第3章 不等式 章末题型归纳总结-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页第3章不等式章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：不等式的性质及应用经典题型二：利用基本不等式求最值经典题型三：含参数与不含参数一元二次不等式的解法经典题型四：不等式在实际问题中的应用经典题型五：恒成立与有解问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：不等式的性质及应用例1．（多选题）（2023·高一课时练习）若，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则【答案】ACD【解析】对于A中，若，则，所以，所以A正确；对于B中，若，当时，；当时，；当时，，所以B不正确；对于C中，若，，根据不等式的基本性质，可得，所以C正确；对于D中，若，可得，所以，所以D正确.故选：ACD.例2．（多选题）（2023·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）下列四个命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【解析】对于A，因为，所以，则，故A正确；对于B，取，则满足，但，故B错误；对于C，取，则满足，但，故C错误；对于D，因为，所以，则，所以，故D正确.故选：AD.例3．（多选题）（2023·海南·高一统考学业考试）已知，，，下列叙述正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．【答案】AD【解析】对于A，根据不等式性质，若，，则，故A正确；对于B，若，则，不等式两边同乘，则，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，等价于，成立，故D正确.故选：AD.例4．（多选题）（2023·河北衡水·高一衡水市第二中学校考期中）已知实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因为，所以，所以A正确；因为，所以，所以B正确；因为，所以，所以，所以C不正确；因为，所以，，，所以，所以D正确.故选：ABD.例5．（多选题）（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）若，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，所以，故A错误；因为，所以，故B正确，因为，所以，又，∴，故C正确；对于D：令，，，，满足，但是，故D错误.故选：BC例6．（多选题）（2023·福建泉州·高一校考阶段练习）已知，，则下列正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由，可得，又，所以，故A正确；由，可得，又，所以，故B错误；由，可得，又，所以，故C正确；因为，又，所以，故D错误.故选：AC.例7．（多选题）（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知且，则（

）A．的取值范围是 B．的取值范围是C．ab的取值范围是 D．的取值范围是【答案】ABC【解析】因为且，，所以，，故AB正确；当时，，又，所以，故；当时，又，所以；当时，；综上，且，可得，故C正确；当时，，又，所以，故；当时，又，所以；当时，；综上，且，可得，故D错误.故选：ABC.例8．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】对于A中，由，可得，所以，所以A正确；对于B中，若，，则，所以，所以B不正确；对于C中，若，则，所以C正确；对于D中，若，则，所以D正确．故选：ACD.例9．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）对于实数，，，正确的命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则， D．若，，则【答案】ABD【解析】对选项A，因为，所以，，所以，故A正确；对选项B，，，所以，因为，所以，即，故B正确；对选项C，令，，满足，不满足，.对选项D，因为，，所以，故D正确.故选：ABD经典题型二：利用基本不等式求最值例10．（2023·全国·高一专题练习）已知，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值．【解析】（1）我们首先来证明一个不等式：因为，所以，所以不等式成立，当且仅当时，等号成立；由题意，且，因此，所以的最大值为，当且仅当，即时，等号成立.（2）因为，所以根据“乘1法”并利用基本不等式可得，所以的最小值为，当且仅当时，等号成立.例11．（2023·全国·高一专题练习）已知.(1)求证：；(2)求的最小值.【解析】（1）由，，当且仅当时取等号.所以，得证.（2）当且仅当时取等号，故的最小值为2.例12．（2023·山东临沂·高一校考开学考试）求下列代数式的最值(1)已知，求的最小值；(2)已知，且满足，求的最小值；【解析】（1）因为,则,所以,当且仅当时,即时取等号,所以的最小值为5.（2）因为,所以,当且仅当即时,等号成立,所以当时,.例13．（2023·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知，且，.(1)求的最小值；(2)求的最小值.【解析】（1）因为，，所以，当且仅当，且，即，时等号成立，则的最小值为3.（2），因为，所以，所以原式，当且仅当，且，即，时等号成立，则的最小值为.例14．（2023·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考期中）(1)已知正数、满足，求的最小值；(2)求函数的最小值．【解析】（1）因为，，所以，，所以，当且仅当，且，即时，等号成立，故的最小值为；（2）因为，所以所以，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最小值.例15．（2023·福建福州·高一福建省长乐第一中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；(2)在（1）的条件下，求的最小值；【解析】（1）由题设，即在上恒成立，所以，可得.（2）由（1）知：，而，当且仅当时等号成立，所以最小值为.例16．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）求解下列各题：(1)求的最小值；(2)已知且，求的最小值.【解析】（1）当且仅当即时取等号，此时取得最小值；（2），，当且仅当，又，即时，上式取等号.故当时，.例17．（2023·江苏宿迁·高一校考期中）（1）求的最小值，并求取得最小值时的值；（2）若正实数、满足，求的最小值.【解析】（1）因为，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故当时，函数取最小值；（2）由已知可得，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.例18．（2023·江苏泰州·高一校考阶段练习）（1）求函数的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.【解析】（1），，，当且仅当时，即时，函数有最小值；（2）由题意，，又，，，当且仅当，即是等号成立，结合，知时，有最小值为.例19．（2023·高一课时练习）（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值．【解析】（1），当且仅当时，等号成立，即．（2），当且仅当时，等号成立，即．例20．（2023·高一课时练习）若正实数x，y满足，求的最小值．【解析】因为，所以，又，所以＝当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为.例21．（2023·高一课时练习）已知正数满足，求的取值范围．【解析】由于都是正数，又，根据基本不等式，，对不等式平方整理可得，，当时取得等号，即例22．（2023·浙江台州·高一校联考期中）（1）已知，，求的取值范围；（2）已知正数x，y满足.（i）求的最大值；（ii）求的最小值.【解析】（1）由，得，又，得；（2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得，解得（当且仅当时取等号），所以的最大值；（ii）当且仅当时，即取等号，故的最小值为4.例23．（2023·河北石家庄·高一校考期中）（1）已知求的最大值（2）已知求的最大值（3）已知，且，求的最小值【解析】（1）因为，所以，故由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为；（2）因为，所以，，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故，故的最大值为；（3）已知，且，故，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.经典题型三：含参数与不含参数一元二次不等式的解法例24．（2023·全国·高一专题练习）重新考查不等式.这个不等式的左边可分解因式为.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集不等式组（1）的解为，不等式组（2）无解，从而不等式的解集为.试用上述方法解下面的不等式：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）由，得或，解得或，所以原不等式的解集为或；（2）由，得或，解得或，所以原不等式的解集为；（3）由，得或，解得或，所以原不等式的解集为；（4）由，得或，解得或，所以原不等式的解集为或.例25．（2023·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）解下列不等式：(1)；(2)；(3).【解析】（1）由，得，得，所以不等式的解集为.（2）由得，得，得，得或，即或，所以原不等式的解集为或.（3）由得，所以.所以原不等式的解集为.例26．（2023·全国·高一专题练习）解不等式：(1)；(2)；(3).【解析】（1）可化为，即，解得，∴原不等式的解集为.（2），∴原不等式的解集为.（3）∴原不等式的解集为.例27．（2023·全国·高一专题练习）解关于x的不等式【解析】原不等式可化为.当，即时，或；当，即时，；当，即时，或.综上，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.例28．（2023·高一单元测试）设.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围;(2)解关于的不等式.【解析】（1）由题意，不等式对于一切实数x恒成立，等价于对于一切实数x恒成立，所以，解得，故实数a的取值范围为；（2）不等式，即，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.例29．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．【解析】方程：且解得方程两根：；当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：综上所述,当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：例30．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．【解析】由对应函数开口向上，且，当，即时，恒成立，原不等式解集为；当，即或时，由，可得，所以原不等式解集为；综上，解集为；或解集为.例31．（2023·广东惠州·高一校考阶段练习）若不等式的解集是，求不等式的解集.【解析】因为不等式的解集是，所以是方程的解，由韦达定理解得，故不等式为，即，解得或，故不等式得其解集为或.例32．（2023·江苏·高一专题练习）已知，解关于的不等式．【解析】当时，不等式为，解得；当时，不等式化为，当时，不等式为，解得；当时，不等式为，若，不等式为，解得；若，解得或；，解得或.综上所述，当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是或；当时，原不等式的解集是或．例33．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【解析】（1）原不等式化为，当时，可得，解得，当时，的根为且，解得或，当时，可得，解得；当时，的根为且，解得或；当时，由解得，故不等式解集为.综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.（2）由题意得，且，解得，不等式可化为，即，解得或，故不等式解集为.经典题型四：不等式在实际问题中的应用例34．（2023·陕西宝鸡·高一统考期中）（1）在面积为定值的矩形中，边长是多少时矩形的周长最小？（2）在周长为定值的矩形中，边长是多少时矩形的面积最大？【解析】（1）设矩形的相邻两条边的长分别是，，由已知得，由，可得，所以，当且仅当时，等号成立，因此，当这个矩形是边长为的正方形时，它的周长最小，最小值为；（2）设矩形的相邻两条边的长分别是，，则，矩形的面积为，因为，所以，当且仅当时，等号成立，因此，当这个矩形是边长为的正方形时，它的面积最大，最大为．例35．（2023·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考期末）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．(1)当时，求海报纸的面积；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？【解析】（1）设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：，由图像知：，（2）由（1）知：，当且仅当即，即等号成立.综上，选择长宽分别为的海报纸.例36．（2023·湖南永州·高一校考期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（靠墙的一面不用篱笆）的矩形菜园,墙长,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积时多少?【解析】设围成的矩形菜园的长为,宽为,菜园的面积为,由已知得:,,,当且仅当即时上式取等号,此时,即当长为,宽为7.2m时,菜园的面积最大,最大面积为.例37．（2023·浙江温州·高一校考阶段练习）某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为万元，隔热层的厚度为厘米，两者满足关系式：(，为常数)．若隔热层的厚度为5厘米，则每年的能源消耗费用为2万元，15年的总维修费用为20万元，记为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用).(1)求常数；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用最小，并求出最小值．【解析】（1）依题意，当时，（2）由(1)知()当且仅当，即时，取最小值，最小值为70万元例38．（2023·北京·高一校考阶段练习）设计一幅宣传画，要求画面面积为，面的上下各空白，左右各留空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？【解析】设画面的高为厘米，宽为厘米，因为画面面积为，所以，所以，纸张的面积的表达式，所以，当且仅当，即，且时等号成立，所以画面的高为，宽为时可使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是例39．（2023·河南·高一校联考期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的等腰梯形菜园ABCD，，，．（单位：m），．(1)若篱笆的长度为12m，菜园的面积为，求x，y的值；(2)若要求菜园的面积为，求篱笆的长度的最小值．【解析】（1）如图，过B作于E，过点C作于F，在中，，，，所以，．同理，，则．所以，即，则．（2），即，．所以（当且仅当时取“=”）,此时篱笆的最小值为9，例40．（2023·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）在抗击疫情中，某市根据需要迅速启动“方舱医院”建设，在方舱医院中要建1000个长方体形状､高度恒定的相同房间，每个房间造价不超过960元.为了充分利用资源，每一个房间的后墙利用原有的五合板，不需要购买，正面用木质纤维板隔离，每米造价60元.两侧面用高密度合成板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元.设每个房间正面木质纤维板长度为米，一侧面高密度合成板的长度为米.(1)用，表示每个房间造价；(2)当每个房间面积最大时，求的值.【解析】（1）根据题意，只需要计算正面、两个侧面和一个顶面的造价，则有：（）（2）根据题意，每个房间造价不超过960元，则有：即有：设每个房间的面积为S，则有：则有：，当且仅当时，取得“=”解得：故当每个房间面积最大时，例41．（2023·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）要设计一张矩形广告，矩形广告牌的高与宽分别为a，b．(1)若该广告栏目含有大小相等的上下和左右四栏，且四周空白的宽度为4，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图1所示．当四栏面积之和为400时，怎样确定矩形广告牌的高a与宽b的尺寸，才能使得整个矩形广告牌面积最小．(2)若该广告栏目含有大小相等的左、右两栏，且四周空白的宽度为8，栏与栏之间的中缝空白宽度为2，如图2所示．当广告牌面积为1568时，如何设计左、右两栏的高与宽，才能使得广告栏目的面积最大？【解析】（1）设每一栏长x，宽为y，由题意可得，故，所以，当且仅当时等号成立，此时，所以当a为30，b为30时，整个矩形广告牌面积最小；（2）由题意可得，，，当且仅当，即时等号成立，此时栏高，栏宽时，广告栏目的面积最大，最大为512．例42．（2023·全国·高一专题练习）如图，欲在山林一侧建一矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道与苗圃之间由栅栏隔开.(1)若苗圃面积为1250，求栅栏总长的最小值；(2)若栅栏总长为200，如何设计可使苗圃面积最大？【解析】（1）设苗圃的长，宽分别为a，b，则，所以，当且仅当，即时取等号，故栅栏总长的最小值为100米；（2）由题可得，所以，当且仅当，即时取等号，故当长为50米宽为100米时苗圃面积最大，最大值为5000平方米．例43．（2023·浙江宁波·高一慈溪市浒山中学校联考期中）自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为20万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.1.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为（，k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.【解析】（1）由题得，当时，，则，故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为（2）由（1）知，当且仅当，即时等号成立，即线上直播150小时可使y最小为35万元.经典题型五：恒成立与有解问题例44．（2023·江苏·高一专题练习）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为两个正实数满足，所以，当且仅当，即时取等号，因为不等式有解，所以大于的最小值，即，解得或，即实数的取值范围是，故选：C例45．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，若有解，则实数的取值范围时（

）A．，， B．，，C． D．，【答案】A【解析】因为、，且，，当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9，若有解，则，解得或，即实数的取值范围为，，．故选：．例46．（2023·吉林·高一吉林毓文中学校考阶段练习）若不等式组有解，则实数的取值范围为（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】不等式组有解，，解得，即实数的取值范围为．故选：A．例47．（2023·四川遂宁·高一校考期末）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由关于的不等式在区间内有解，得在区间内有解，从而大于在区间的最小值.令，，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，则在上单调递减，在是单调递增则，，得，所以实数的取值范围是．故选：C．例48．（2023·全国·高一专题练习）不等式组有解，则实数a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【解析】依题意，，而不等式组有解，则不等式成立，因此，，即，解得，所以实数a的取值范围是：.故选：A例49．（2023·高一课时练习）若不等式在上有解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以不等式化为，又在上单调递减，所以当时，有最小值．所以a的取值范围是．故选：B．例50．（2023·天津北辰·高一天津市第四十七中学校考阶段练习）已知时，与在同一点取得相同的最小值，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，当且仅当即时取得最小值3，由题意可知：时，在时取得最小值3，则有，，则关于的不等式在上有解，可转化为关于的不等式在上有解，因为时，不等式可转化为，当时，不等式为，满足题意；当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即，当时，不等式化为，此时不等式恒成立；综上可知，实数的取值范围是，故选：A例51．（2023·海南·高一校考期中）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围.【解析】因为，，且，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因为恒成立，则，即，解得.因此，.例52．（2023·云南楚雄·高一校考阶段练习）设.(1)若，求的解集；(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(3)解关于x的不等式.【解析】（1）若，则，对应函数开口向下，，所以不等式的解集为（2）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得所以实数a的取值范围为（3）由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.例53．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）设函数的图象与平面直角坐标系的轴交于点.(1)当时，求的值；(2)若，求实数的取值范围；(3)在（2）的前提下若对于任意的，有恒成立，求的最大值.【解析】（1）当，函数，因为函数的图象与轴交于点.所以方程令有两个根，所以，故（2）由题意关于方程有两个正根，所以由韦达定理知，所以解得；所以的取值范围为；（3）因为，由得，所以，由于，所以，当且仅当时等号成立，即当且仅当时等号成立，此时实数符合条件，故，且当时，取得最小值，由已知可得，所以的最大值为.例54．（2023·江苏常州·高一常州高级中学校考开学考试）已知，.(1)若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围；(2)若，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1），且，，若，，且是的必要不充分条件，则,则且等号不同时成立，解得：，即实数的取值范围为：；（2）若，恒成立，即，，令，，当时，取最大值为，则，即实数的取值范围为：.例55．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）（1）解不等式：（2）已知集合，对于任意的集合A中的每一个元素，恒成立，求m的取值范围.【解析】（1），令得或当，即时，，当，即时，，当，即时，，综上：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.（2），因为对于任意的集合A中的每一个元素，恒成立，则或，解得例56．（2023·湖南长沙·高一校联考开学考试）（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程在有解，求实数的取值范围.【解析】（1）若不等式的解集为，即1，2是方程的两个根，则，即，由得，即得，得或，即不等式的解集为.（2）不等式在恒成立，即在恒成立，故，解得，故的取值范围为.（3）由，得，即，若方程在有解，等价为有解，，，即，即，则，即实数的取值范围是.例57．（2023·高一单元测试）已知，，.(1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件；(2)，恒成立，求的取值范围.【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，，∴由基本不等式，有，当且仅当，即时，等号成立，∴，即的最小值为，当且仅当时，取得最小值.（2）由已知，，当时，由基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立，∴，即已知，当且仅当时，取最小值，，又∵恒成立，∴，∴实数的取值范围是.例58．（2023·安徽池州·高一校考期中）已知关于的x不等式．(1)解这个关于x的不等式；(2)，恒成立，求a的取值范围．【解析】（1）当时，原不等式即为，解得，解集为；当时，原不等式化为，解集为或；当时，原不等式化为，①若，可得，解集为；②若，则，可得解集为；③若，则，可得解集为；（2）对，恒成立，等价为在上恒成立，由于恒成立，可得在上恒成立，设，，可得，，在时取得最小值2，可得的最大值为1，则．即a的取值范围是．模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例59．（2023·江苏南通·高一海门市第一中学校联考期中）关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】不等式，时解集为，时解集为，时解集为，由题意可得时，时，解得，则的最大值与最小值的差为4，故选：B.例60．（2023·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可知，可以异号，可以同正，当异号时，必有，故可以推出；当同正时，即，由基本不等式知，则当时，有，解得，故充分性成立；当时，满足，但此时，即“”不能推出“”，故必要性不成立；所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A例61．（2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】分类讨论和两种情况，分别计算结果，并取并集.（1）当，即时，原不等式可化为，显然恒成立．（2）当时，不等式恒成立，利用二次函数性质可知，即，解得．综上可知，故a的取值范围是．故选：A．例62．（2023·高一课时练习）若关于的不等式的解中