九年级数学上册 第24章　解直角三角形 单元测试卷（华师版 2024年秋）

九年级数学上册第24章解直角三角形单元测试卷（华师版2024年秋）一、选择题(每题3分，共24分)题序12345678答案1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AC＝2eq\r(3)，则BC＝()A．2eq\r(6) B．2 C．4eq\r(3) D．62．用计算器求cos15°的值，正确的按键顺序是()A.eq\x(cos)eq\x(1)eq\x(5)eq\x(＝) B.eq\x(SHIFT)eq\x(cos)eq\x(1)eq\x(5)eq\x(＝)C.eq\x(SHIFT)eq\x(1)eq\x(5)eq\x(＝) D.eq\x(15)eq\x(cos)eq\x(＝)3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，D为AC的中点，BD＝2，则BC的长为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3) C．2 D．4(第3题)(第4题)4．如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB的中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将()A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小5.如图是我们经常看到的一种折叠桌子的示意图，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成的，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20eq\r(3)cm，∠COD＝60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是()(第5题)A．30eq\r(3)cm B．60eq\r(3)cm C．40eq\r(3)cm D．60cm6．在△ABC中，∠B，∠C都是锐角，tanB＝1，cosC＝eq\f(\r(2),2)，则对△ABC的形状最确切的判断是()A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形7．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c2＋4b2－4bc＝0，则sinA＋cosA的值为()A.eq\f(\r(3)－1,2) B.eq\f(1＋\r(3),2) C.eq\f(1＋\r(2),2) D.eq\f(\r(3)＋\r(2),2)8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点F是AB的中点，连结CF，将线段CF沿射线BC方向平移到ED，且点D在AC上，则线段CF在平移过程中扫过的区域(四边形CFDE)的周长和面积分别是()(第8题)A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16二、填空题(每题3分，共18分)9．如果α是锐角，sinα＝cos30°，那么α为________．10．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若sin∠1＝eq\f(\r(2),2)，则∠2的度数为________．(第10题)(第11题)(第12题)(第14题)11．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则cos∠BAC的值为______．12．如图，一束光线照在坡度i＝1eq\r(3)的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．13．若三角形两边长分别为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为________．14．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，AP＝______________．三、解答题(15，16题每题8分，17～19题每题10分，20题12分，共58分)15．计算：(1)eq\f(tan260°＋2cos45°,2sin260°－cos60°)；(2)2tan30°＋tan45°－4cos30°.16．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；(2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq\r(6)，AC＝3eq\r(2)，解这个直角三角形．17．如图，某人为了测量小山顶上的塔DE的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进48m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为37°，求塔DE的高度.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(结果保留根号，参考数据：sin37°≈\f(3,5)，cos37°≈\f(4,5)，tan37°≈\f(3,4)))(第17题)18．如图①，某款线上教学设备由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．(1)当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝________°；(2)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？(3)已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)(第18题)19．为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170m处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，BD长为100m，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．(1)求步道DE的长度；(2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D，他走哪条路较近？请说明理由．(结果精确到个位，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，eq\r(3)≈1.73)(第19题)20．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q.(1)tan∠ACB＝________；(2)在点P从点C运动到点A的过程中，eq\f(PQ,PB)的值是否发生变化？如果发生变化，请求出其变化范围；如果不发生变化，请求出其值；(3)若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，请直接写出PC的长．(第20题)

答案一、1.B2.A3.C4.C5.D6.B7.B8．C点拨：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(102－62)＝8.∵点F是AB的中点，∴CF＝AF＝eq\f(1,2)AB＝5.∵DF∥CE，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,2)，∠CDF＝180°－∠ACB＝90°，∴点D是AC的中点，CD＝eq\f(1,2)AC＝4，∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝eq\f(1,2)BC＝3.∴四边形CFDE的周长为2(DF＋CF)＝2×(3＋5)＝16，四边形CFDE的面积为DF·CD＝3×4＝12.二、9.60°10.135°11.eq\f(\r(2),2)12.3013.12eq\r(3)14．3或3eq\r(3)或3eq\r(7)三、15.解：(1)原式＝eq\f(（\r(3)）2＋2×\f(\r(2),2),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\f(1,2))＝eq\f(3＋\r(2),\f(3,2)－\f(1,2))＝3＋eq\r(2).(2)原式＝2×eq\f(\r(3),3)＋1－4×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3)＋1－2eq\r(3)＝1－eq\f(4\r(3),3).16．解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，∴AB＝eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(8,\f(\r(3),2))＝eq\f(16\r(3),3)，AC＝eq\f(BC,tan60°)＝eq\f(8,\r(3))＝eq\f(8\r(3),3).(2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq\r(6)，AC＝3eq\r(2)，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(6),3\r(2))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2eq\r(6)，∠B＝90°－∠A＝60°.17．解：由题意知∠BCD＝90°，∠EBC＝37°，∠A＝45°，∠DBC＝60°.设BC＝xm，在Rt△BCE中，EC＝BC·tan∠EBC＝BC·tan37°≈eq\f(3,4)xm，在Rt△BCD中，DC＝BC·tan∠DBC＝BC·tan60°＝eq\r(3)xm．∵∠A＝45°，∴易得AC＝CD，∴x＋48＝eq\r(3)x，解得x＝24＋24eq\r(3)，∴EC≈(18＋18eq\r(3))m，DC＝(72＋24eq\r(3))m，∴DE＝DC－EC≈(72＋24eq\r(3))－(18＋18eq\r(3))＝54＋6eq\r(3)(m)．答：塔DE的高度约为(54＋6eq\r(3))m.18．解：(1)58(2)如图，过点C作CF⊥l，垂足为点F，过点B作BN⊥CF，垂足为点N，则易得四边形ABNF是矩形，∴FN＝AB＝18cm，∠ABN＝90°.∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC－∠ABN＝148°－90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝40cm，∴CN＝40·sin58°≈40×0.85＝34(cm)，∴CF＝CN＋FN≈34＋18＝52(cm)，∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm.(第18题)(3)如图，过点D作DE⊥l，垂足为点E，过点D作DM⊥CF，垂足为点M，则易得四边形DEFM是矩形，∴MF＝DE.由题意得DE＝30cm，∴MF＝30cm，∴CM＝CF－MF≈52－30＝22(cm)，在Rt△CDM中，CD＝44cm，CM≈22cm，∴cos∠DCM＝eq\f(CM,CD)≈eq\f(1,2)，∴∠DCM≈60°.在Rt△CBN中，∵∠CBN＝58°，∴∠BCN＝32°，∴∠BCD＝∠DCM－∠BCN≈60°－32°＝28°.∴此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为28°.19．解：(1)如图，过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F.(第19题)由题易得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170m，在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE＝eq\f(DF,sin58°)≈eq\f(170,0.85)＝200(m)，∴步道DE的长度约为200m.(2)从点A出发，经过点B到达点D的路较近．理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170m，∴EF＝eq\f(DF,tan58°)≈eq\f(170,1.60)＝106.25(m)．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170m，∴BC＝AC·tan60°＝170eq\r(3)m，AB＝eq\f(AC,cos60°)＝eq\f(170,\f(1,2))＝340(m)．∵BD＝100m，∴CD＝BC＋BD＝(170eq\r(3)＋100)m.∵四边形ACDF是矩形，∴AF＝CD＝(170eq\r(3)＋100)m，∴AE＝AF－EF≈170eq\r(3)＋100－106.25≈288(m)．因此，某人从点A出发，经过点B到达点D的路程为AB＋BD＝340＋100＝440(m)，从点A出发，经过点E到达点D的路程为AE＋DE≈288＋200＝488(m)．∵440＜488，∴从点A出发，经过点B到达点D的路较近．20．解：(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(PQ,PB)的值不发生变化．过点P作PF⊥OA于点F，反向延长PF交BC于点E，∴PE⊥BC，∴易得四边形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝4.设PE＝a，则P