第2章对称图形-圆 单元总复习（知识点梳理+巩固练习） 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

对称图形-圆单元总复习（知识点梳理+巩固练习）知识模块知识模块1（一）圆：在一个平面内，一条线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA的长度叫做这个圆的半径。圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。【归纳】（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图中的。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图中的。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。1.下列说法中，不正确的是（

）A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称2.下列说法中正确的有（填序号）．（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．3、如图，⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为10，如果过点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为(

)

A．3 B．4 C．5 D．64.已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是（

）A．2 B．5 C．9 D．115.某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积．6.已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为．7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=14，点D在边BC上，CD=6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是（

A．8<r<10 B．6<r<8 C．6<r<10 D．2<r<148.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则∠MON的度数为（

）

A．100° B．40° C．50° D．80°9.如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠E=40°，那么∠C=．10.①倍圆问题；如图1，已知⊙O，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原⊙O的两倍的圆；②均分问题：如图2，已知⊙O，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原⊙O的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹）（2）若⊙O的半径为5，则上述所作圆的周长分别是，．知识模块知识模块2知识点2弧，弦，圆心角三者之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。弧的度数等于它所对圆心角的度数知识点3垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC＝3003m，BD＝150m，则AC的长为（）A．300πm B．200πm C．150πm D．1003πm2.如图，是的直径，，，则的大小为．3.下列命题中，正确的个数是（

）（1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.如图，在⊙O中，点B是的中点，点D在上，连接OA、OB、BD、CD．若∠AOB=50°，则∠BDC的大小为．

5.化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（

）A． B． C． D．6.⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为．7.若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是8.如图1，舞台地面上有一段以点O为圆心的，主持人要站在的中点C的位置上．他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点．他的想法是正确的．请你先在图2中画出点C（不要求尺规作图），再写出确定点C所用方法的依据（填写定理原文）．9.如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为．10.道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为m．11.如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为．(1)若，求的度数；(2)若，，求圆O的半径长．知识模块知识模块3知识点一．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．知识点二．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．1.下列说法正确的是（

）A．三点确定一个圆 B．经过圆心的直线是圆的对称轴C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．三角形的外心到三角形三个边距离相等2.如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心.3.下列语句中正确的是（

）A．经过三个点一定可以作一个圆B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等4.如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为．5.如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是；

6.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（

）A．① B．② C．③ D．④7.在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是．8.如图，在中，．

(1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，，求的面积．知识模块知识模块4知识点1定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。知识点2圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。知识点3如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。1.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，已知AB=4，CD=1，∠B=55°，∠C=65°，则BC=．

2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE，若∠BCD=2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是（

）A．30° B．35° C．45° D．60°3.如图，⊙O中，OA⊥BC，∠B=50°，则∠D的度数为（

）

A．20° B．50° C．40° D．25°4.如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA=．5.如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，若，平分，则的度数为．6.如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．

7.如图，在中，圆心角，P为劣弧上一点，则度数是（）

A． B．或 C． D．8.如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为，点M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（

）

A．4 B．5 C．6 D．29.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（）A． B．2 C．2 D．410.已知四边形内接于，对角线是的直径(1)如图①，连接若，求证：平分；(2)如图②，E为内一点，满足，，判断四边形的形状，并说明理由11.如图1，四边形ADBC内接于⊙O，E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC.

(1)求证：AB=AC；(2)若△ABC为等边三角形，则∠EDA=度；（直接写答案）(3)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E，且DB=AE=2，求⊙O的半径.知识模块知识模块5知识点1基本概念1.直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点。2.直线和圆有唯一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点。3.直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。知识点2直线和圆的位置关系的判定设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则：直线l和⊙O相交d<r直线l和⊙O相切d=r直线l和⊙O相离d>r知识点3切线的性质切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。1.已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．92.如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定3.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（s）为时，⊙P与直线CD相切．4.如图，AC是⊙O的直径，AB，BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切线，C为切点，OD与⊙O交于点E．若点C为BE的中点，∠D=32°，则∠ACB的度数为（

）

A．56° B．58° C．61° D．68°5.如图：P是⊙O的直径CD的延长线上一点，PA是⊙O的切线，A为切点，∠P=40°，则∠ACP=．6.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（）A．45° B．50° C．65° D．75°7.如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连结DE．（1）若BA＝BD，求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD＝4，CE＝2，求⊙O的半径．8.如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为ABD上一点，且∠ADE＝40°．（1）求BE的长；（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．9.如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB.试证明：(1)CB是∠ECP的角平分线；(2)CF=CE．10.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．11.如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，∠ABC=60°．点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O．(1)当DC与△PAB的外接圆⊙O相切时，求⊙O的半径；(2)直接写出⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围．知识模块知识模块6知识点六、正多边形和圆知识点1正多边形和圆的关系定理1：把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。知识点2正多边形有关概念正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。知识点3正多边形的有关角正多边形的中心角都相等，中心角=（n为正多边形的边数）正多边形的每个外角=（n为正多边形的边数）1.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．122.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AB上，点Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为（）A．30° B．45° C．36° D．60°3.如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为．4.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(-23，3)，（0，﹣3A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）5.如图，两个大小相同的正六边形的一边重合在一起，正六边形的边长为2，连接顶点A，B，则线段的长为．6.如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（

）A．4 B．6 C．8 D．107.如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则PC的度数为°．8.如图，正六边形内接于，半径为．

(1)求的长度；(2)若G为的中点，连接，求的长度．9.已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：(1)在图1中，画出CD的中点G；(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．知识模块知识模块6知识点七、弧长和扇形面积知识点1计算公式1.n°的圆心角所对的弧长：l=2.扇形面积：（由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形）方法一：S扇形＝方法二：S扇形＝知识点2圆锥圆锥的母线：连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。圆锥的高：圆锥的顶点到底面圆的距离，即顶点与底面圆的圆心的连线的长是圆锥的高。圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径为圆锥的母线，扇形弧长为底面圆的周长。圆锥的侧面积：圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为n，圆锥的全面积：圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。1.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm22.如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是cm．3.如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的圆弧AC的长度为（）A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．5πcm4.如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（

）A． B． C． D．6.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（

）A． B． C． D．7.图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（

）A． B．