2023创新设计一轮第4节 基本不等式

第4节基本不等式

考试要求1.了解基本不等式的证明过程2能用基本不等式解决简单的最值问

题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.

知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.基本不等式：丽W等

(1)基本不等式成立的条件：。〉0,b>Q.

(2)等号成立的条件：当且仅当归上时取等号.

(3)其中号叫做正数a,8的算术平均数，血叫做正数a,。的几何平均数.

2.两个重要的不等式

a)a2+h2^2ah(a,b^R),当且仅当时取等号.

(2)出?W(a,bWR),当且仅当a=h时取等号.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数，如果积犯等于定值P,那么当尤=y时，和x+y有最小

值2期.

⑵已知尤，y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当尤=丁时，积孙有最大

值如

常用结论

1.t+圻2伍，人同号)，当且仅当时取等号.

a2+Z?2

2.abW

、2.

3.应用基本不等式求最值要注意：”一正，二定，三相等"，忽略某个条件，就

会出错.

4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使

用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

I]诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)不等式a2+b2^2ab与等》迎成立的条件是相同的.()

(2)函数产x+千的最小值是2.()

(3)函数尸sinx+4;，xW(O，品的最小值是4.()

(4)“x>0且)，>0"是"(+!22”的充要条件.()

xy

答案(1)X(2)X(3)x(4)X

解析(1)不等式/+/7222a。成立的条件是a,b^R,等2板成立的条件是

。>0,b>0.

(2)由于x@(-8,0)U(0,+°°),故函数y=x+：无最小值.

4

(3)sinx+而：的最小值不为4.

⑷*+22”的充要条件是孙>0.

尢y

2.(易错题)当x〈0时，函数y=x+：()

A.有最大值一4B.有最小值一4

C.有最大值4D.有最小值4

答案A

解析>=无+(=—(―x)+(一§W

-2y]I)x(一0=-4.

当且仅当x=—2时等号成立，故选A.

3.(易错题)函数y=x(3—2x)的最大值为()

999

A.3C.7

B.T4ZDo.Q

答案D

234L1(2x-\-3—2x\9

斛析y=%(3—-----2-----)=京

3

当且仅当2%=3—2x,即尤=1时等号成立.

4.(2022•滨州三校联考)若函数兀月=无十占(x>2)在x=a处取最小值，则a等于

()

A.1+&B.1+V3

C.3D.4

答案C

解析当x>2时，x—2>0,7(x)=(九一2)+一^+222\/(%—2)X—^+2=4,

当且仅当尤一2=占(%>2),即x=3时取等号，即当/U)取得最小值时，x=3,

即a=3,故选C.

5.(2021.长沙月考)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18

m,则当这个矩形的长为m,宽为m时菜园面积最大.

答案15y

解析设矩形的长为xm,宽为ym.则x+2y=30(0<xW18),所以S=xy=^

2

尤・(2y)W娶苧当且仅当x=2y,即x=15,y=学时取等号.

6.(2021.天津卷)若a>0,b>0,则5十各+万的最小值为.

答案2也

解析骨>。，b>0,

售+b=；+b22yj^b=2y[i,当且仅当!=,且差=乩即a=

/?=啦时等号成立，

.,1+/+〃的最小值为2皿

考点突破•题型剖析

考点一利用基本不等式求最值

角度1配凑法

例1⑴已知0«半，则4/1一2?的最大值为.

答案.

解析VO<x<^-,.\1-2?>0,

x\]1—2X2=^-A/2X\/1—2X2W

y/2(2f+1—It2)也

2\2)4.

当且仅当2f=1—2f,即x=：时等号成立.

⑵已知x>4，则段)=4x—2+Jz^的最小值为.

答案5

解析Vx>|,/.4x—5>0,

.•./U)=4x—2+^^=4x—5+^^+32271+3=5，

13

当且仅当4x—5=丁',即尤=怖时取等号.

4%—52

—/

(3)已知函数力》=干(尤<一1)，则()

A./U)有最小值4B.7U)有最小值一4

C：/(x)有最大值4D人工)有最大值一4

答案A

因为尤<—1,所以x+l<0,—(x+1)>0,

所以/U)》2，T+2=4,

当且仅当—(x+l)=-TT即x=—2时，等号成立.

故/U)有最小值4.

角度2常数代换法

12

例2若直线2wu—〃y—2=0(机>0,〃>0)过点(1,—2),则m+［的最小值为()

A.2B.6

C.12D.3+2/

答案D

解析因为直线2mx—ny—2=0(机>0,〃>0)过点(1,-2),

所以2m+2〃一2=0,即机+〃=1,

所以,+?=P；+~\m+n)=3+—+~^3+2也,

mn\m，〃''mnv

当且仅当2=萼，即〃=啦旭时取等号，

所以3+W的最小值为3+2啦.

mnv

角度3消元法

例3已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.

答案6

解析法一(换元消元法)

由已知得x+3y=9一孙，

Vx>0,y>0,

x+3y22\j3xy,

2

当且仅当x=3y,即x=3,y=l时取等号，

・"+3升猾*以

即(x+3y)2+12(x+3y)—10820,

令x+3y=t,则>0且P+nt-10820,

解得r26,即x+3y的最小值为6.

法二(代入消元法)

9-3y

由x+3y+町=9,得x=]+),,

9一3)，9—3y+3y(1+y)

.♦.x+3y=卜3y=

i+yi+y

9+3/3(1+y)2~6(1+y)+12

=]+y=l+y

12/12~

=3(l+y)+jq^—6»2y3(l+y)—6=12—6=6,

12

当且仅当3(1+外=苦，即尤=3,y=l时等号成立，

，x+3y的最小值为6.

感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的

形式.

2.常数代换法，主要解决形如“已知x+y=也为常数)，求的最值”的问题，

先将3十5转化为C+打.牛，再用基本不等式求最值.

3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量

后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积

式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

训练1(1)已知0VxV2,则8(5—2处的最大值为.

答案V

解析因为0VxV2,

所以2x>0,5-2x>0,

--2

1,12x+(5-2x)12525

则x(5-2x)=7・2»(5-2x)<干-----5----------=^X-=—,

当且仅当2x=5—2光，即时等号成立,

故的最大值为手.

x(5-2x)O

(2)正实数x,y满足4f+>2+孙=1,则孙的最大值为；2x+y的最大

值为.

答案1W10

解析*.*1-xy=4x1-\-y2^4xy,

.,.5xyWl,・••孙W/

当且仅当y=2x时取等号.

4j^+^+xy=1,.•・(2x+y)2—3孙=1,

(2x+y)2-1=3xy

2

=拉亦|(空),

3

即(2x+y)2—1Wg(2x+y)2,

•c.,2<8.°,V加

..Qx+yyWg,..2%十yW,

当且仅当2x=y时取等号.

(3)(2020・江苏卷)已知5/y2+y*=ia，yGR),则^十丁的最小值是.

4

答案5

解析由题意知y#0.由可得?=5ya,所以f+y2=5a+歹

=^^~=K^+4y2)^|x2^Sx4/=1,当且仅当时=49，即尸土乎时取等

号，所以f+V的最小值为*

考点二基本不等式的综合应用

角度1与其他知识交汇的最值问题

例4已知。，E分别是△A8C的边A3,AC的中点，M是线段OE上的一动点(不

包含。，E两点)，且满足破=碗^+尸/，则的最小值为.

答案6+46

解析由于M是线段OE上的一动点(不包含。，E两点、),D,E分别是AB,AC

的中点，

则赢勘+碗=2疝)+2阳k

所以a,4>0且2a+2夕=1.

5+/([+永2a+20=6+?+与26+46，当且仅当a=£LTT时

(AU\vA/(ALJ乙乙

取等号，

19

故打方的最小值为6+4也

角度2求参数值或取值范围

例5(2022・杭州调研)对任意相，〃£(0,+°°),都有m2一卬%〃+2/N0,则实数

。的最大值为()

ASB.2V2C.4D.1

答案B

解析..•对任意用，〃£(0,+°°),

都有nr—amn+2n20,

...苏+2〃22即〃，即.."「+2〃二=%+@恒成立

mnnm

当且仅当q=舞，即加=啦〃时取等号，

:.a<2版故实数。的最大值为2啦，故选B.

感悟提升(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不

等式的条件，然后利用常数代换法求最值.

(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的

条件，从而得到参数的值或范围.

I1?

训练2⑴设0V〃zV],若/+工£23-24恒成立，则k的取值范围为.

答案[-2,4]

解析由于0<加<；,

川]2_]_2

J'm1—2mm(1—2m)2m(1—2m)'

而1—2〃?>0,且2m+(1—2/%)=1,

由基本不等式可得

2m+(1—2m)22\J2mx(1一21),

--2

所以2，”X(1—2m)W+(；]—2/7?)1所以」2、<『2=8.

L2J42m(1—2m)

4

当且仅当2m=1-2根，即机=(时取等号.

由已知不等式恒成立可知

―应打帚J，

即a~~2kW8,解得一2WAW4.

C_|_Q

(2)设等差数列｛&”｝的公差为d,其前〃项和是S“若m=d=l,则号「的最小

tin

值

是

9

答案-

2

gi、，,n(1+n)

斛析因为z=m+(〃-l)d=〃，Sn=----2---

n(1+〃),

---------4-2

当且仅当n=—,即〃=4时取等号，

所以审的最小值是3

Un乙

考点三基本不等式的实际应用

例6要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造

价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()

A.80元B.120元C.160元D.240元

答案c

解析由题意知，体积V=4m3,高/z=lm,所以底面积S=4n?,设底面矩形

4

的一条边长是九m,则另一条边长是，m,又设总造价是y元，则y=20X4+

QIQQ

10x(2x+JC-)\j80+X20A/2x-=160,当且X仅当2%=-，即尤=2时取得等号.

感悟提升(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数

的最值.

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性

求解.

训练3某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一

年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则光的值

是.

答案30

解析由题意得，一年购买券次，则总运费与总存储费用之和为券X6+4x=

4(答+>叭?|/=240(万元)，当且仅当户30时取等号，故总运费与总存

储费用之和最小时，x的值是30.

拓展视野/基本不等式链

片+序

若a>0,b>Q,则j2"

-^―（6Z>0,。>0）.

V

-a+Tb

2

其

中/。2+帝

当且仅当a=b时等号成立,11和7二一分别叫做a,h的调和平均数

1

4

4

-

J-

和平方平均数.p

一、利用基本不等式链求最值

例1当一g«词,函数y=,\]2jc—\十15——的最大值为.

答案2^2

a+b”+序

解析由丁、\2

Ic^+b2

仔—2一，

贝1y=yj2x—1+*\/5_2x

l2x—1+5—2x

Q—2-=2隹

当且仅当、2x—1=、5—2x,即x=|时等号成立.

二'利用基本不等式链证明不等式

例2（2021•衡水市联考）已知a,b,c都是非负实数，求证：-\/«2+/?2+^//?2+<?+

q^+a22啦（a+b+c）.

cr+b1a+b

证明•••2i2.

即*\/。2+廿》坐（“十））,

同理，同勇+‘2》乎（匕+c）,

'Q+Xe；(c+a),

相加可得^/屋+82_|_己82+‘2+y1c2+廿2乎(a+b)+*(b+c)+乎(c+a)=也(a

+Z?+c）,

当且仅当a=b=c时等号成立.

I分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.下列等式中最小值为4的是（）

41

A.y=x+-B.y=2z+y

C.y=4/+：（f>0）D._y=r+y

答案C

解析运用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，A,B,D均不满足

“一正”条件，故选C.

2.已知a>0,且b>0,若2a+b=4,则必的最大值为（）

A.；B.4C.gD.2

答案D

解析4=2a+b^2^2ab,

即2A\]2ab,两边平方得422出?，

：.ab^2,当且仅当a=l,。=2时，等号成立，

：.ab的最大值为2.

3.若a>0,b>Q,1ga+lgZ?=lg(a+b),则a+b的最小值为()

A.8B.6C.4D.2

答案C

解析依题意ab=a+b,

,(a+bY,1(a+b)2

.,.a+h=ab^：r-^-'I,atK1Pa+bW,

：.a+h^4,当且仅当a=b时取等号，

：.a+b的最小值为4.

4.设x>0,则3—3%一千的最大值是（）

A.3B.3-2小

C.-1D.3—2y[3

答案D

解析Vx>0,二.3M=2小,当且仅当尸半时，等号成立,

.二-（31+：猿-2小，

贝（]3-3x--2y/3.

5.（多选）下列四个函数中，最小值为2的是（）

A.y=sin龙

B.y=lnx#l)

/+6

C.尸

"+5

D.y=4v+4^

答案AD

IT1

解析对于A,因为OVxW^,所以OVsinxWl,则y=sinx+不q22,当且仅

当sinx=・p即sin九=1时取等号，符合题意；

对于B,当0<x<l时，Inx<0,此时y=lnx+油；为负值，最小值不是2,不

符合题意；

对于C,尸疝崔="+5=q，+5,设f=++5,则124，贝ly2小+也

=竽，其最小值不是2,不符合题意；

对于D,产4*+4-*=4*+/22\^4^^=2,当且仅当x=O时取等号，故y=

华+4"的最小值为2,符合题意.故选AD.

6.若实数x,y满足F+V+xyul，则x+y的最大值是（）

A.6C.4D.1

答案B

解析W+y2+盯=]0（x+y）2-孙=1,

传。■],当且仅当x=y时取等号，

即永x+yX，•,.—¥<+><¥，

.••龙+y的最大值是毕.故选B.

13

7.（2021・南通一模）已知a>0,b>0,且”+8=1,则的最小值为,

答案4+2小

解析鸿=（"从鸿）=4+e+引24+24净=4+25,

当且仅当《=与，即。=咛1,8=支区时等号成立.

8.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总

利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为)，=一f+18%一

25(xWN*),则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是万元.

答案8

解析每台机器运转x年的年平均利润为2=[18—[+§)]万元，由于x>0,故?

<18-2^25=8,当且仅当尤=5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年

平均利润最大，最大为8万元.

9.命题“VxG(l,+8),f_火十。+2>0”为真命题，则实数a的取值范围是

答案(一8,2^3+2)

解析依题意VxW(l,+°°),f—依+。+2>0恒成立，

f+2

即。(无一l)Vf+2,即]恒成立.

..-2+2(x2—2x+l)+(2%-2)+3

•X-1X—1

(九一1)2+2(x—1)+3

X—1

—(x—1)+([]+2N2小+2,

当且仅当X—1=含，即8=小+1时，等号成立，

."<2小+2.

Q

10.⑴当X>1时，求2%+一;的最小值;

x—1

^210

(2)当x>l时，求停的最小值.

X「4

解(1)2%+―-=2(x-1)+—j-+2,

x—1L元1」

Vx>l,Ax-l>0,

2十圈'22X2也+2=10，

4

当且仅当X—1=-7,即x=3时，取等号.

X—1

人W+8(%—1)2+2(%—1)+9

(2)令y=—~=-----------------；---------------=('_])-

'X—1X-1

因为》一1>0,所以y》2\J(X-1).圈+2=8,

9

当且仅当X—1=----r,即尤=4时，y取最小值为8.

11.已知尤>0,y>0,且2x+8y=xy,求：

(l)xy的最小值；

(2)x+y的最小值.

解(1);Ay=2x+8y22y)2x-Sy,

即xy^Sy/xy,xy264,

当且仅当2元=8y,即%=16,y=4时，等号成立，

•\xy的最小值为64.

Q2

(2)由2x+Sy=xy,得/,=1，

则x+y=(|+1)(x+y)

吉鲁】。+

=10+2

2x8y

当且仅当即x=12,y=6时等号成立，

y4

所以尤+y的最小值为18.

||B级能力提升

12.（2022.济南模拟）已知△ABC的面积为1,内切圆的半径也为1,若△ABC的三

边长分别为“，b,C,则房+丁的最小值为（）

A.2B.2+V2

C.4D.2+2^2

答案D

解析因为△ABC的面积为1,内切圆的半径也为1,

所以T（a+b+c）X1=1,所以a+Z?+c=2,

匕匕，、।