![高中数学专题练习20-立体几何中的平行与垂直问题(新高考地区专用)解析版_第1页](http://file4.renrendoc.com/view4/M00/0B/2F/wKhkGGaY0E-AICJ2AAETwVjMk8I515.jpg)
![高中数学专题练习20-立体几何中的平行与垂直问题(新高考地区专用)解析版_第2页](http://file4.renrendoc.com/view4/M00/0B/2F/wKhkGGaY0E-AICJ2AAETwVjMk8I5152.jpg)
![高中数学专题练习20-立体几何中的平行与垂直问题(新高考地区专用)解析版_第3页](http://file4.renrendoc.com/view4/M00/0B/2F/wKhkGGaY0E-AICJ2AAETwVjMk8I5153.jpg)
![高中数学专题练习20-立体几何中的平行与垂直问题(新高考地区专用)解析版_第4页](http://file4.renrendoc.com/view4/M00/0B/2F/wKhkGGaY0E-AICJ2AAETwVjMk8I5154.jpg)
![高中数学专题练习20-立体几何中的平行与垂直问题(新高考地区专用)解析版_第5页](http://file4.renrendoc.com/view4/M00/0B/2F/wKhkGGaY0E-AICJ2AAETwVjMk8I5155.jpg)
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨:证明直线与平面的平行与垂直问题,一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理,切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法:一是在面内找线;二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、如图,在四棱锥PABCD中,M,N分别为棱PA,PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,DA=DP.求证:(1)MN∥平面PBC;MD⊥平面PAB.例2、如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1B1B为矩形,平面AA1B1B⊥平面ABC,点E,F分别是侧面AA1B1B,BB1C1C对角线的交点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:BB1⊥AC.例3、如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC,A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,D,E分别是AB1和BC的中点.求证:(1)DE∥平面ACC1A1;(2)AE⊥平面BCC1B1.例4、如图,三棱锥DABC中,已知AC⊥BC,AC⊥DC,BC=DC,E,F分别为BD,CD的中点.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)BD⊥平面ACE.例5、如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D,B1C与BC1交于点E.求证:(1)DE∥平面ABB1A1;(2)BC1⊥平面A1B1C.例6、如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知D,E分别为BC,B1C1的中点,点F在棱CC1上,且EF⊥C1D.求证:(1)直线A1E∥平面ADC1;(2)直线EF⊥平面ADC1.题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题,一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理,切记不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线;平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。例7、(2020年江苏高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.例8、在四棱锥SABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形.(1)求证:平面SAC⊥平面SBD;(2)若点M是棱AD的中点,点N在棱SA上,且AN=eq\f(1,2)NS,求证:SC∥平面BMN.例9、ABCDPEF如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCDPEF,E,F分别是PC,AD的中点.求证:(1)BE⊥CD;(2)EF∥平面PAB.例10、如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,AC的中点.(1)求证:B1C1∥平面A1DE;(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1,求证:AB⊥DE.例11、如图,在四棱锥中,底面是矩形,点在棱上(异于点,),平面与棱交于点.(1)求证:;ABCDEFP((2)若平面ABCDEFP(二、达标训练1、如图,ABCD是菱形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求证:AC∥平面BEF.2、如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分别是AC,B1C1的中点.求证:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.3、如图,已知矩形ABCD所在平面与△ABE所在平面互相垂直,AE=AB,M,N,H分别为DE,AB,BE的中点.(1)求证:MN∥平面BEC;(2)求证:AH⊥CE.4、如图,在三棱锥PABC中,已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC,CP⊥PB,求证:CP⊥PA;(2)若过点A作直线l⊥平面ABC,求证:l∥平面PBC..5、如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,PC⊥平面ABCD,PB=PD,点Q是棱PC上异于P,C的一点.(1)求证:BD⊥AC;(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上),求证:QF∥BC.立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨:证明直线与平面的平行与垂直问题,一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理,切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法:一是在面内找线;二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、(2019南通、泰州、扬州一调)如图,在四棱锥PABCD中,M,N分别为棱PA,PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,DA=DP.求证:(1)MN∥平面PBC;MD⊥平面PAB.【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为棱PA,PD的中点,所以MN∥AD.(2分)又底面ABCD是矩形,所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)又BC⊂平面PBC,MN⊄平面PBC,所以MN∥平面PBC.(6分)(2)因为底面ABCD是矩形,所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,AB⊂底面ABCD,所以AB⊥侧面PAD.(8分)又MD⊂侧面PAD,所以AB⊥MD.(10分)因为DA=DP,又M为AP的中点,从而MD⊥PA.(12分)又PA,AB在平面PAB内,PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB.(14分)例2、(2019扬州期末)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1B1B为矩形,平面AA1B1B⊥平面ABC,点E,F分别是侧面AA1B1B,BB1C1C对角线的交点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:BB1⊥AC.规范解答(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形,E,F分别是侧面AA1B1B,BB1C1C对角线的交点,所以E,F分别是AB1,CB1的中点,所以EF∥AC.(4分)因为EF⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形,所以BB1⊥AB.因为平面AA1B1B⊥平面ABC,且平面AA1B1B∩平面ABC=AB,BB1⊂平面AA1B1B,所以BB1⊥平面ABC.(12分)因为AC⊂平面ABC,所以BB1⊥AC.(14分)例3、(2019南京、盐城二模)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC,A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,D,E分别是AB1和BC的中点.求证:(1)DE∥平面ACC1A1;(2)AE⊥平面BCC1B1.规范解答(1)连结A1B,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1∥BB1且AA1=BB1,所以四边形AA1B1B是平行四边形.又因为D是AB1的中点,所以D也是BA1的中点.(2分)在△BA1C中,D和E分别是BA1和BC的中点,所以DE∥A1C.又因为DE⊄平面ACC1A1,A1C⊂平面ACC1A1,所以DE∥平面ACC1A1.(6分)(2)由(1)知DE∥A1C,因为A1C⊥BC1,所以BC1⊥DE.(8分)又因为BC1⊥AB1,AB1∩DE=D,AB1,DE⊂平面ADE,所以BC1⊥平面ADE.又因为AE⊂平在ADE,所以AE⊥BC1.(10分)在△ABC中,AB=AC,E是BC的中点,所以AE⊥BC.(12分)因为AE⊥BC1,AE⊥BC,BC1∩BC=B,BC1,BC⊂平面BCC1B1,所以AE⊥平面BCC1B1.(14分)例4、(2019苏锡常镇调研)如图,三棱锥DABC中,已知AC⊥BC,AC⊥DC,BC=DC,E,F分别为BD,CD的中点.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)BD⊥平面ACE..规范解答(1)三棱锥DABC中,因为E为DB的中点,F为DC的中点,所以EF∥BC,(3分)因为BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,所以EF∥平面ABC.(6分)(2)因为AC⊥BC,AC⊥DC,BC∩DC=C,BC,DC⊂平面BCD所以AC⊥平面BCD,(8分)因为BD⊂平面BCD,所以AC⊥BD,(10分)因为DC=BC,E为BD的中点,所以CE⊥BD,(12分)因为AC∩CE=C,AC,CE⊂平面ACE,所以BD⊥平面ACE.(14分)例5、(2019苏州三市、苏北四市二调)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D,B1C与BC1交于点E.求证:(1)DE∥平面ABB1A1;(2)BC1⊥平面A1B1C.规范解答(1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,所以侧面ACC1A1为平行四边形.又A1C与AC1交于点D,所以D为AC1的中点,同理,E为BC1的中点.所以DE∥AB.(3分)又AB⊂平面ABB1A1,DE⊄平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A1.(6分)(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1.又因为A1B1⊂平面A1B1C1,所以BB1⊥A1B1.(8分)又A1B1⊥B1C1,BB1,B1C1⊂平面BCC1B1,BB1∩B1C1=B1,所以A1B1⊥平面BCC1B1.(10分)又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BC1.(12分)又因为侧面BCC1B1为正方形,所以BC1⊥B1C.又A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C⊂平面A1B1C,所以BC1⊥平面A1B1C.(14分)例6、(2017苏北四市一模)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知D,E分别为BC,B1C1的中点,点F在棱CC1上,且EF⊥C1D.求证:(1)直线A1E∥平面ADC1;(2)直线EF⊥平面ADC1.规范解答(1)证法1连结ED,因为D,E分别为BC,B1C1的中点,所以B1E∥BD且B1E=BD,所以四边形B1BDE是平行四边形,(2分)所以BB1∥DE且BB1=DE.又BB1∥AA1且BB1=AA1,所以AA1∥DE且AA1=DE,所以四边形AA1ED是平行四边形,所以A1E∥AD.(4分)又因为A1E⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,所以直线A1E∥平面ADC1.(7分)证法2连结ED,连结A1C,EC分别交AC1,DC1于点M,N,连结MN,则因为D,E分别为BC,B1C1的中点,所以C1E∥CD且C1E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形,所以N是CE的中点.(2分)因为A1ACC1为平行四边形,所以M是A1C的中点,(4分)所以MN∥A1E.又因为A1E⊄平面ADC1,MN⊂平面ADC1,所以直线A1E∥平面ADC1.(7分)(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC,所以AD⊥BB1.又△ABC是正三角形,且D为BC的中点,所以AD⊥BC.(9分)又BB1,BC⊂平面B1BCC1,BB1∩BC=B,所以AD⊥平面B1BCC1,又EF⊂平面B1BCC1,所以AD⊥EF.(11分)又EF⊥C1D,C1D,AD⊂平面ADC1,C1D∩AD=D,所以直线EF⊥平面ADC1.(14分)题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题,一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理,切记不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线;平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。例7、(2020年江苏高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.【解析】(1)由于分别是的中点,所以.由于平面,平面,所以平面.(2)由于平面,平面,所以.由于,所以平面,由于平面,所以平面平面.例8、(2019宿迁期末)在四棱锥SABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形.(1)求证:平面SAC⊥平面SBD;(2)若点M是棱AD的中点,点N在棱SA上,且AN=eq\f(1,2)NS,求证:SC∥平面BMN.规范解答(1)因为SA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以SA⊥BD.(2分)又因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又SA,AC⊂平面SAC,且SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.(5分)由BD⊂平面SBD,得平面SAC⊥平面SBD.(7分)(2)设AC与BM的交点为E,连结NE.由底面ABCD是菱形,得AD∥BC.所以eq\f(AE,EC)=eq\f(AM,BC)=eq\f(AM,AD)=eq\f(1,2).(9分)又因为AN=eq\f(1,2)NS,所以eq\f(AE,EC)=eq\f(AN,NS)=eq\f(1,2),所以NE∥SC.(11分)因为NE⊂平面BMN,SC⊄平面BMN,所以SC∥平面BMN.(14分)例9、(2019苏北四市、苏中三市三调)ABCDPEF如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCDPEF,E,F分别是PC,AD的中点.求证:(1)BE⊥CD;(2)EF∥平面PAB.证(1)在△PBC中,因为,E是PC的中点,所以BE⊥PC.……2分又因为平面BPC⊥平面DPC,平面BPC平面DPC,平面BPC,ABCDPEFH所以BABCDPEFH又因为平面DPC,所以BE⊥CD.……7分(2)取PB的中点H,连结EH,AH.在△PBC中,又因为E是PC的中点,所以HE∥BC,.……9分又底面ABCD是平行四边形,F是AD的中点,所以AF∥BC,.所以HE∥AF,,所以四边形AFEH是平行四边形,所以EF∥HA.……12分又因为平面PAB,平面PAB,所以EF∥平面PAB.……14分例10、(2018扬州期末)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,AC的中点.(1)求证:B1C1∥平面A1DE;(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1,求证:AB⊥DE.规范解答(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,四边形B1BCC1是平行四边形,所以B1C1∥BC.(2分)在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,故BC∥DE,所以B1C1∥DE.(4分)又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE.(7分)(2)如图,在平面ABB1A1内,过A作AF⊥A1D于F.因为平面A1DE⊥平面A1ABB1,平面A1DE∩平面A1ABB1=A1D,AF⊂平面A1ABB1,所以AF⊥平面A1DE.(11分)又DE⊂平面A1DE,所以AF⊥DE.在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,所以A1A⊥DE.因为AF∩A1A=A,AF⊂平面A1ABB1,A1A⊂平面A1ABB1,所以DE⊥平面A1ABB1.因为AB⊂平面A1ABB1,所以DE⊥AB.(14分)(注:作AF⊥A1D时要交代在平面内作或要交代垂足,否则扣1分.)例11、(2017徐州、连云港、宿迁三检)如图,在四棱锥中,底面是矩形,点在棱上(异于点,),平面与棱交于点.(1)求证:;ABCDEFP((2)若平面ABCDEFP(.规范解答(1)因为是矩形,所以又因为平面,平面,所以平面.又因为平面,平面平面,所以.(2)因为是矩形,所以.又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.又由(1)知,所以.二、达标训练1、(2018无锡期末)如图,ABCD是菱形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求证:AC∥平面BEF.规范解答(1)证明:因为DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DE⊥AC.(2分)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,(4分)因为DE,BD⊂平面BDE,且DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE.(6分)(2)证明:设AC∩BD=O,取BE中点G,连结FG,OG,易知OG∥DE且OG=eq\f(1,2)DE.(8分)因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF∥OG且AF=OG,从而四边形AFGO是平行四边形,所以FG∥AO.(10分)因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.(14分)2、(2018苏北四市期末)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分别是AC,B1C1的中点.求证:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.规范解答(1)如图,取AB的中点P,连结PM,PB1.因为P,M分别是AB,AC的中点,所以PM∥BC,且PM=eq\f(1,2)BC.在直三棱柱ABCA1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B1C1,又因为N是B1C1的中点,所以PM∥B1N,且PM=B1N.(2分)所以四边形PMNB1是平行四边形,所以MN∥PB1.(4分)而MN⊄平面ABB1A1,PB1⊂平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.(6分)(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1.又因为BB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.(8分)又因为∠ABC=90°,所以B1C1⊥B1A1.又平面ABB1A1∩平面A1B1C1=B1A1,B1C1⊂平面A1B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A1.(10分)又因为A1B⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B,即NB1⊥A1B.连结AB1,在平行四边形ABB1A1中,AB=AA1,所以AB1⊥A1B.又因为NB1∩AB1=B1,且AB1,NB1⊂平面AB1N,所以A1B⊥平面AB1N.(12分)而AN⊂平面AB1N,所以AN⊥A1B.(14分)3、(2018南京、盐城、连云港二模)如图,已知矩形ABCD所在平面与△ABE所在平面互相垂直,AE=AB,M,N,H分别为DE,AB,BE的中点.(1)求证:MN∥平面BEC;(2)求证:AH⊥CE.规范解答(1)解法1取CE中点F,连结FB,MF.因为M为DE的中点,F为CE的中点,所以MF∥CD且MF=eq\f(1,2)CD.(2分)又因为在矩形ABCD中,N为AB的中点,所以BN∥CD且BN=eq\f(1,2)CD,所以MF∥BN且MF=BN,所以四边形BNMF为平行四边形,所以MN∥BF.(4分)又MN⊄平面BEC,BF⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.(6分)解法2取AE中点G,连结MG,GN.因为G为AE的中点,M为DE的中点,所以MG∥AD.又因为在矩形ABCD中,BC∥AD,所以MG∥BC.又因为MG⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,所以MG∥平面BEC.(2分)因为G为AE的中点,N为AB的中点,所以GN∥BE.又因为GN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,所以GN∥平面BEC.又因为MG∩GN=G,MG,GN⊂平面GMN,所以平面GMN∥平面BEC.(4分)又因为MN⊂平面GMN,所以MN∥平面BEC.(6分)(2)因为四边形ABCD为矩形,所以BC⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊂平面ABCD,且BC⊥AB,所以BC⊥平面ABE.(8分)因为AH⊂平面ABE,所以BC⊥AH.因为AB=AE,H为BE的中点,所以BE⊥AH.(10分)因为BC∩BE=B,BC⊂平面BEC,BE⊂平面BEC,所以AH⊥平面BEC.(12分)又因为CE⊂平面BEC,所以AH⊥CE.(14分)4、(2018苏州暑假测试)如图,在三棱锥PABC中,已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC,CP⊥PB,求证:CP⊥PA;(2)若过
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 浙教版八年级下册第2章 一元二次方程单元测试卷
- 第三单元 小数除法(讲义)-2024-2025学年五年级上册数学人教版
- 2025届江苏省江阴市青阳第二中学初三适应性考试(三)生物试题含解析
- 2025届江苏省海门六校联考初三3月起点调研考试-语文试题含解析
- 2025届江苏省常州市溧阳市达标名校中考模拟考试生物试题含解析
- 2025届吉林省长春市汽开区(初三)语文试题5月月考试题含解析
- 2025届吉林省长春宽城区四校联考第二学期初三语文试题期末考试试卷含解析
- 2025届吉林省东北师范大附属中学初三9月大联考化学试题含解析
- 正弦函数、余弦函数的图象同步训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版2019必修第一册
- 沪教版三年级下册除法竖式计算题300道及答案
- 国有企业法治工作会议领导讲话稿
- 路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结剖析课件
- 工商业分布式光伏迎来黄金时代!(附详细开发流程)
- Unit 6 Reading Club 1课件-高一英语北师大版(2019)必修第二册
- 路桥工程施工图识图
- 技术服务和质保期服务计划
- 2022年上海开放大学招聘笔试备考题库及答案解析
- 保密资格申请书
- 老桥拆除工程安全监理细则汇总
- 面试考试题目(含答案)英伟达笔试题目ASIC
- 中国各省轮廓图(word版)
评论
0/150
提交评论