专题圆锥曲线之焦点三角形讲义-高三数学二轮复习

圆锥曲线性质之——焦点三角形椭圆的焦半径（定理）设是椭圆上一点，为椭圆的左右焦点，则，.【证明】设为椭圆上任意一点则有①即同理，【注】我们还可以这样来推导焦半径公式：设,则.而，则,从而.可以把①式变为：即这就是椭圆的第二定义.【例1】把椭圆的长轴8等分，过每个分点作x轴的垂线与椭圆的上半部分的交点为,F是椭圆的左焦点，则.【分析】这里要算7个椭圆上的点到左焦点的距离，为此，我们先算椭圆上的任意点到左焦点的距离.【解】由左焦半径公式,得.故答案为7a.解题反思：(1)应熟记坐标形式的焦半径公式：设是椭圆上一点，设为椭圆的左，右焦点，则,.(2)应用焦半径公式，只需椭圆上点的一个坐标，化斜为直，从而可以化简运算.(3)本题还可以设出右焦点F₁,利用椭圆的对称性得：,,也能得出结论.【例2】椭圆的焦点为,,点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为______________.【解】由于线段的中点在y轴上，则PF₁,由题意,所以,由焦半径公式得：,.所以.故答案为7.【例3】已知△ABC为椭圆的内接三角形，且右焦点F为△ABC的重心，则|FA|+|FB|+|FC|=___.【解】由已知椭圆的方程知a=2,,c=1,所以右焦点为F(1,0).设,由重心坐标公式得：即.由焦半径公式得：.故答案为【练习一】,F₂为椭圆c:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF₁F₂为等腰三角形，则M的坐标为的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是___________.,F₂是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，则|的最大值为___________.图【定理2】设P是椭圆上的任意一点，F为它的一个焦点，,则.图【证明】如图，设,椭圆的另一个焦点为,则由于，所以.即.解得：.【注】(1)上述公式定义,P为椭圆上的任意一点，O为原点，定理中的结论对左、右焦点均适用，无需再单独讨论；(2)定理对焦点在y轴上的椭圆同样适用；(3)设P是双曲线上任意一点，F为它的一个焦点，,则,式中“±”的确定方法：当点P与点F位于y轴的同侧时取正，否则取负，简记为：“同正异负”.【例4】已知椭圆的左、右焦点为,椭圆上一点P在第二象限，且,则△PF₁F₂的面积为____________.【解】,所以面积为.故答案为：(三)常用推论【定理3】设AB是过椭圆焦点F的弦，.(1)若AB是经过椭圆焦点F的一条弦，其中A,B分别是直线与椭圆的两个交点，则；2)；(3)若AB和CD是过椭圆的焦点F,且互相垂直的弦，则有：；(4)若,则①；②【证明】(1)由于,,由定理可得，；所以.(2)；(3)因为AB和CD互相垂直，所以(4)因为,即所以.【注】(1)是焦点三角形的内角，若以倾斜角来讨论，会导致分情况讨论，不便于记忆.(2)若α角为直线的倾斜角，此时α与相等或互补，则有此公式对圆锥曲线都成立.【例5】设分别是椭圆E:的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A,B两点，若,轴，则椭圆E的方程为____________.【解】由于,由焦半径公式得：解得所以,又轴，故,从而有,.则椭圆E的方程为：故答案为：.【例6】已知椭圆C的焦点为,,过F2的直线与C交于A,B两点，若,,则C的方程为()AB.C.D.【解法一】∵|AF₂|=2|F₂B|,∴|AB|=3|BF₂|,∵|AB|=|BF₁|∴|BF₁|=3|BF₂|,又∴,∴,,在中，,在中，由余弦定理可得：.根据,可得解得,.∴椭圆C的方程为：.故选B.【解法二】由解法一可知，点A为椭圆的上顶点，由,有,可得点,代入椭圆方程中，解得a²=3,从而b²=2.所以椭圆C的方程为故选B.【注】(1)坐标化，相当于在坐标轴上作投影，是解决这类问题的通法.(2)在求出点B的坐标后，可由,得，解得,所以.又如：由,则得25+b²=9a²,结合,可得,.【解法三】,由定理3(4)得：从而，，由定义有：,即.∴椭圆C的方程为故选B.【例7】设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A,B两点，且,,则椭圆的离心率为()A.B.C．D.【解法一】设,，，，，,即，故选C.【解法二】:，即.可解得，故选C.【例8】已知双曲线C:的右焦点为F,过点F且斜率为的直线交C于A,B两点，若,则C的离心率为()A．B.C．D.【解】由,得，由公式,得,得故选A.【注】公式（可为倾斜角)对于三种圆锥曲线都成立，此公式沟通了圆锥曲线的离心率，焦点弦所在直线的斜率以及焦点分弦所成的比值这三者之间的关系，有人称之为万能公式.【例9】已知椭圆E:的左、右焦点分别是，离心率，点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，过点作两条互相垂直的弦，AC与BD,求的最小值.【解】(1)由已知得，.所以，所以，所以将点代入所以,所以椭圆E的方程为(2)设,当或时，易求得|AC|=3,|BD|=4,或|AC|=4,|BD|=3,所以|AC|+|BD|=7.当时，由可得.由推论可得：等号当且仅当sinθ=cosθ,即,故的最小值为.【注】用角度焦半径公式解大题时，可在焦点三角形中写余弦定理，把推导过程适当写几步，可避免被扣分.【例10】设椭圆的右焦点为F,过F的直线1与C相交于A、B两点.(1)若,求1的方程；(2)设过点A作x轴的垂线交C于另一点P,若M是的外心，求证：为定值.【解】(1)因椭圆的离心率，设直线AF的倾斜角为α,则由定理3(4)知：解得.直线1的斜率为，所以1的方程为：.(2)如图，设线段AB的中点为H,因为M是△PAB的外心，点M在x轴上，且MH⊥AB,不妨设,,则.由定理2知：.由定理3(2)可得，故，在中，所以，|【例11】已知椭圆的左、右焦点分别为,过点F₁作直线l₁交椭圆于B,D两点，直线经过点,与椭圆相交于A,C两点，且,的周长为8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设四边形ABCD的面积为S,求S的取值范围.【解】(1)设椭圆的焦距为,由于直线经过定点所以,又的周长为8,所以,则,故椭圆的方程为：(2)由椭圆的对称性，不妨设，由于,所以,由定理3可得：，，四边形ABCD的面积为：.可见当或时，四边形PMQN的面积的最大值为6;当时，四边形PMQN的面积最小值为故四边形PMQN的面积的取值范围为【注】我们可以把问题(2)推广到一般情况：过椭圆的焦点且互相垂直的两条弦的端点连成的四边形的面积的取值范围为事实上：设是过椭圆焦点F且互相垂直的两条弦，,由定理可知四边形ABCD的面积为.可见当或时四边形ABCD的面积的最大值为.当时，四边形ABCD的面积的最小值为.【练习二】分别为椭圆的焦点，点A,B在椭圆上，若,则点A的坐标是2.已知椭圆E:的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:交椭圆于A,B两点，若,点M到直线1的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是()A．B.C．D.为椭圆C:的左，右焦点，过左焦点F₁的直线交椭圆于M,N两点，若轴，且,则椭圆的离心率为()A．B.C．D.的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A,B两点，若,则A.1B.C.D.2分别是椭圆的左、右焦点，过F₂的直线与椭圆交于P,Q两点，,且,则△PF₁F₂与△QF₁F₂的面积之比为()A.B.C.D.3.焦点三角形的周长【例1】设分别是椭圆E:的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆于A,B两点，.若,的周长为16,求.【解】|AF₁|=3|F₁B|,,而,可得,,又的周长为16,有由定义得.【注】一般地：(1)已知分别是椭圆E:的左、右焦点，直线l过焦点F₁与椭圆交于A,B两点，则的周长为定值4a.(2)已知分别是椭圆E:的左、右焦点，点P是椭圆上动点，如图2,则△PF₁F₂的周长为.【例2】已知椭圆的左、右焦点为,离心率为，过点F的直线1交C于A,B两点，若△AF₁B的周长为,则C的方程为()A．B.C.D.【解】因为,.又△AF₁B的周长为,故,所以,,所求的椭圆方程为.故选A【例3】已知F为双曲线C:的左焦点，P,Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为____________.【解】由双曲线的定义可知：又PQ的长等于虚轴长的2倍，所以,因此，△PQF的周长为,故答案为44.结论：已知分别是双曲线的左、右焦点，1过焦点F₁且与双曲线交于AB两点，如图4,则.【例4】已知双曲线,F₁是左焦点，,P₂是右支上的两个动点，则的最小值是()【解】设双曲线的右焦点为,∵,,.(当且仅当,,三点共线时，取等号),∴的最小值是8,故选C.【例5】已知椭圆C的焦点为,,过F的直线与C交于A,B两点，若,,则C的方程为()A.B.C.D.【解法一】设,则,.由椭圆的定义得，,解得,从而(A为椭圆的上顶点).根据相似比得：,则,代入椭圆方程得：解得,故,故选B.【解法二】设,则.则由椭圆的定义，,解得,从而(A为椭圆的上项点),即为等腰三角形，所以,解得,故选B..【注】由焦半径公式可得到：.【例6】(1)设椭圆C:的左、右焦点为,点P是椭圆C上的点，PF₂⊥F₁F₂,,则C的离心率为()A.B.C．D.(2)已知分别是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线E上，与轴垂直，则E的离心率为()A.B.C.【解】(1)设,由,,可得：.故选D.(2)设,由与轴垂直，则,.所以.故选A.结论：(1)椭圆C的左、右焦点分别,P是椭圆C上的点，,则由椭圆的定义及正弦定理得：(2)双曲线C:的左、右焦点分别点P在C上，,则【例7】虚轴长为2,离心率的双曲线的两焦点为,过F₁作直线交双曲线的一支于A,B两点，且,则的周长为()B.C.【解析】由于：由双曲线的定义知，,①+②得,又,.则的周长为,故选B.【练习题】为椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若,且,则C的离心率为()A．B．C.D.2.已知C:的左、右焦点为,焦距为2c,若直线与椭圆C的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于_____________.分别是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且.则椭圆和双曲线的率心率的倒数之和的最大值为()A．B.C．3D．24.焦点三角形的面积(1)焦点三角形的面积公式结论：(1)若为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，则△PF₁F₂的面积(2)若为双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的动点，则的面积【证明】(1)如图，由余弦定理得,①由椭圆定义有,②②²①得：故同理可证情形(2)【例1】已知的左、右焦点为,P为椭圆上一点，若P,是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为()A.B．3C.D.【解】若点F₁(或F₂)为直角顶点时，则点P到轴的距离为若直角顶点为P,记,则的面积此时.,此情况不存在，故选D.【例2】已知是双曲线C:的左、右焦点，点在C上，当∠F₁MF₂为钝角时，点M纵坐标的取值范围是_____________.【解】设,由题意知：,且即.所以,解得,故填(二)焦点三角形的最大张角【结论1】是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，则当点P为椭圆短轴的端点时，∠F₁PF₂最大.【证明】如图，因为,所以(当且仅当时取等号).由余弦定理知（当且仅当时取等号)所以当时，即点P为椭圆短轴的端点时，∠F₁PF₂最大.【结论2】A,B为椭圆：长轴上的两个顶点，Q为椭圆上任意一点，则当点Q为椭圆短轴的端点时，最大.【证明】如图，设,过点Q作,垂足为,所以,则,因为.所以又因为，，所以当时，取得最大值，此时最大，即当点Q为椭圆短轴的端点时，∠AQB最大.【例3】已知为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得,求椭圆离心率的取值范围.【解】由结论1知：当点为椭圆的短轴的端点时，最大，因此要最大角,即即，也就是解不等式得故椭圆的离心率【例4】已知F₁,F₂是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点P使,求离心率e的取值范围.【解】由结论1知：b≤c,得,所以，故【注】一般地：已知F₁,F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一动点，若,则椭圆离心率的取值范围为【例5】已知椭圆长轴两端点为A,B,如果椭圆上存在一点Q满足,求椭圆离心率的取值范围.【解】由结论2知：最大张角,从而,所以得：故椭圆的离心率的取值范围是【练习题】轴上的双曲线的左、右焦点分别为F₁,F₂,其右支上存在一点P满足PF₁⊥PF₂,△PF₁F₂的面积为3,则双曲线的离心率为()A.B.C.F₁,F₂为双曲线的左、右焦点，点P在C上，,则()F₁,F₂是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C上存在点P使为钝角，则椭圆C的离心率取值范围是()A．B.C．D．4.设A,B是椭圆C:长轴的两个端点，若C上存在点M满足,则m的取值范围是()A.B.C.D.4焦点三角形的内切圆焦点三角形的内切圆，它的圆心是三条内角平分线的交点，此点到三边的距离相等，均为内切圆的半径r,这里牵涉下面几个定理：(1)三角形内角平分线定理：在中，AD为∠BAC的角平分线，则(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等.由椭圆的焦点三角形的周长为,椭圆的双焦点三角形周长为4a,所以有：(3)椭圆的焦点三角形面积为;(4)椭圆的双焦点三角形面积为.【例1】如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,A为椭圆上任意一点，若点N为的内心，求与面积的比值.【解】设该内切圆的半径为r,则【例2】已知椭圆上的一点P,,F₂是椭圆的左，右焦点，的内切圆的半径为则的值为____________.【解】从结论看求的值，需要求出点P的坐标，而已知△PF₁F₂的内切圆的半径为可求出焦点△PF₁F₂的面积，从而可求出点P的纵坐标，进而可得点P的坐标.由题设可知：,所以有：,解得取点所以故答案为对于焦点三角形问题，常用到下面的四个模型：【模型1】双曲线焦点三角形的内切圆与实轴的切点是双曲线的顶点.【证明】假设点P为双曲线右支上除顶点外任意一点，三角形三边与内切圆的切点分别为C,B,A,如图所示，由双曲线的定义可得：,所以.由切线的性质有：所以,设点A在轴上的坐标为,所以.同理可得，若点P在双曲线的左支上，则有.【模型2】和椭圆焦点弦相切的焦点三角形的旁切圆与长轴的切点是椭圆的顶点.【证明】如图，旁切圆与焦点三角形的三个切点为A,B,C.由切线长定理，得,,,所以又,所以.所以A点是椭圆的右顶点.模型二图形模型二图形模型一图模型一图【模型3】设离心率为e的椭圆的焦点三角形的内切圆的圆心为C,直线PC交长轴于点B,则.【证明】如图所示，由内角平分线定理，有【模型4】设离心率为e的双曲线的焦点三角形的旁切圆的圆心为C,直线PC交实轴所在直线于点B,则.这里的证明要用到外角平分线定理，故从略.模型4模型4图模型3图【例3】设P为双曲线C:上一点，F,FB分别为双曲线C的左、右焦点，