2024-2025学年高中数学 第2章 平面向量 3 从速度的倍数到数乘向量 3.2 平面向量基本定理（教师用书）教案 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第2章平面向量3从速度的倍数到数乘向量3.2平面向量基本定理（教师用书）教案北师大版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容来自于2024-2025学年高中数学第2章平面向量，第3节从速度的倍数到数乘向量，具体为3.2平面向量基本定理。本节课的主要内容包括：

1.平面向量基本定理的表述和理解；

2.向量的数乘运算规则和性质；

3.运用平面向量基本定理解决实际问题。

教学重点为平面向量基本定理的理解和数乘运算的规则，教学难点为平面向量基本定理的应用。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要体现在逻辑推理、数学建模和数学运算三个方面。

1.逻辑推理：通过学习平面向量基本定理，使学生能够理解和运用逻辑推理的方法，从而提高他们的逻辑思维能力。

2.数学建模：在运用平面向量基本定理解决实际问题的过程中，培养学生从实际问题中建立数学模型的能力，提高他们的数学应用意识。

3.数学运算：通过对数乘向量运算的学习，使学生掌握数乘运算的规则和性质，提高他们的数学运算能力。

同时，通过本节课的学习，培养学生团队合作、自主探究的学习习惯，提高他们的独立思考能力和问题解决能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节内容之前，学生应已掌握初中阶段的向量知识，如向量的定义、向量的加减法、向量的模等。此外，学生还应具备一定的函数知识，如函数的定义、函数的图像等，以便能够理解向量与函数之间的关系。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中生在学习数学方面，兴趣各异，有的对理论感兴趣，有的擅长运算。在本节课中，可以通过实际问题引入平面向量基本定理，激发学生的学习兴趣。在能力方面，学生应具备一定的逻辑推理能力和数学运算能力。在学习风格上，学生或喜欢自主探究，或喜欢合作交流，教师应根据学生的特点，采取相应的教学策略。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习平面向量基本定理时，学生可能对向量的数乘运算规则和性质理解不清，导致在实际问题中运用不当。此外，学生可能对如何将实际问题转化为数学模型感到困惑。针对这些困难，教师应给予耐心指导，通过讲解、示范和练习，帮助学生掌握平面向量基本定理，并能够运用到实际问题中。同时，教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的教学资源，以满足不同学生的学习需求。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、向量模型教具等。

2.课程平台：学校教学管理系统、数学学科教学平台。

3.信息化资源：平面向量基本定理相关教学视频、PPT课件、练习题库、网络教学资源等。

4.教学手段：讲解法、示范法、练习法、小组合作探究、问题驱动教学等。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《平面向量基本定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要描述物体运动速度和方向的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平面向量基本定理的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解平面向量的基本概念。平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。它广泛应用于物理学、工程学等领域，用以描述物体运动的速度和方向。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了平面向量在物理学中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平面向量基本定理和数乘向量的这两个重点。对于数乘向量的难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平面向量相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示平面向量基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“平面向量在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了平面向量基本定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平面向量的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）平面向量基本定理在工程中的应用案例：桥梁设计、建筑物的受力分析等。

（2）平面向量基本定理在计算机科学中的应用：图形学中的向量运算、计算机动画中的运动轨迹等。

（3）平面向量基本定理在生物医学领域的应用：神经网络中的向量运算、医学影像处理中的向量分析等。

（4）平面向量基本定理在经济学中的应用：市场需求分析、供需平衡的向量表示等。

2.拓展建议：

（1）让学生结合自己的生活经验，思考平面向量基本定理在日常生活中的应用，例如自行车运动、足球运动等。

（2）组织学生进行小研究，探讨平面向量基本定理在其他学科领域的应用，如物理、计算机科学、生物医学等。

（3）引导学生利用网络资源，查找平面向量基本定理在实际问题中的应用案例，并进行交流分享。

（4）鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，提高他们在平面向量基本定理方面的应用能力。

（5）建议学生在课后阅读数学原著、杂志文章等，深入了解平面向量基本定理的发展历程和前沿研究。

（6）推荐学生使用数学软件或在线工具，进行平面向量的绘制、运算和分析，提高他们的实践能力。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了平面向量基本定理，理解了向量的数乘运算规则和性质。通过实际问题的解决，我们知道了平面向量基本定理在各个领域的应用。希望大家能够深刻理解并掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。

当堂检测：

1.填空题：

（1）平面向量基本定理表述中，____是平面向量的数乘运算，____是向量相等的条件。

（2）已知向量a=(3,2)和向量b=(1,-1)，求向量a乘以4后的结果是____。

2.选择题：

（1）已知平面向量a和b，且|a|=|b|，则下列结论正确的是____：

A.a和b一定相等

B.a和b的方向一定相同

C.a和b的模一定相等

D.a和b的方向一定相反

3.解答题：

（1）已知向量a=(x,y)和向量b=(m,n)，且向量a与向量b平行，求证：x/m=y/n。

（2）一个物体在二维平面上的运动轨迹是一个圆，其速度向量v=(v_x,v_y)的大小保持不变。假设物体在t时刻的位移向量为s=(s_x,s_y)，求证：向量v垂直于向量s。

答案与解析：

1.填空题：

（1）数乘运算；向量相等的条件。

（2）向量a乘以4后的结果是(12,8)。

2.选择题：

（1）C.a和b的模一定相等。

3.解答题：

（1）证明：由于向量a与向量b平行，所以它们的方向相同，即存在一个实数k使得a=k*b。由于向量a=(x,y)和向量b=(m,n)，所以有x/m=y/n。

（2）证明：由于向量v垂直于向量s，所以它们的方向垂直，即向量v与向量s的点积为0。由于向量v=(v_x,v_y)的大小保持不变，所以向量v的模的平方等于v_x^2+v_y^2保持不变。而向量s=(s_x,s_y)的模的平方等于s_x^2+s_y^2也保持不变。因此，有v_x^2+v_y^2=s_x^2+s_y^2。由于向量v与向量s的点积为0，所以v_x*s_x+v_y*s_y=0。将v_x^2+v_y^2=s_x^2+s_y^2代入，得到s_x^2+s_y^2=0。由于s_x^2≥0和s_y^2≥0，所以只有当s_x=0且s_y=0时，上述等式成立。即向量v垂直于向量s。教学反思与总结在今天的高中数学课上，我教授了平面向量基本定理的相关知识。在教学过程中，我尝试了多种教学方法和策略，希望能够激发学生的兴趣，提高他们的理解能力和应用能力。

在导入新课时，我通过提问的方式引导学生思考平面向量在实际生活中的应用，同学们积极参与，课堂气氛较为活跃。在讲授新课内容时，我采用了讲解和示范相结合的方式，尽量让学生通过直观的例子来理解平面向量基本定理。在实践活动环节，我设计了分组讨论和实验操作，让学生能够将理论知识应用到实际问题中。

在教学过程中，我意识到需要进一步改进的地方。首先，在讲解平面向量基本定理时，我应该更加注重数乘向量运算的规则和性质的讲解，通过更多的例题和练习来帮助学生巩固这一知识点。其次，在实践活动环节，我应该给予学生更多的指导，帮助他们将理论知识与实际问题相结合，提高他们的问题解决能力。最后，我还需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求提供差异化的教学资源和支持。典型例题讲解例题1：已知向量a=(3,2)，向量b=(-1,4)，求向量a和向量b的数乘运算结果。

答案：向量a乘以2后的结果是(6,4)，向量b乘以3后的结果是(-3,12)。

例题2：已知向量c=(x,y)，向量d=(2,3)，求向量c和向量d的数乘运算结果。

答案：向量c乘以4后的结果是(4x,4y)，向量d乘以-2后的结果是(-4,-6)。

例题3：已知向量e=(1,2)，向量f=(3,-4)，求向量e和向量f的数乘运算结果。

答案：向量e乘以-2后的结果是(-2,-4)，向量f乘以1后的结果是(3,-4)。

例题4：已知向量g=(a,b)，向量h=(c,d)，求向量g和向量h的数乘运算结果。

答案：向量g乘以e后的结果是(ae,be)，向量h乘以f后的结果是(ac,ad)。

例题5：已知向量i=(x,y)，向量j=(m,n)，求向量i和向量j的数乘运算结果。

答案：向量i乘以k后的结果是(xk,yk)，向量j乘以l后的结果是(ml,nl)。板书设计①重点知识点：平面向量