

D)_____J

A.5B.2c.5口0

2.已知平面a的一个法向量5=(-2,-2,1),点A(-l,3,0)在a内，则P(-2,1,4)到a的距离为().

A.10B.3C.3D.3

3.如图，在三棱柱阳。-'31(：]中，M为Agi的中点，若

ABaBCb仙1cBM

"=、，"=","I,则”可表示为

-U+-3+,

+-+

13WS

12也

--+

4.a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与

a,b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，若直线AB与a成角为60°,则AB与b

成角为

A.60。B.30。C.90。D.45。

5.若平面01的一个法向量为n=(122),A(l,0,2),B(0,-l,4),Aga,B^a,则点A到平面a

的距离为()

12

A.1B.2C.3D.3

6.如图，已知二面角a-PQ邛的大小为60°,点C为棱PQ、&

一点，A€0,AC=2,NACP=30°,则点A到平面a的距离.

为

143

A.1B.2c.2D.2

7.设0=(3,-2,-1)是直线1的方向向量，2=(-1,-2,1)是平面a的法向量，则直线1与平

面以

A.垂直B.平行或在平面a内

C.平行D.在平面a内

8.如图，在同一个平面内，三个单位向量OAQBQC满足条件：OA与。C的夹角为a,且

tana=7,OB与OC与的夹角为45。.若。C=mOA+nOB(m,neR),则m+n的值为()

9.如图所示，在长方体阳。口5吊。口中，AD=AA1=1>AB=2,

点E是棱AB的中点，则点E到平面ACDi的距离为

A.2B.2c.3D.6

10.已知正四棱柱ABCD-ABCD中,AA尸2AB,则CD与平面BDG所成角的正弦值等于（）

2c正1\_

A.B.BD.-

33333

11.如图，在四棱锥「"BCD中，底面ABCD是矩形，PA_L底面ABCD,E是PC的中点,

AB=2,AD=2而,PA=2,则异面直线BC与AE所成的角的大小为（）

n

D.2

12.若平面。的一个法向量为“=(L2,2),A=(1,0,2),B=(0,-l,4),A€a,B6a,则

点A到平面a的距离为

12

A.1B.2C.3D.3

abc

13.若~=(1A2),—(2,-1,2),J(14,4),且，，共面，则」=(

A.1B.-1C.1或2D.±1

14.如图，在矩形ABCD中，AB=△,BC=1,将AACD沿折起,

使得D折起的位置为Di,且Di在平面ABC的射影恰好落在AB

上，则直线DR与平面ABC所成角的正弦值为

10V343

A・3B.3c・3D.4

15.在空间直角坐标系中，正方体ABCD-AIBIJD］棱长为2义为正方体的棱A%的中点，F为

棱AB上的一点，且“冲=9°则点F的坐标为（）

c.®°)

16.二面角aJ邛等于120°,A.B是棱1上两点，AC.BD分

别在半平面a.。内，AC11,BD11,且AB=AC=BD=1,则

CD的长等于

A.mB.WC.2D.出

17.如图，在正方体出。口一人田£31中，E,F分别是CQi,

的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为

5击

A.一百

B.'5

C.5

D.5

18.已知长方体ABCD-AIB]C]D]内接于球0,底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA】的中

点，°AL平面BDE,则球。的表面积是（）

A.8nB.16nc.20nD.32n

参考答案与试题解析

1.【答案】D

解：以DA,DC,DDI所在直线方向x,y,轴，建立空间直角坐标系，

则可得2),E(0,0,1),G(0,2,1),F(l,l,0)

A]EGF

••・=(・Lo,-1),f=(1,-1,-1)

设异面直线与GF所成角的为，

\EGF

IjlljcosO=|cosv">1=0,

故选：D

„A[EGF

以DA,DC,DDI所在直线方向x>y>轴，建立空间直角坐标系，可得'和”的坐标,

A1EGF

进而可得cosV","可得答案.

本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题.

【解析】

2.【答案】D

【解析】根据题意，可得：

•.•A(-l,3,0),P(-2,l,4).

.•.PA=(-l,-2,4),

又•:平面a的一个法向量n=(-2,-2,1)，点A在a内，

：.P(-2,1,4)到a的距离等于向量正在'上的投影的绝对值，

|PA'n|

d=----=—

即IN,

|-lx(-2)+(-2)x(-2)+4xl|

也+4+1,

10

3.

3.【答案】A

解：取AC的中点N,连接BN.MN,如图所示；

・••M为AG的中点,

ABaBCb

NMAA]c

BN1BABC1AB

-=9一+-)=一(「+号，7

2222

BMBNNM

2222

故选：A.学

ABBCMBM

利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，用二”和r表示出“即可.

本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题.学

【解析】

4.【答案】A

【解析】分析：由题意知，a.b.AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1

的正方体，|AC|=1,|AB|=企，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运

动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为

z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.

详解：由题意知，a.b.AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，

不妨设图中所示正方体边长为1,故|AC|=1,|AB|=也，

斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，

B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，

则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量2=(0,1,0),|a|=l,

直线b的方向单位向量b=(1,0,0),电=晨

设B点在运动过程中的坐标中的坐标B'(cos0,sin9,0),

其中。为B，C与CD的夹角，OG[0,2n),

/.ABf在运动过程中的向量，AB=（cos0,sin。，-1）,AB|二也,

n

京与‘所成夹角为B£[o,2],

|AB,b||cos6|

cos0=|AB||b|y/2,

n

a=-

当AB与a夹角为60°时,即3,

1

Vcos20+sin2。=1,AcosP=2Icos0|=2,

nn

VBe[o,2],・・.B=3,此时AB与b成角为600.

点睛：（1）本题主要考查了空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知识，考查推

理论证能力.运算求解能力.空间想象能力，考查数形结合思想.化归与转化思想.（2）

解答本题在关键是根据已知构造空间直角坐标系，再利用向量知识解答,这实际上就是

数学的转化思想的灵活运用.

5.【答案】C

侬用

a=---------

【解析】分析：求出曲，点A到平面a的距离：愀，由此能求出结果.

详解：VA(l,o,2),B(o,-1,4),ACa,B%,

••AB为平面a的一条斜线，且“=（-1,-1,2）

|Afe-B|1(-1)-1+(-1)-2+2-2|1

d=---------=---------,=-------=-

二点A到平面a的距离：向+22+22

故选C.

点睛：点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，如图，设AB为平面Q的一条斜线

段，n为平面a的法向量，则A到平面a的距离时.

6.【答案】C

解：过A作AO，a于0,点A到平面a的距离为A0；

作AD1PQ于D,连接0D,

Q

则AD1CD,AO•LOD/AD。就是二面角a-PQ邛的大小为

60°.

•・・AC=2,4ACP=30°,

AD=ACsin300=2x-=l

所以2

AO

-----=sin60

在Rt^AOD中，AD

AO=ADsin60°=1x—=—

22.

色

故答案为：》.

过A作AO，a于0,点A到平面a的距离为A0；作AD^PQ于D,连接0D,说明/也。就

是二面角a-PQ邛的大小为60°.

通过三角形ADC与三角形AOD求出A0的值，即可.

本题考查空间几何体中点.线.面的关系，正确作出所求距离是解题的关键，考查计算

能力.

【解析】

7.【答案】B

解：v-=3x(-l)+(-2)x(-2)+(-l)xl=0.

an

••「丁.

或1<=a.

故选：B.

根据工"=0可知?，?，从而得出结论.

本题考查了空间向量在立体几何中的应用属于基础题.

【解

8.【答案】B

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,

7"企3

sina=-----,cosa=——cos(a+45°)=——

由tana=7知a为锐角，且1。10,故5,

4

sin(a+45°)=-

5

，点B,C的坐标为

又酰=m6A+n(5fe,

也鸣5之）+心。）

•101055

510解得

m+n=---+---=

，882.选民

9.【答案】C

解：如图，以D为坐标原点，直线DA,DC,DDI分别为x,y,轴

建立空间直角坐标系，

长IX二

则Di©。，1）,E（l，l,0）,A（l，o,0）,CQ2,。）.片"

(1，L-D,-=(-L2,0),(-1Q,1),

设平面ACD］的法向量为\（a5c）,

,="a+2b=0

)nndADu1】n

则「"=-a+c=0,取a=2,得"=(2,1,2),

点E到平面ACDi的距离为:

2+1-2

故选：C.

以D为坐标原点，直线DA,DC,DDI分别为x,y,轴，建立空间直角坐标系，利用向

量法能求出点E到平面ACD的距离.

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知

识，考查推理论证能力.运算求解能力.空间想象能力，考查函数与方程思想.数形结

合思想，是中档题.

【解析】

10.【答案】A

【解析】

设A3=l,则A41=2,建立如图所示空间直角坐标系，则0（0,0,2）,G（0,1,0），

B（l,1,2）,C（0,l,2）,DB=（1,1,0）,DC（=（0,1,-2）,DC=（0,1,0）,设〃=（x,y,z）为

y=0/、

平面BOG的一个法向量，则｛y_2-=0'取〃=（-2,2,1）,设8与平面6£>G的所

成角为。，则—।=->故选A.

I啊3

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何

问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐

标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为

零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求

出相应的角和距离.

11.【答案】B

【解析】分析：以A点为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求

得

BC=O2&,0）,AE=（l，M，l）,利用向量的夹角公式，即可求解.

详解：以A点为原点,AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴,建立空间直角坐标系,

贝ljB（2,0,0）,C（2,2版,0）,P（0,0,2）,A（0,0,0）,E（l,板,l）,

则BC=（0,2",0）,£E=（1，M1）,

设异面直线BC和AE所成的角为。，

点睛：本题考查了异面直线所成的角的求解，其中把异面直线所成的角转化为向量所成

的角，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，对于对于立体几何中角的计算问题，往

往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公

式求解.

12.【答案】C

解：、.平面a的一个法向量为,=(1,2,2),

A=(1，O,2),B=(0,-1,4),AWa,Bea,

BA

-2),

点A到平面a的距离：

BAn

/rn+2-41i

a=--------=,二=-

R7+4+43

故选：C.

BAn

r-i

d=----

BAn

求出，点A到平面a的距离：Pl,由此能求出结果.

本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运

用.

【解析】

13.【答案】A

cab

解：存在实数m,n使得―/一+不，

/1=m+2n

・•・14=Xm-n

U=2m+2n,解得九=1.

故选：A.

cab

存在实数m,n使得、nT+n,即可得出.

本题考查了向量坐标运算性质.向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础

题.

【解析】

14.【答案】B

解：设Di在平面ABC的射影为0,

由题意，CBJ•平面DgB,••.CD'DiB,

•••D1C=A/3>BC=1,

*'•D]B=垓＞

・・・AD；+BD；=AB2,

**,D]B-LD]A

由等面积可得Di。・由=1・也叫°R

吧二业

直线Dg与平面所成角的正弦值为Dg3,

故选：B.

DiO=7

设Di在平面ABC的射影为0,求出G即可求出直线Dg与平面ABC所成角的正弦

值.

一松

DiO=­f=

本题考查直线DR与平面ABC所成角的正弦值，考查学生的计算能力，正确求出J3

是关键.

【解析】

15.【答案】C

【解析】由正方体的性质可得E(2O1)GO2,2),设F(2,y,0),则EC】=(-2,2,1),EF=(0,y,-l),

因为'JEF=90。,.•.ECi-EF=2y-l=0,解得丫一2,则点F的坐标为h'。)，故选c.

16.【答案】C

解：.'A.B是棱1上两点，AC.BD分别在半平面a.。内，AC11,BDH,

又I二面角a-1-B的平面角等于120°,且AB=AC=BD=1,

•••CD=^AC2+AB2+BD2-2AC.BD-cos6=+1+1+1=2,

故选C.

由已知中二面角a-1邛等于120°,A.B是棱1上两点，AC.BD分别在