广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意甲、乙、丙每位同学的第三门高考选考科目都有种选择，按照分步乘法计数原理可知不同的选法种数为.

故选：A2.已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数在区间上单调递减C.函数在区间上单调递增D.函数在区间上单调递增〖答案〗C〖解析〗由导数的图象可知，当时，，所以在区间，上单调递增，故C正确；当时，，所以在区间上单调递减，当时，，则在区间上单调递减，故A、B、D错误；故选：C．3.若随机变量满足，.则下列说法正确的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗随机变量满足，，则，，据此可得，.故选：D4.设曲线在处的切线方程为，则a的值为（）A. B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗依题意，曲线，求导得：，则，因曲线在处的切线方程为，则，即，解得，所以a的值为-2.故选：A5.若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为()A.29 B.29－1 C.39 D.39－1〖答案〗D〖解析〗(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故选：D6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，又，，，又，所以，即.故选：A7.国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A.306 B.198 C.268 D.378〖答案〗B〖解析〗由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式．综上，共有种不同的提问方式．故选：B.8.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在到中与互质的有1,5,7,11,13,17,19，即；由二次剩余的定义，假设是的二次非剩余，则整数的整数不存在，当时，，当时，，当时，不存在，即，由事件中有种情况，事件有种情况，所以.故选：C.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）A.从中任选1个球，有15种不同的选法B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法〖答案〗ABD〖解析〗A.从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；C.若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.故选：ABD10.设随机变量的分布列为，则A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗随机变量分布列为,，解得，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故〖答案〗为：A、B、C.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则t的最小值为2D当时，方程有且只有两个实根〖答案〗BD〖解析〗，令，解得或，当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．故选：BD．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设随机变量X服从两点分布，若，则______．〖答案〗0.6〖解析〗随机变量X服从两点分布，则，又，联立解得．故〖答案〗为：0.6.13.长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为___________.〖答案〗〖解析〗设事件表示“免疫力低下”，事件表示“长期熬夜”，则，，，所以，，所以，所以．故〖答案〗为：．14.已知函数，且满足，则实数的值为__________.〖答案〗1〖解析〗令，其定义域为为，则，则为奇函数，且，因为和在上均单调递增，且恒成立，则在上单调递增，由得，即，则.令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，故时取最小值0，故不等式的解为.故〖答案〗为：1.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.若是函数的极大值点．（1）求a的值；（2）求函数在区间上的最值．解：（1），由题意知或时，，在区间递增；在区间递减，是的极大值点，符合题意.时，，在区间递增；在区间递减，是的极小值点，不符合题意.则.（2）由（1）知，且在，单调递增，在单调递减，又，，，，则，.16.二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求：（1）展开式中所有二项式系数的和；（2）展开式中所有的有理项．解：（1）二项式展开式的通项为（且），所以第五项的二项式系数，第三项的系数为，依题意可得，即，所以，则，所以展开式中所有二项式系数和为.（2）由（1）可得二项式展开式的通项为（且），令，又且，则或或，所以有理项有，，.17.玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求：（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.解：（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”，由题设可知，，，，且，，，所以.即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.（2）因为，所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.18.已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．解：（1）由题意知：所有可能的取值为，，，；；，的分布列为：（2）由（1）得：从情境开始第一关，则；若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，则所有可能的取值为，，，；；，；，应从情境开始第一关.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若存在，，使得恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）定义域，若,则,令,得，当单调递减，当单调递增，若,得或，若,则对恒成立,所以在上单调递减，