第12讲 合并同类项-人教版新七年级《数学》暑假自学提升讲义（解析版）

第第页第12讲合并同类项（2个知识点+5个考点+易错分析）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解同类项及合并同类项的概念2.掌握合并同类项的法则,会利用合并同类项的法则对整式进行化简.知识点一、同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．要点归纳：(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．知识点二、合并同类项1.概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．要点归纳：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．(2)合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.3.升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4．要点归纳：①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．易错点1.判断同类项时出现错误易因两个单项式字母的排列顺序不同而误认为这两个单项式不是同类项易错点2.合并同类项时,对合并同类项的法则理解不透导致错误在合并同类项时为避免错误的发生要注意两点(1)明确只有同类项才可以合并,不是同类项的不能合并;(2)明确合并同类项中的“合并”是指同类项的系数相加,把所得的结果作为新的系数,字母和字母的指数不变考点1：同类项的识别【例1】指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由．(1)－x2y与eq\f(1,2)x2y；(2)23与－34；(3)2a3b2与3a2b3；(4)eq\f(1,3)xyz与3xy.解析：根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，对各式进行判断即可．解：(1)是同类项，因为－x2y与eq\f(1,2)x2y都含有x和y，且x的指数都是2，y的指数都是1；(2)是同类项，因为23与－34都不含字母，为常数项．常数项都是同类项；(3)不是同类项，因为2a3b2与3a2b3中，a的指数分别是3和2，b的指数分别为2和3，所以不是同类项；(4)不是同类项，因为eq\f(1,3)xyz与3xy中所含字母不同，eq\f(1,3)xyz含有字母x、y、z，而3xy中含有字母x、y.所以不是同类项．方法总结：(1)判断几个单项式是否是同类项的条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相同．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)常数项都是同类项．【变式1-1】（2024•田阳区二模）下列各组中的两个单项式是同类项的是A．与 B．与 C．与 D．与【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式，叫做同类项，逐一判断即可求解．【解答】解：、与不是同类项，故本选项不符合题意；、与是同类项，故本选项符合题意；、与不是同类项，故本选项不符合题意；、与不是同类项，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．【变式1-2】（2023秋•港南区期末）下列各组中两项属于同类项的是A．和 B．和 C．和 D．和【分析】根据同类项的定义逐个判断即可．【解答】解：．和，相同字母的指数分别不相等，不是同类项，故本选项不符合题意；．和的字母不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；．和的字母相同，相同字母的指数也分别相等，是同类项，故本选项符合题意；．和的字母不完全相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了同类项的定义，能熟记同类项的定义是解此题的关键，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项，常数项是同类项．【变式1-3】．（2023秋•汉川市期末）下列各组整式中，不是同类项的是A．与 B．与 C．与 D．与【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，分别判断即可．【解答】解：．与，是同类项，故此选项不合题意；．与，是同类项，故此选项不合题意；．与，是同类项，故此选项不合题意；．与，相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项符合题意．故选：．【点评】此题主要考查了同类项，正确掌握同类项的定义是解题关键．考点2：已知两个单项式是同类项，求字母指数的值【例2】若－5x2ym与xny是同类项，则m＋n的值为()A．1B．2C．3D．4解析：∵－5x2ym和xny是同类项，∴n＝2，m＝1，m＋n＝1＋2＝3，故选C.方法总结：注意掌握同类项定义中的两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数相同，解题时易混淆，因此成了中考的常考点．【变式2-1】．（2023秋•赤坎区校级期末）已知与是同类项，则A．2 B． C．1 D．3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）即可求得、的值，再相减即可．【解答】解：与是同类项，，，，故选：．【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是一道基础题，比较容易解答．【变式2-2】．（2024•凉州区三模）如果与是同类项，则的值为A．4 B． C．8 D．12【分析】根据同类项的定义可得，，从而可得，，然后代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：与是同类项，，，，，，故选：．【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．【变式2-3】．（2024•武威二模）已知单项式和是同类项，则的值为A．3 B．2 C． D．【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此计算即可．【解答】解：若单项式和是同类项，则，故选：．【点评】本题考查了同类项，熟知同类项的定义是解题的关键．考点3：合并同类项【例3】将下列各式合并同类项．(1)－x－x－x；(2)2x2y－3x2y＋5x2y；(3)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2；(4)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b.解析：逆用乘法的分配律，再根据合并同类项的法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”进行计算．解：(1)－x－x－x＝(－1－1－1)x＝－3x；(2)2x2y－3x2y＋5x2y＝(2－3＋5)x2y＝4x2y；(3)2a2－3ab＋4b2－5ab－6b2＝2a2＋(4－6)b2＋(－3－5)ab＝2a2－2b2－8ab；(4)－ab3＋2a3b＋3ab3－4a3b＝(－1＋3)ab3＋(2－4)a3b＝2ab3－2a3b.方法总结：合并同类项的时候，为了不漏项，可用不同的符号(如直线、曲线、圆圈)标记不同的同类项．【变式3-1】．（2023秋•港南区期末）合并同类项：．【分析】根据合并同类项法则计算即可．【解答】解：．【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-2】．（2023秋•锡山区校级月考）合并同类项：（1）；（2）．【分析】（1）原式合并同类项即可得到结果；（2）原式合并同类项即可得到结果．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键．【变式3-3】．（2023秋•凤阳县期末）计算：．【分析】根据合并同类项“系数相加，字母及指数不变”，可得答案．【解答】解：．【点评】本题考查了合并同类项，利用合并同类项“系数相加，字母及指数不变”是解题关键．考点4：化简求值【例4】化简求值：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝eq\f(1,2).解析：原式合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．解：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab＝(2－3)a2b＋(－2＋4)ab＋3＝－a2b＋2ab＋3.将a＝－2，b＝eq\f(1,2)代入得原式＝－(－2)2×eq\f(1,2)＋2×(－2)×eq\f(1,2)＋3＝－1.方法总结：对多项式化简求值时，一般先化简，即先合并同类项，再代入值计算结果，在算式中代入负数时，要注意添加负号．【变式4-1】．化简求值：，其中，．【分析】原式合并同类项得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．【解答】解：，当，时，原式．【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式4-2】．（2023秋•南沙区期末）已知．（1）化简；（2）当，，时，求的值．【分析】（1）根据合并同类项的法则进行解答即可；（2）把、的值代入进行计算，即可得出答案．【解答】解：（1）；（2）把，代入上式得：．【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握化简整式的方法是本题的关键．【变式4-3】先化简，再求代数式的值：（1），其中； （2），其中； 【答案】（1）化简结果，代入数值计算结果是；化简结果，代入数值计算结果是；考点5：合并同类项的应用【例5】有一批货物，甲可以3天运完，乙可以6天运完，若共有x吨货物，甲乙合作运输一天后还有________吨没有运完．解析：甲每天运货物的eq\f(1,3)，乙每天运货物的eq\f(1,6)，则两个人合作运输一天后剩余的货物为x－eq\f(1,3)x－eq\f(1,6)x＝eq\f(1,2)x吨，故填eq\f(1,2)x.方法总结：体现了数学在生活中的运用．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系．【变式5-1】（2024·河南信阳·三模）鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为元．【答案】【分析】本题考查了列代数式及合并同类项，根据数量关系，运用字母表示数或数量关系即可求解，掌握代数式的运用是解题的关键．【详解】解：根据题意，，故答案为：．【变式5-2】．（23-24七年级上·广东梅州·期中）一个旅游团成人有a人，儿童人数是成人人数的2倍，这个旅游团有人．【答案】【分析】本题考查了列代数式，先表示出儿童人数，再根据这个旅游团总人数=成人人数+儿童人数即可列式求解．【详解】解：∵一个旅游团成人有a人，儿童人数是成人人数的2倍，∴儿童人数是2a人，∴这个旅游团有（人）．故答案为：3a．【变式5-3】（23-24黑龙江哈尔滨·期中）工大附中某楼窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米．（取3）(1)求窗户的面积；(2)求窗户的外框（半圆和大正方形）的总长；(3)当时，为了隔音保暖，窗户安装的是带有分隔线的双层玻璃，每层这样的玻璃每平方米20元，窗户外框材料每米30元，求制作这样一个窗户需要多少钱？【答案】(1)平方米(2)米(3)220元【分析】本题考查了列代数式，整式的化简，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系．（1）根据窗户面积=正方形面积+半圆面积，即可解答；（2）根据窗户外框总长=正方形周长+半圆弧长，即可解答；（3）根据总费用=玻璃费用+窗框费用，即可解答．【详解】（1）解：根据题意可得：（平方米），答：窗户的面积为平方米．（2）解：根据题意可得：（米），答：窗户的外框总长为米．（3）解：根据题意可得：当时，原式，答：制作这样一个窗户需要220元钱．一、单选题1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）下列各组代数式或数中，不是同类项的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】A【分析】本题考查同类项定义：所有字母及字母指数都相同的项叫同类项．根据同类项得定义逐个判断即可得到答案；【详解】解：A．与字母相同但字母指数不同不是同类项，故A符合题意；B．与是同类项，故B不符合题意；C．与是同类项，故C不符合题意；D．与是同类项，故D不符合题意．故选：A．2．（2024·广西柳州·三模）下列单项式中，能与合并的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了同类项的判断，所含字母相同，且相同字母的指数也相同的几个单项式称为同类项，同类项可以合并；根据同类项的定义判断即可．【详解】解：只有与是同类项，它们才能合并；其它单项式只有字母与相同，相同字母的指数不完全相同，故它们不能与合并；故选：C．3．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）若单项式与是同类项，则（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．【详解】根据题意得：，解得：，则故选C．4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查合并同类项的法则，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，依次判断各项即可．【详解】解：A、4和不是同类项，不能合并，故该选项错误；B、和不是同类项，不能合并，故该选项错误；C、，故该选项错误；D、，故该选项正确；故选：D．5．（2024·广东·二模）若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】此题考查了合并同类项，牢记同类项的概念是解题的关键．首先根据题意得到和是同类项，然后得到，，求出m和n的值，然后代入求解即可．【详解】∵∴和是同类项∴，∴，∴．故选：B．6．（2024·贵州·中考真题）计算的结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变即可得．【详解】解：，故选：A．二、填空题7．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项：．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．【详解】解：的一个同类项为，故答案为：8．（2024·上海·三模）计算：．【答案】/【分析】本题考查的是合并同类项，直接把同类项的系数相加减即可．【详解】解：，故答案为：9．（23-24七年级上·江西赣州·期末）若与是同类项，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了同类项的定义以及已知字母的值，求代数式的值，根据同类项的定义得出，，然后代入计算即可．【详解】解：∵与是同类项，∴∴∴，故答案为：．10．（23-24七年级上·广东清远·期中）若与是同类项，则．【答案】5【分析】本题考查同类项的定义，属于基础题，比较简单，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．【详解】解：根据题意得：，，，故答案为：5．11．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则．【答案】1【分析】此题考查同类项定义，根据两个单项式的和仍为单项式可得与是同类项，由此求出m，n的值，代入计算可得答案．【详解】解：∵与的和仍为单项式，∴与是同类项，，∴，故答案为：1．12．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）合并同类项：．【答案】【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类项法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．三、解答题13．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）合并同类项：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了合并同类项；（1）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解；（2）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解；（3）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解；（4）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；；（3）解：；（4）14．（23-24七年级上·全国·课堂例题）指出下列多项式中的同类项：(1)；(2)．【答案】(1)与，与，与5分别是同类项(2)与，与分别是同类项【分析】先找出各个同类项的项，再根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同；进行判断即可求解．【详解】（1）解：多项式的项有：、、、、、，同类项有：与，与，与5．（2）解：多项式的项有：、、、、、，同类项有：与，与．【点睛】本题考查了多项式的项，同类项的定义，理解定义是解题的关键．15．（2023七年级上·江苏·专题练习）指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由．(1)与；(2)与；(3)与；(4)与．【答案】(1)是(2)是(3)不是，理由见解析(4)不是，理由见解析【分析】（1）根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可；（2）根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可；（3）根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可；（4）根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．【详解】（1）解：与是同类项，因为与都含有和，且的指数都是，的指数都是；（2）解：与